Operatory różniczkowe

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(Utworzył nową stronę „Category:KURS MATEMATYKI == Operator różniczkowy - definicja == Operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych wykorzystujący pojęcie pochodnej b...”)
(→Rotacja)
 
(Nie pokazano 4 wersji pomiędzy niniejszymi.)
Linia 1: Linia 1:
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
-
== Operator różniczkowy - definicja ==
+
== Pojęcie pola ==
-
Operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych wykorzystujący pojęcie pochodnej bądź różniczki funkcji. Operatory różniczkowe mogą działać zarówno na funkcje jednej jak i wielu zmiennych, na funkcje skalarne i wektorowe.
+
Z pojęciem pola mamy do czynienia w fizyce wtedy, gdy na punktach <math>(x,y,z)</math> pewnego obszaru trójwymiarowej przestrzeni została określona funkcja. Jeżeli będzie to funkcja skalarna <math>f(x,y,z)</math> to mamy do czynienia z polem skalarnym. Natomiast jeżeli przyporządkujemy wektor <math>\mathbf F(x,y,z)=(F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z))</math> to będzie to pole wektorowe. Przykładem pola skalarnego jest temperatura powietrza w różnych miejscach atmosfery (temperatura jest skalarem), a przykładem pola wektorowego jest pole siły grawitacyjnej (siła jest wektorem). Operatory różniczkowe mogą działać zarówno na funkcje jednej jak i wielu zmiennych, na funkcje skalarne bądź wektorowe. W tym rozdziale określimy cztery operacje różniczkowe na polach skalarnych i wektorowych: wyliczanie gradientu, dywergencji, rotacji i laplasjanu. Będziemy przy tym wymagać aby rozważane funkcje były różniczkowalne. Operator różniczkowy nabiera sensu dopiero wtedy gdy działa na funkcję skalarną bądź wektorową, przy czym funkcję (wektorową bądź skalarną) na która działa operator wstawiamy po prawej stronie operatora. W tej części kursu nie pojawią się rozwiązania zadań, a wiele przykładów zastosowania operatorów różniczkowych zostanie szczegółowo omówionych na kursie fizyki.
-
== Nabla ==
+
-
W rachunku wektorowym konwencja notacyjna ułaskawiając zapis różnorodnych operatorów różniczkowych: gradientu, dywergencji, rotacji i laplasjanu. Oznaczana jako <math>\nabla</math>
+
-
Nablę definiuje się za pomocą pochodnych cząstkowych wzorem (układ współrzędnych kartezjańskich)
+
== Operator nabla <math>\nabla</math>==
-
:<math>\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) = \mathbf i \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf j \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf k \frac{\partial}{\partial z}, </math>
+
Operator nabla <math>\nabla</math> we współrzędnych kartezjańskich jest definiowany następująco:
 +
<math>
 +
\nabla\ =\ \mathbf{\widehat{x}} \frac{\partial }{\partial x} + \mathbf{\widehat{y}} \frac{\partial }{\partial y} + \mathbf{\widehat{z}} \frac{\partial }{\partial z}\ =\ \left(\frac{\partial }{\partial x},\,\frac{\partial }{\partial y},\,\frac{\partial }{\partial z}\right),
 +
</math>
 +
