Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→Dodatek matematyczny) |
(→Dodatek matematyczny) |
||
| Linia 10: | Linia 10: | ||
| - | A. Elementy teorii dystrybucji | + | ===A. Elementy teorii dystrybucji=== |
| - | B. | + | |
| + | |||
| + | delta Diraca, funkcja schodkowa i jej pochodna , różniczkowanie funkcji nieciągłej | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ===B. Różniczkowanie całki względem granic całkowania === | ||
| Linia 49: | Linia 54: | ||
| - | + | Zwróćmy uwagę na to, że otrzymane funkcje <math>F'</math> oraz <math>g'</math> to te same funkcje, chociaż użyliśmy innych oznaczeń dla argumentów (raz <math>x</math>, raz <math>y</math>). | |
| Linia 102: | Linia 107: | ||
| - | + | ===C. Transformacja Fouriera=== | |
| + | |||
| + | Niech <math>f </math> będzie funkcją bezwzględnie całkowalną na zbiorze <math>R^1</math>, | ||
| + | to znaczy całka | ||
| + | |||
| + | :<math> \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| dx < \infty </math> | ||
| + | |||
| + | jest liczbą skończoną. Wówczas transformatą Fouriera funkcji <math>f</math> nazywamy funkcję | ||
| + | |||
| + | :<math> h(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega x} f(x) dx </math> | ||
| + | |||
| + | gdzie <math>\omega \in R^1</math> jest liczbą rzeczywista, Liczba <math>\omega</math> występuje w całce jako parametr: gdy zmieniamy wartość tego parametru, to w ogólności zmienia się wartość całki, czyli całka ta jest funkcją <math>\omega</math>. Aby zaznaczyć, żą ta nowa funkcja <math>h</math> jest związana z funkcją <math>f</math>, stosuje się oznaczenie | ||
| + | |||
| + | :<math>h(\omega) = \hat f(\omega)</math> | ||
| + | |||
| + | Stąd w podręcznikach spotyka się następującą formę dla transformaty Fouriera | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :<math>\hat f(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega x} f(x) dx </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Odwrotna transformacja Fouriera dana jest przez wzór | ||
| + | |||
| + | :<math>f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega x} \hat f(\omega) d\omega </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | W różnych podręcznikach spotyka się różne wzory na transformaty Fouriera. Czytelnik powinien patrzeć łącznie na dwie transformaty: prostą i odwrotną. Wówczas powinny być spełnione dwie relacje: | ||
| + | |||
| + | (i) jeżeli w jednym wzorze występuje w eksponencie <math>\pm i\omega x</math> to w drugim wzorze występuje w eksponencie | ||
| + | <math>\mp i\omega x</math>, to znaczy zawsze powinny być przeciwne znaki | ||
| + | |||
| + | (ii) iloczyn czynników przez całkami dla <math>\hat f</math> i <math>f\,</math> powinien zawsze wynosić <math>1/2\pi\,</math>. Czasami używa się symetrycznego zapisu <math>1/\sqrt{2\pi}</math> | ||
| + | w oby całkach. My stosujemy konwencję jak powyżej, ponieważ transformata Fouriera gęstości rozkładu prawdopodobieństwa <math>p(x) </math> zmiennej losowej <math>\xi</math> jest funkcją charakterystyczną tej zmiennej losowej: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :<math> C(\omega) = \langle e^{i\omega \xi} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega x} p(x) dx </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Podobnie jest dla procesu stochastycznego <math>\xi(t)</math> o gęstości rozkładu prawdopodobieństwa <math>p(x, t)</math>: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :<math> C(\omega,t) = \langle e^{i\omega \xi(t)} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega x} p(x, t) dx </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | ===D. Momenty statystyczne dla rozkładu Poissona=== | ||
| + | |||
| - | |||
| - | + | ===E. Twierdzenie Poissona dla uogólnionych schematów Bernoulliego=== | |
Wersja z 07:55, 26 mar 2010
Spis treści |
Dodatek matematyczny
A. Elementy teorii dystrybucji
delta Diraca, funkcja schodkowa i jej pochodna , różniczkowanie funkcji nieciągłej
B. Różniczkowanie całki względem granic całkowania
TWIERDZENIE B1:
Niech funkcja \(f(x)\) będzie funkcją ciągłą na odcinku \([a, b]\) oraz
\[F(x) = \int_a^x f(s) ds\]
Funkcja \(F(x)\) jest funkcją górnej granicy całkowania \(x\). Zachodzi twierdzenie
\[\frac{dF(x)}{dx} = f(x)\]
Innymi słowy, jeżeli różniczkujemy całkę względem górnej granicy całkowania, to w wyniku otrzyumujemy funkcję podcałkową \(f\) w punkcie górnej granicy całkowania \(x\). Oto kilka przykładów:
1. \[F(x) = \int_a^x sin(s) e^{s+2} ds\]
wówczas
\[\frac{dF(x)}{dx} = sin(x) e^{x+2} \]
2. \[g(y) = \int_{-\infty}^y sin(s) e^{s+2} ds\]
wówczas
\[\frac{dg(y)}{dy} = sin(y) e^{y+2} \]
Zwróćmy uwagę na to, że otrzymane funkcje \(F'\) oraz \(g'\) to te same funkcje, chociaż użyliśmy innych oznaczeń dla argumentów (raz \(x\), raz \(y\)).
