Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Dodatek matematyczny

A. Elementy teorii dystrybucji: delta Diraca, funkcja schodkowa i jej pochodna , różniczkowanie funkcji nieciągłej

B. Podstawowe tw. w teorii całki Riemanna , różniczkowanie całki wz. górnej granicy całkowania

TWIERDZENIE B1:

Niech funkcja \(f(x)\) będzie funkcją ciągłą na odcinku \([a, b]\) oraz

\[F(x) = \int_a^x f(s) ds\]

Funkcja \(F(x)\) jest funkcją górnej granicy całkowania \(x\). Zachodzi twierdzenie

\[\frac{dF(x)}{dx} = f(x)\]

Innymi słowy, jeżeli różniczkujemy całkę względem górnej granicy całkowania, to w wyniku otrzyumujemy funkcję podcałkową \(f\) w punkcie górnej granicy całkowania \(x\). Oto kilka przykładów:

1. \[F(x) = \int_a^x sin(s) e^{s+2} ds\]

wówczas

\[\frac{dF(x)}{dx} = sin(x) e^{x+2} \]

2. \[g(y) = \int_{-\infty}^y sin(s) e^{s+2} ds\]

wówczas

\[\frac{dg(y)}{dy} = sin(y) e^{y+2} \]

Czyli otrzymane funkcje \(F'\) oraz \(g'\) to te same funkcje.

BB. Uogólnione twierdzenie rachunku całkowego

TWIERDZENIE B2:

Jeżeli \(h(x)\) jest funkcją różniczkowalną oraz

\[F(x) = \int_a^{h(x)} f(s) ds\]

to

\[\frac{dF(x)}{dx} = f(h(x)) h'(x) = f(h(x)) \frac{dh(x)}{dx}\]

Innymi słowy, wyrażenie to jest pochodną funkcji złożonej:

\[\frac{dF}{dx} = \frac{dF}{dh}\frac{dh}{dx} = f(h) h' \]

Przykład:

Jeżeli

\[F(x) = \int_a^{cos(x)} [3 s^2 + 5s] ds\]

to

\[\frac{dF(x)}{dx} = \{3 [cos(x)]^2 + 5 cos(x)\} [-sin(x)] \]

Jeżeli istnieje potrzeba różniczkowania całḱi

\[G(x) = \int_x^b f(s) ds\]

względem dolnej granicy całkowania to należy skorzystać z własności

\[G(x) = \int_x^b f(s) ds = -\int_b^x f(s) ds\]

i następnie zastosować TWIERDZENIE B1.

3. Transformacja Fouriera

4. Momenty statystyczne dla rozkładu Poissona

5. Twierdzenie Poissona dla uogólnionych schematów Bernoulliego