gdzie <math>\mathbf{\widehat{x}}, \mathbf{\widehat{y}}, \mathbf{\widehat{z}}</math> oznaczają wersory wzdłuż trzech osi kartezjańskiego układu współrzędnych. Jak widać operator nabla jest wektorem o trzech składowych i stosują się do niego reguły działań na wektorach. Niektóre z nich wykorzystamy poniżej.
-
gdzie <math> \scriptstyle \mathbf i,\; \mathbf j,\; \mathbf k </math>oznaczają wektory jednostkowe osi (patrz [[Wektory, działania na wektorach]])
+
== Gradient funkcji skalarnej ==
-
=== Gradient ===
+
Jak wiemy w wyniku mnożenia wektora przez liczbę, czyli przez skalar, otrzymujemy wektor. Dlatego mnożąc wektor <math>\nabla</math> przez ciągłą, różniczkowalną funkcję  <math>f(x,y,z)</math> współrzędnych <math>x, y, z</math> można w dowolnym punkcie przestrzeni utworzyć wektor, którego składowe są pochodnymi cząstkowymi w kierunku osi układu współrzędnych :
-
Jeśli <math>\scriptstyle \varphi\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R</math> jest polem skalarnym, to potraktowanie nabli jako funkcji pola skalarnego daje pole wektorowe nazywane gradientem
+
<math>
-
:<math>
+
\mathrm{grad}\ f\ =\ \nabla f\ =\ \left(\mathbf{\widehat{x}}\,\frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{\widehat{y}}\,\frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{\widehat{z}}\,\frac{\partial}{\partial z}\right)f\
-
\mathrm{grad}\; \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right) = \mathbf i \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \mathbf j \frac{\partial \varphi}{\partial y} + \mathbf k \frac{\partial \varphi}{\partial z} = \nabla \varphi;
+
=\ \mathbf{\widehat{x}}\,\frac{\partial f}{\partial x} + \mathbf{\widehat{y}}\,\frac{\partial f}{\partial y} + \mathbf{\widehat{z}}\,\frac{\partial f}{\partial z}\
 +
=\ \left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y},\ \frac{\partial f}{\partial z}\right),
</math>
</math>
-
Zapis ten można traktować jako mnożenie „wektora nabla” przez „skalar”  dające w wyniku „wektor”.
+
gdzie przez <math>\mathrm{grad}</math> oznaczyliśmy operator różniczkowy gradientu funkcji, czyli operator nabla<math>:</math> <math> \mathrm{grad} = \nabla</math>. Jak widzimy w wyniku działania operatora nabla na funkcję skalarną <math>f(x,y,z)</math> otrzymujemy wektor.  
-
===Dywergencja===
+
Różniczkę funkcji <math>f</math> możemy zapisać jako:
 +
<math>
 +
d f = \mathrm{grad} f \cdot d \mathrm{r} = \vert \mathrm{grad} f\vert \vert d \mathrm{r} \vert cos \theta,
 +
</math>
-
Jeżeli <math>\mathbf f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3</math> jest polem wektorowym <math>(f_x, f_y, f_z)</math> zmiennych <math> (x, y, z)</math>, to dywergencję <math>\mathbf f</math> będącą polem skalarnym można wyrazić za pomocą iloczynu skalarnego nabli przez <math>\mathbf f</math>,
+
gdzie różniczka funkcji <math>f</math> odpowiada przesunięciu w przestrzeni o <math>d \mathrm{r}</math>, a kąt <math>\theta</math> jest kątem pomiędzy wektorem <math>\mathrm{grad} f</math> a wektorem przesunięcia <math>d \mathrm{r}</math>.
 +
 