BB. Uogólnione twierdzenie rachunku całkowego
TWIERDZENIE B2:
Jeżeli \(h(x)\) jest funkcją różniczkowalną oraz
\[F(x) = \int_a^{h(x)} f(s) ds\]
to
\[\frac{dF(x)}{dx} = f(h(x)) h'(x) = f(h(x)) \frac{dh(x)}{dx}\]
Innymi słowy, wyrażenie to jest pochodną funkcji złożonej:
\[\frac{dF}{dx} = \frac{dF}{dh}\frac{dh}{dx} = f(h) h' \]
Przykład:
Jeżeli
\[F(x) = \int_a^{cos(x)} [3 s^2 + 5s] ds\]
to
\[\frac{dF(x)}{dx} = \{3 [cos(x)]^2 + 5 cos(x)\} [-sin(x)] \]
Jeżeli istnieje potrzeba różniczkowania całḱi
\[G(x) = \int_x^b f(s) ds\]
względem dolnej granicy całkowania to należy skorzystać z własności
\[G(x) = \int_x^b f(s) ds = -\int_b^x f(s) ds\]
i następnie zastosować TWIERDZENIE B1.
C. Transformacja Fouriera
Niech \(f \) będzie funkcją bezwzględnie całkowalną na zbiorze \(R^1\), to znaczy całka
\[ \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| dx < \infty \]
jest liczbą skończoną. Wówczas transformatą Fouriera funkcji \(f\) nazywamy funkcję
\[ h(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega x} f(x) dx \]
gdzie \(\omega \in R^1\) jest liczbą rzeczywista, Liczba \(\omega\) występuje w całce jako parametr: gdy zmieniamy wartość tego parametru, to w ogólności zmienia się wartość całki, czyli całka ta jest funkcją \(\omega\). Aby zaznaczyć, żą ta nowa funkcja \(h\) jest związana z funkcją \(f\), stosuje się oznaczenie
\[h(\omega) = \hat f(\omega)\]
Stąd w podręcznikach spotyka się następującą formę dla transformaty Fouriera
\[\hat f(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega x} f(x) dx \]
Odwrotna transformacja Fouriera dana jest przez wzór
\[f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega x} \hat f(\omega) d\omega \]
W różnych podręcznikach spotyka się różne wzory na transformaty Fouriera. Czytelnik powinien patrzeć łącznie na dwie transformaty: prostą i odwrotną. Wówczas powinny być spełnione dwie relacje:
(i) jeżeli w jednym wzorze występuje w eksponencie \(\pm i\omega x\) to w drugim wzorze występuje w eksponencie \(\mp i\omega x\), to znaczy zawsze powinny być przeciwne znaki
(ii) iloczyn czynników przez całkami dla \(\hat f\) i \(f\,\) powinien zawsze wynosić \(1/2\pi\,\). Czasami używa się symetrycznego zapisu \(1/\sqrt{2\pi}\) w oby całkach. My stosujemy konwencję jak powyżej, ponieważ transformata Fouriera gęstości rozkładu prawdopodobieństwa \(p(x) \) zmiennej losowej \(\xi\) jest funkcją charakterystyczną tej zmiennej losowej:
\[ C(\omega) = \langle e^{i\omega \xi} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega x} p(x) dx \]
Podobnie jest dla procesu stochastycznego \(\xi(t)\) o gęstości rozkładu prawdopodobieństwa \(p(x, t)\):
\[ C(\omega,t) = \langle e^{i\omega \xi(t)} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega x} p(x, t) dx \]