Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści |
Operator różniczkowy - definicja
Operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych wykorzystujący pojęcie pochodnej bądź różniczki funkcji. Operatory różniczkowe mogą działać zarówno na funkcje jednej jak i wielu zmiennych, na funkcje skalarne i wektorowe.
Nabla
W rachunku wektorowym konwencja notacyjna ułaskawiając zapis różnorodnych operatorów różniczkowych: gradientu, dywergencji, rotacji i laplasjanu. Oznaczana jako \(\nabla\)
Nablę definiuje się za pomocą pochodnych cząstkowych wzorem (układ współrzędnych kartezjańskich)
\[\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) = \mathbf i \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf j \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf k \frac{\partial}{\partial z}, \]
gdzie \( \scriptstyle \mathbf i,\; \mathbf j,\; \mathbf k \)oznaczają wektory jednostkowe osi (patrz Wektory, działania na wektorach)
Gradient
Jeśli \(\scriptstyle \varphi\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R\) jest polem skalarnym, to potraktowanie nabli jako funkcji pola skalarnego daje pole wektorowe nazywane gradientem \[ \mathrm{grad}\; \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right) = \mathbf i \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \mathbf j \frac{\partial \varphi}{\partial y} + \mathbf k \frac{\partial \varphi}{\partial z} = \nabla \varphi; \]
Zapis ten można traktować jako mnożenie „wektora nabla” przez „skalar” dające w wyniku „wektor”.
Dywergencja
Jeżeli \(\mathbf f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3\) jest polem wektorowym \((f_x, f_y, f_z)\) zmiennych \( (x, y, z)\), to dywergencję \(\mathbf f\) będącą polem skalarnym można wyrazić za pomocą iloczynu skalarnego nabli przez \(\mathbf f\),
\[ \mathrm{div}\; \mathbf f = \frac{\partial f_x}{\partial x} + \frac{\partial f_y}{\partial y} + \frac{\partial f_z}{\partial z} = \nabla \cdot \mathbf f; \]
„Wektor nabla” jest mnożony przez „wektor” dając w wyniku „skalar”.
Rotacja
Zamiana iloczynu skalarnego na iloczyn wektorowy dla danego pola wektorowego \(\mathbf f\) w powyższym przypadku umożliwia zwarty sposób zapisu rotacji: \[ \begin{align} \mathrm{rot}\; \mathbf f & = \left(\frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z},\ \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x},\ \frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y}\right) = \\ & = \left(\frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z}\right) \mathbf i + \left( \frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x}\right) \mathbf j + \left(\frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y}\right) \mathbf k = \nabla \times \mathbf f;\end{align} \]
„Wektor nabla” mnożony wektorowo przez „wektor” daje inny „wektor”.
Notacja macierzowa rotacji:
\[ \nabla \times \mathbf f = \det \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ f_x & f_y & f_z \\ \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \end{bmatrix}\]
Laplasjan
Operator Laplace'a, jest operatorem skalarnym działającym na pole skalarne danym jako \[ \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2 \]
Złożenia operatorów różniczkowych
- Trzech operacje na polu wektorowym -> gradient pola skalarnego,
\( \mathrm{div}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \cdot (\nabla \varphi)\),
\( \mathrm{rot}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \times (\nabla \varphi)\),
\( \Delta \varphi = \nabla^2 \varphi\),
- Operacje na polu skalarnym -> dywergencja pola wektorowego,
\(\mathrm{grad}\;(\mathrm{div}\; \mathbf f) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf f)\),
- Dwóch operacji na polu wektorowym -> rotacja pola wektorowego,
\(\mathrm{div}\;(\mathrm{rot}\; \mathbf f) = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf f)\),
\(\mathrm{rot}\;(\mathrm{rot}\; \mathbf f) = \nabla \times (\nabla \times \mathbf f)\),
- Operacja laplasjanu wektorowego,
\(\Delta \mathbf f = \nabla^2 \mathbf f\),
Związki między operatorami różniczkowymi
- \(\mathrm{div}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \cdot (\nabla \varphi) = \nabla^2 \varphi = \Delta \varphi\),
- \(\mathrm{rot}\;(\mathrm{grad}\; \varphi) = \nabla \times (\nabla \varphi) = 0\),
- \(\mathrm{div}\;(\mathrm{rot}\; \mathbf f) = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf f) = 0\).
- \(\nabla \times (\nabla \times \mathbf f) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf f) - \nabla^2 \mathbf f\),