Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Spis treści |
Operator różniczkowy
Operatory różniczkowe mogą działać zarówno na funkcje jednej jak i wielu zmiennych, na funkcje skalarne bądź wektorowe. Wprowadzimy teraz cztery podstawowe operatory różniczkowe, które znajdą zastosowanie w kursie fizyki, a ograniczymy się do kartezjańskiego układu współrzędnych. Będziemy przy tym wymagać aby rozważane funkcje były różniczkowalne. W tej części kursu, podobnie jak w przypadku omawiania układów współrzędnych, nie pojawią się rozwiązania zadań, ponieważ wiele przykładów zastosowania operatorów różniczkowych zostanie szczegółowo omówionych na kursie fizyki.
Gradient
Dla ciągłej, różniczkowalnej funkcji \(f(x,y,z)\) współrzędnych \(x, y, z\) można w dowolnym punkcie przestrzeni utworzyć wektor, którego składowe są pochodnymi cząstkowymi w kierunku osi układu współrzędnych : \( \mathrm{grad}\ f = \nabla f = \mathbf{\widehat{x}} \frac{\partial f}{\partial x} + \mathbf{\widehat{y}} \frac{\partial f}{\partial y} + \mathbf{\widehat{z}} \frac{\partial f}{\partial z}, \)
gdzie przez \(grad\), lub \(\nabla\) (czytamy nabla) oznaczyliśmy operator różniczkowy gradientu funkcji. Jak widzimy w wyniku działania operatora gradientu na funkcję skalarną \(f(x,y,z)\) otrzymujemy wektor. Przypominamy, że pochodna cząstkowa funkcji jest miarą szybkości zmiany funkcji względem zmiennej dla której jest liczona, np. \(\frac{\partial f}{\partial x}\) określa szybkość zmiany funkcji wzdłuż osi \(x\). Zatem kierunek wektora gradientu funkcji \(\nabla f\) będzie odpowiadał kierunkowi najszybszej zmiany funkcji \(f(x,y,z)\) w punkcie, w którym liczymy gradient. Zilustrujemy to na przykładzie funkcji dwóch zmiennych. Wykresem funkcji skalarnej dwóch zmiennych \(f(x,y)\) jest powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej, a dobrze znanym przykładem takiej funkcji jest np. ukształtowanie terenu górzystego. Stojąc w takim terenie z łatwością możemy stwierdzić w którym kierunku teren podnosi sie maksymalnie, bądź maksymalnie opada. Operator różniczkowy gradientu funkcji, która opisuje ukształtowanie terenu wskazuje kierunek maksymalnego wzrostu, czyli robiąc krok w tym własnie kierunku znjadziemy się najwyżej.
Operator \(\nabla\) we współrzędnych kartezjańskich jest definiowany nastepująco: \( \nabla = \mathbf{\widehat{x}} \frac{\partial }{\partial x} + \mathbf{\widehat{y}} \frac{\partial }{\partial y} + \mathbf{\widehat{z}} \frac{\partial }{\partial z}, \) gdzie \(\mathbf{\widehat{x}}, \mathbf{\widehat{y}}, \mathbf{\widehat{z}}\) oznaczją wersory wzdłuż trzech osi kartezjańskiego układu współrzędnych.
Dywergencja
Zajmiemy się teraz operatorem dywergencji, przy czym ograniczymy się do rozpatrywania działania tego operatora na funkcję wektorową \(\mathbf F\) będącą funkcją trzech współrzędnych kartezjańskich \(x,y,z\). Zatem funkcja wektorowa \(\mathbf F\) ma trzy składowe, które są funkcjami skalarnymi \(F_x(x,y,z)\), \(F_y(x,y,z)\), \(F_z(x,y,z)\). Jeżeli funkcje te są różniczkowalne to możemy skonstruować nastepujący operator dywergencji \(\mathrm{div}\)
\[ \mathrm{div}\; \mathbf F = \frac{\partial F_x(x,y,z)}{\partial x} + \frac{\partial F_y(x,y,z)}{\partial y} + \frac{\partial F_z(x,y,z)}{\partial z} = \nabla \cdot \mathbf F, \]
będący iloczynem skalarnym operatora gradientu \(\nabla\) i funkcji \(\mathbf F\). W wyniku działania operatora dywergencji na funkcję wektorową otrzymujemy skalar czyli liczbę. Dywergencja jest pewną miarą zmienności funkcji wektorowej w przestrzeni. Przykłady, z których najbardziej typowym jest dywergencja wektora natężenia pola elektrycznego, zostaną omówione na kursie fizyki.
Rotacja
Dla różniczkowalnej funkcji wektorowej \(\mathbf F(x,y,z)\) można utworzyć nastepujący operator rotacji \[ \mathrm{rot}\; \mathbf F = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{\widehat{x}} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{\widehat{y}} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{\widehat{z}} = \nabla \times \mathbf F \]
będący iloczynem wektorowym operatora wektorowego \(\nabla\) i funkcji wektorowej \(\mathbf F\). Rotację można także obliczyć korzystając z zapisu wyznacznikowego
\[ \nabla \times \mathbf F = \det \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \\ \mathbf{\widehat{x}} & \mathbf{\widehat{y}} & \mathbf{\widehat{z}} \end{bmatrix}\]
Niezerowa wartość rotacji jest ilustracją tego, że w przestrzeni (w fizyce będzie to pole w którym działają siły) opisywanej funkcją wektorową \(\mathbf F(x,y,z)\) występują wiry.
Laplasjan
We wspórzędnych kartezjańskich operator Laplace'a, czyli laplasjan \(\Delta\), jest kwadratem operatora nabla \(\nabla\) \[ \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2 \] Operator ten działając na funkcję skalarną daje skalar czyli liczbę. Należy zwrócić uwagę, że tak prosta definicja (kwadrat operatora \(\nabla\)) jest prawdziwa jedynie w kartezjańskim układzie współrzędnych. W krzywoliniowych układach współrzędnych (np. w układzie współrzędnych sferycznych) trzeba korzystać z ogólniejszej definicji laplasjanu.