 +
 
 +
Przypominamy, że pochodna cząstkowa funkcji jest miarą szybkości zmiany funkcji względem zmiennej dla której jest liczona, np. <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> określa szybkość zmiany funkcji wzdłuż osi <math>x</math>.
 +
<!-- Możemy powiedzieć, że gradientem funkcji skalarnej w danym punkcie jest wektor, który odpowiada, co do kierunku i wielkości, największej prędkości zmiany tej funkcji.
 +
-->
 +
Zilustrujemy to na przykładzie funkcji dwóch zmiennych. Wykresem funkcji skalarnej dwóch zmiennych <math>f(x,y)</math> jest powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej, a dobrze znanym przykładem takiej funkcji jest np. ukształtowanie terenu górzystego. Stojąc w takim terenie z łatwością możemy stwierdzić w którym kierunku teren podnosi się maksymalnie, bądź maksymalnie opada. Gradient funkcji, która opisuje ukształtowanie terenu wskazuje kierunek maksymalnego wzrostu, czyli robiąc krok w tym właśnie kierunku znajdziemy się najwyżej.
 +
 
 +
== Dywergencja ==
 +
 
 +
Jak pamiętamy iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem, czyli liczbą. Zajmiemy się teraz operatorem dywergencji, przy czym ograniczymy się do rozpatrywania działania tego operatora na funkcję wektorową <math>\mathbf F</math> będącą funkcją trzech współrzędnych kartezjańskich <math>x,y,z</math>. Funkcja wektorowa <math>\mathbf F</math> ma trzy składowe, które mogą być funkcjami skalarnymi trzech współrzędnych <math>F_x(x,y,z)</math>, <math>F_y(x,y,z)</math>, <math>F_z(x,y,z)</math>. Jeżeli funkcje te są różniczkowalne to możemy skonstruować następujący operator dywergencji <math>\mathrm{div}</math>  
:<math>
:<math>
-
\mathrm{div}\; \mathbf f = \frac{\partial f_x}{\partial x} + \frac{\partial f_y}{\partial y} + \frac{\partial f_z}{\partial z} = \nabla \cdot \mathbf f;
+
\mathrm{div}\; \mathbf F = \frac{\partial F_x(x,y,z)}{\partial x} + \frac{\partial F_y(x,y,z)}{\partial y} + \frac{\partial F_z(x,y,z)}{\partial z} = \nabla \cdot \mathbf F,
</math>
</math>
-
„Wektor nabla” jest mnożony przez „wektor” dając w wyniku „skalar”.
+
dla ktorego wynik działania na funkcję wektorową dany jest przez iloczyn skalarny operatora nabla i tej funkcji. W zwięzłym zapisie symbolicznym <math> \mathrm{div}= \nabla \cdot</math>. W wyniku działania operatora dywergencji na funkcję wektorową otrzymujemy skalar. Dywergencja  w danym punkcie przedstawia strumień (wypływ) wektora pola przez powierzchnię otaczająca jednostkową objętość. Stąd pola o zerowej dywergencji nazywa sie polami bezźródłowymi.
 +
Przykłady, z których najbardziej typowym jest dywergencja wektora natężenia pola elektrycznego, zostaną omówione na kursie fizyki.
-
===Rotacja===
+
== Rotacja ==
-
Zamiana iloczynu skalarnego na iloczyn wektorowy dla danego pola wektorowego <math>\mathbf f</math> w powyższym przypadku umożliwia zwarty sposób zapisu rotacji:
+
Przypominamy, że iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem. Dla różniczkowalnej funkcji wektorowej <math>\mathbf F(x,y,z)</math> można utworzyć następujący operator rotacji
:<math>
:<math>
-
\begin{align} \mathrm{rot}\; \mathbf f & = \left(\frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z},\ \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x},\ \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y}\right) = \\ & = \left(\frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z}\right) \mathbf i + \left( \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x}\right) \mathbf j + \left(\frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y}\right) \mathbf k = \nabla \times \mathbf f;\end{align}
+
\mathrm{rot}\; \mathbf F\ =\ \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{\widehat{x}} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{\widehat{y}} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{\widehat{z}}\  =\ \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z},\ \ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},\ \ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\ =\ \nabla \times \mathbf F
</math>
</math>
-
„Wektor nabla” mnożony wektorowo przez „wektor” daje inny „wektor”.
+
dla którego wynik działania na funkcję wektorową dany jest przez ilocznym wektorowy operatora nabla i tej funkcji. Symbolicznie <math>\mathrm{rot} = \nabla \times</math>. Niezerowa wartość rotacji jest ilustracją tego, że w przestrzeni (w fizyce będzie to np. pole w którym działają siły) opisywanej funkcją wektorową <math>\mathbf F(x,y,z)</math> występują wiry. Pola o zerowej rotacji nazywane są polami bezwirowymi.
-
 
+
-
Notacja macierzowa rotacji:
+
-
:<math>
+
== Laplasjan ==
-
\nabla \times \mathbf f = \det \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ f_x & f_y & f_z \\ \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \end{bmatrix}</math>
+
Operator nabla <math>\nabla</math> jest wektorem, więc możemy utworzyć iloczyn skalarny <math>\nabla \cdot \nabla = \nabla^2</math> otrzymując operator Laplace'a, czyli laplasjan <math>\Delta</math>. We wspórzędnych kartezjańskich ma on następującą postać
-
 
+
-
===Laplasjan===
+
-
Operator Laplace'a, jest operatorem skalarnym działającym na pole skalarne danym jako
+
:<math>
:<math>
\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2
\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2
</math>
</math>
-
 
+
Operator ten działając na funkcję skalarną daje skalar.
-
==Złożenia operatorów różniczkowych ==
+
-
*Trzech operacje na polu wektorowym -> gradient pola skalarnego,
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\mathrm{div}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \cdot (\nabla \varphi)</math>,
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\mathrm{rot}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \times (\nabla \varphi)</math>,
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\Delta \varphi = \nabla^2 \varphi</math>,
+
-
 
+
-
*Operacje na polu skalarnym -> dywergencja pola wektorowego,
+
-
 
+
-
<math>\mathrm{grad}\;(\mathrm{div}\; \mathbf f) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf f)</math>,
+
-
 
+
-
*Dwóch operacji na polu wektorowym -> rotacja pola wektorowego,
+
-
 
+
-
<math>\mathrm{div}\;(\mathrm{rot}\; \mathbf f) = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf f)</math>,
+
-
 
+
-
<math>\mathrm{rot}\;(\mathrm{rot}\; \mathbf f) = \nabla \times (\nabla \times \mathbf f)</math>,
+
-
 
