Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(Utworzył nową stronę „==Dodatek matematyczny== 1. Elementy teorii dystrybucji: delta Diraca, funkcja schodkowa i jej pochodna , różniczkowanie funkcji nieciągłej 2. Podstawowe t…”) |
(→Dodatek matematyczny) |
||
Linia 2: | Linia 2: | ||
- | |||
- | + | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | A. Elementy teorii dystrybucji: delta Diraca, funkcja schodkowa i jej pochodna , różniczkowanie funkcji nieciągłej | ||
+ | |||
+ | |||
+ | B. Podstawowe tw. w teorii całki Riemanna , różniczkowanie całki wz. górnej granicy całkowania | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | TWIERDZENIE B1: | ||
+ | |||
+ | Niech funkcja <math>f(x)</math> będzie funkcją ciągłą na odcinku <math>[a, b]</math> oraz | ||
+ | |||
+ | :<math>F(x) = \int_a^x f(s) ds</math> | ||
+ | |||
+ | Funkcja <math>F(x)</math> jest funkcją górnej granicy całkowania <math>x</math>. Zachodzi twierdzenie | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :<math>\frac{dF(x)}{dx} = f(x)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Innymi słowy, jeżeli różniczkujemy całkę względem górnej granicy całkowania, to w wyniku otrzyumujemy funkcję podcałkową <math>f</math> w punkcie górnej granicy całkowania <math>x</math>. | ||
+ | Oto kilka przykładów: | ||
+ | |||
+ | 1. | ||
+ | :<math>F(x) = \int_a^x sin(s) e^{s+2} ds</math> | ||
+ | |||
+ | wówczas | ||
+ | |||
+ | :<math>\frac{dF(x)}{dx} = sin(x) e^{x+2} </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | 2. | ||
+ | :<math>g(y) = \int_{-\infty}^y sin(s) e^{s+2} ds</math> | ||
+ | |||
+ | wówczas | ||
+ | |||
+ | :<math>\frac{dg(y)}{dy} = sin(y) e^{y+2} </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Czyli otrzymane funkcje <math>F'</math> oraz <math>g'</math> to te same funkcje. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | BB. Uogólnione twierdzenie rachunku całkowego | ||
+ | |||
+ | |||
+ | TWIERDZENIE B2: | ||
+ | |||
+ | Jeżeli <math>h(x)</math> jest funkcją różniczkowalną oraz | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :<math>F(x) = \int_a^{h(x)} f(s) ds</math> | ||
+ | |||
+ | to | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :<math>\frac{dF(x)}{dx} = f(h(x)) h'(x) = f(h(x)) \frac{dh(x)}{dx}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Innymi słowy, wyrażenie to jest pochodną funkcji złożonej: | ||
+ | |||
+ | :<math>\frac{dF}{dx} = \frac{dF}{dh}\frac{dh}{dx} = f(h) h' </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Przykład: | ||
+ | |||
+ | Jeżeli | ||
+ | |||
+ | :<math>F(x) = \int_a^{cos(x)} [3 s^2 + 5s] ds</math> | ||
+ | |||
+ | to | ||
+ | |||
+ | :<math>\frac{dF(x)}{dx} = \{3 [cos(x)]^2 + 5 cos(x)\} [-sin(x)] </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Jeżeli istnieje potrzeba różniczkowania całḱi | ||
+ | |||
+ | :<math>G(x) = \int_x^b f(s) ds</math> | ||
+ | |||
+ | względem dolnej granicy całkowania to należy skorzystać z własności | ||
+ | |||
+ | :<math>G(x) = \int_x^b f(s) ds = -\int_b^x f(s) ds</math> | ||
+ | |||
+ | i następnie zastosować TWIERDZENIE B1. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
Wersja z 07:10, 26 mar 2010
Dodatek matematyczny
A. Elementy teorii dystrybucji: delta Diraca, funkcja schodkowa i jej pochodna , różniczkowanie funkcji nieciągłej
B. Podstawowe tw. w teorii całki Riemanna , różniczkowanie całki wz. górnej granicy całkowania
TWIERDZENIE B1:
Niech funkcja \(f(x)\) będzie funkcją ciągłą na odcinku \([a, b]\) oraz
\[F(x) = \int_a^x f(s) ds\]
Funkcja \(F(x)\) jest funkcją górnej granicy całkowania \(x\). Zachodzi twierdzenie
\[\frac{dF(x)}{dx} = f(x)\]
Innymi słowy, jeżeli różniczkujemy całkę względem górnej granicy całkowania, to w wyniku otrzyumujemy funkcję podcałkową \(f\) w punkcie górnej granicy całkowania \(x\). Oto kilka przykładów:
1. \[F(x) = \int_a^x sin(s) e^{s+2} ds\]
wówczas
\[\frac{dF(x)}{dx} = sin(x) e^{x+2} \]
2. \[g(y) = \int_{-\infty}^y sin(s) e^{s+2} ds\]
wówczas
\[\frac{dg(y)}{dy} = sin(y) e^{y+2} \]
Czyli otrzymane funkcje \(F'\) oraz \(g'\) to te same funkcje.
BB. Uogólnione twierdzenie rachunku całkowego
TWIERDZENIE B2:
Jeżeli \(h(x)\) jest funkcją różniczkowalną oraz
\[F(x) = \int_a^{h(x)} f(s) ds\]
to
\[\frac{dF(x)}{dx} = f(h(x)) h'(x) = f(h(x)) \frac{dh(x)}{dx}\]
Innymi słowy, wyrażenie to jest pochodną funkcji złożonej:
\[\frac{dF}{dx} = \frac{dF}{dh}\frac{dh}{dx} = f(h) h' \]
Przykład:
Jeżeli
\[F(x) = \int_a^{cos(x)} [3 s^2 + 5s] ds\]
to
\[\frac{dF(x)}{dx} = \{3 [cos(x)]^2 + 5 cos(x)\} [-sin(x)] \]
Jeżeli istnieje potrzeba różniczkowania całḱi
\[G(x) = \int_x^b f(s) ds\]
względem dolnej granicy całkowania to należy skorzystać z własności
\[G(x) = \int_x^b f(s) ds = -\int_b^x f(s) ds\]
i następnie zastosować TWIERDZENIE B1.
3. Transformacja Fouriera
4. Momenty statystyczne dla rozkładu Poissona
5. Twierdzenie Poissona dla uogólnionych schematów Bernoulliego