+
-
*Operacja laplasjanu wektorowego,
+
-
 
+
-
<math>\Delta \mathbf f = \nabla^2 \mathbf f</math>,
+
-
 
+
-
=== Związki między operatorami różniczkowymi===
+
-
*<math>\mathrm{div}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \cdot (\nabla \varphi) = \nabla^2 \varphi = \Delta \varphi</math>,
+
-
*<math>\mathrm{rot}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \times (\nabla \varphi) = 0</math>,
+
-
*<math>\mathrm{div}\;(\mathrm{rot}\; \mathbf f) = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf f) = 0</math>.
+
-
*<math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf f) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf f) - \nabla^2 \mathbf f</math>,
+

Aktualna wersja na dzień 09:33, 31 mar 2015

Spis treści

Pojęcie pola

Z pojęciem pola mamy do czynienia w fizyce wtedy, gdy na punktach \((x,y,z)\) pewnego obszaru trójwymiarowej przestrzeni została określona funkcja. Jeżeli będzie to funkcja skalarna \(f(x,y,z)\) to mamy do czynienia z polem skalarnym. Natomiast jeżeli przyporządkujemy wektor \(\mathbf F(x,y,z)=(F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z))\) to będzie to pole wektorowe. Przykładem pola skalarnego jest temperatura powietrza w różnych miejscach atmosfery (temperatura jest skalarem), a przykładem pola wektorowego jest pole siły grawitacyjnej (siła jest wektorem). Operatory różniczkowe mogą działać zarówno na funkcje jednej jak i wielu zmiennych, na funkcje skalarne bądź wektorowe. W tym rozdziale określimy cztery operacje różniczkowe na polach skalarnych i wektorowych: wyliczanie gradientu, dywergencji, rotacji i laplasjanu. Będziemy przy tym wymagać aby rozważane funkcje były różniczkowalne. Operator różniczkowy nabiera sensu dopiero wtedy gdy działa na funkcję skalarną bądź wektorową, przy czym funkcję (wektorową bądź skalarną) na która działa operator wstawiamy po prawej stronie operatora. W tej części kursu nie pojawią się rozwiązania zadań, a wiele przykładów zastosowania operatorów różniczkowych zostanie szczegółowo omówionych na kursie fizyki.

Operator nabla \(\nabla\)

Operator nabla \(\nabla\) we współrzędnych kartezjańskich jest definiowany następująco: \( \nabla\ =\ \mathbf{\widehat{x}} \frac{\partial }{\partial x} + \mathbf{\widehat{y}} \frac{\partial }{\partial y} + \mathbf{\widehat{z}} \frac{\partial }{\partial z}\ =\ \left(\frac{\partial }{\partial x},\,\frac{\partial }{\partial y},\,\frac{\partial }{\partial z}\right), \) gdzie \(\mathbf{\widehat{x}}, \mathbf{\widehat{y}}, \mathbf{\widehat{z}}\) oznaczają wersory wzdłuż trzech osi kartezjańskiego układu współrzędnych. Jak widać operator nabla jest wektorem o trzech składowych i stosują się do niego reguły działań na wektorach. Niektóre z nich wykorzystamy poniżej.

Gradient funkcji skalarnej

Jak wiemy w wyniku mnożenia wektora przez liczbę, czyli przez skalar, otrzymujemy wektor. Dlatego mnożąc wektor \(\nabla\) przez ciągłą, różniczkowalną funkcję \(f(x,y,z)\) współrzędnych \(x, y, z\) można w dowolnym punkcie przestrzeni utworzyć wektor, którego składowe są pochodnymi cząstkowymi w kierunku osi układu współrzędnych : \( \mathrm{grad}\ f\ =\ \nabla f\ =\ \left(\mathbf{\widehat{x}}\,\frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{\widehat{y}}\,\frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{\widehat{z}}\,\frac{\partial}{\partial z}\right)f\ =\ \mathbf{\widehat{x}}\,\frac{\partial f}{\partial x} + \mathbf{\widehat{y}}\,\frac{\partial f}{\partial y} + \mathbf{\widehat{z}}\,\frac{\partial f}{\partial z}\ =\ \left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y},\ \frac{\partial f}{\partial z}\right), \)

gdzie przez \(\mathrm{grad}\) oznaczyliśmy operator różniczkowy gradientu funkcji, czyli operator nabla\(:\) \( \mathrm{grad} = \nabla\). Jak widzimy w wyniku działania operatora nabla na funkcję skalarną \(f(x,y,z)\) otrzymujemy wektor.

Różniczkę funkcji \(f\) możemy zapisać jako: \( d f = \mathrm{grad} f \cdot d \mathrm{r} = \vert \mathrm{grad} f\vert \vert d \mathrm{r} \vert cos \theta, \)

gdzie różniczka funkcji \(f\) odpowiada przesunięciu w przestrzeni o \(d \mathrm{r}\), a kąt \(\theta\) jest kątem pomiędzy wektorem \(\mathrm{grad} f\) a wektorem przesunięcia \(d \mathrm{r}\).


Przypominamy, że pochodna cząstkowa funkcji jest miarą szybkości zmiany funkcji względem zmiennej dla której jest liczona, np. \(\frac{\partial f}{\partial x}\) określa szybkość zmiany funkcji wzdłuż osi \(x\). Zilustrujemy to na przykładzie funkcji dwóch zmiennych. Wykresem funkcji skalarnej dwóch zmiennych \(f(x,y)\) jest powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej, a dobrze znanym przykładem takiej funkcji jest np. ukształtowanie terenu górzystego. Stojąc w takim terenie z łatwością możemy stwierdzić w którym kierunku teren podnosi się maksymalnie, bądź maksymalnie opada. Gradient funkcji, która opisuje ukształtowanie terenu wskazuje kierunek maksymalnego wzrostu, czyli robiąc krok w tym właśnie kierunku znajdziemy się najwyżej.

Dywergencja

Jak pamiętamy iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem, czyli liczbą. Zajmiemy się teraz operatorem dywergencji, przy czym ograniczymy się do rozpatrywania działania tego operatora na funkcję wektorową \(\mathbf F\) będącą funkcją trzech współrzędnych kartezjańskich \(x,y,z\). Funkcja wektorowa \(\mathbf F\) ma trzy składowe, które mogą być funkcjami skalarnymi trzech współrzędnych \(F_x(x,y,z)\), \(F_y(x,y,z)\), \(F_z(x,y,z)\). Jeżeli funkcje te są różniczkowalne to możemy skonstruować następujący operator dywergencji \(\mathrm{div}\)

\[ \mathrm{div}\; \mathbf F = \frac{\partial F_x(x,y,z)}{\partial x} + \frac{\partial F_y(x,y,z)}{\partial y} + \frac{\partial F_z(x,y,z)}{\partial z} = \nabla \cdot \mathbf F, \]

dla ktorego wynik działania na funkcję wektorową dany jest przez iloczyn skalarny operatora nabla i tej funkcji. W zwięzłym zapisie symbolicznym \( \mathrm{div}= \nabla \cdot\). W wyniku działania operatora dywergencji na funkcję wektorową otrzymujemy skalar. Dywergencja w danym punkcie przedstawia strumień (wypływ) wektora pola przez powierzchnię otaczająca jednostkową objętość. Stąd pola o zerowej dywergencji nazywa sie polami bezźródłowymi. Przykłady, z których najbardziej typowym jest dywergencja wektora natężenia pola elektrycznego, zostaną omówione na kursie fizyki.

Rotacja

Przypominamy, że iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem. Dla różniczkowalnej funkcji wektorowej \(\mathbf F(x,y,z)\) można utworzyć następujący operator rotacji \[ \mathrm{rot}\; \mathbf F\ =\ \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{\widehat{x}} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{\widehat{y}} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{\widehat{z}}\ =\ \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z},\ \ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x},\ \ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\ =\ \nabla \times \mathbf F \]

dla którego wynik działania na funkcję wektorową dany jest przez ilocznym wektorowy operatora nabla i tej funkcji. Symbolicznie \(\mathrm{rot} = \nabla \times\). Niezerowa wartość rotacji jest ilustracją tego, że w przestrzeni (w fizyce będzie to np. pole w którym działają siły) opisywanej funkcją wektorową \(\mathbf F(x,y,z)\) występują wiry. Pola o zerowej rotacji nazywane są polami bezwirowymi.

Laplasjan

Operator nabla \(\nabla\) jest wektorem, więc możemy utworzyć iloczyn skalarny \(\nabla \cdot \nabla = \nabla^2\) otrzymując operator Laplace'a, czyli laplasjan \(\Delta\). We wspórzędnych kartezjańskich ma on następującą postać \[ \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2 \] Operator ten działając na funkcję skalarną daje skalar.

Źródło „http://172.16.3.1/ekonofizyka/index.php/Operatory_r%C3%B3%C5%BCniczkowe”