Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 17:44, 30 mar 2010 (pokaż źródło) Luczka (dyskusja | edycje) (→Równania Ito i procesy dyfuzji) ← poprzednia edycja		Wersja z 18:26, 30 mar 2010 (pokaż źródło) Luczka (dyskusja | edycje) (→Równania Ito i procesy dyfuzji) następna edycja →
Linia 382:		Linia 382:
-	Pierwszy moment warunkowy ma postać:	+	'''Warunkowy moment statystyczny pierwszego rzędu''' ma postać:
Linia 431:		Linia 431:
	<math>  {\mathbb B}_1(x, t) = F(x, t)		<math>  {\mathbb B}_1(x, t) = F(x, t)
	</math>  </equation>		</math>  </equation>
		+
		+
		+
		+
		+	'''Warunkowy moment statystyczny  drugiego  rzędu'''  ma postać:
		+
		+
		+	<equation id="eqn:10.71-equation">
		+	<math>  {\mathbb B}_2(x, t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} {\mathbb M}_2(x, t;\Delta t) = \lim_{\Delta t \to 0}
		+	\frac{1}{\Delta t} \; \langle [\Delta X(t)]^2|X(t) = x \rangle
		+	</math>  </equation>
		+
		+
		+	<math>
		+	= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle \left[F(X(t), t) \Delta t + G(X(t), t) \Delta W(t)\right]^2|X(t) = x \rangle =
		+	</math>
		+
		+
		+	Jeżeli podniesiemy do kwadratu wyrażenie w nawiasie, pojawiają sie trzy składniki:
		+
		+
		+	Pierwszy składnik:
		+
		+
		+	<math>
		+	= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle F^2(X(t), t) (\Delta t)^2 |X(t) = x \rangle =  \lim_{\Delta t \to 0} \Delta t \, F^2(x, t) \; \langle 1 |X(t) = x \rangle = 0
		+	</math>
		+
		+
		+	Składnik ten jest zero ponieważ <math>\lim_{\Delta t \to 0} \Delta t =0</math>.
		+
		+	Drugi składnik:
		+
		+	<math>
		+	= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle 2 F(X(t), t)  G(X(t), t) \Delta t \Delta W(t) |X(t) = x \rangle
		+	</math>
		+
		+
		+	<math>
		+	= \lim_{\Delta t \to 0}  \; 2 F(x, t)  G(x, t) \langle \Delta W(t)|X(t) = x \rangle = 0
		+	</math>
		+
		+
		+	Składnik ten jest zero ponieważ <math>\langle \Delta W(t)|X(t) = x \rangle = \langle \Delta W(t) \rangle =  0</math>.
		+
		+
		+	Trzeci  składnik:
		+
		+
		+	<math>
		+	\lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle G^2(X(t), t) [\Delta W(t)]^2|X(t) = x \rangle = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; G^2(x, t)\langle [\Delta W(t)]^2|X(t) = x \rangle
		+	</math>
		+
		+
		+	<math>
		+	= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; G^2(x, t) \langle [\Delta W(t)]^2 \rangle
		+	= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; G^2(x, t) \,2D \Delta t = 2D G^2(x, t)
		+	</math>
		+
		+
		+	Ostatecznie druga funkcja w rozwinięciu Kramersa-Moyala ma postać:
		+
		+
		+	<equation id="eqn:10.72-equation">
		+	<math>  {\mathbb B}_2(x, t) =  2D G^2(x, t)
		+	</math>  </equation>
		+
		+
		+
		+
		+	'''Warunkowy moment statystyczny  trzeciego  rzędu'''  ma postać:
		+
		+
		+	<equation id="eqn:10.73-equation">
		+	<math>  {\mathbb B}_3(x, t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} {\mathbb M}_3(x, t;\Delta t) = \lim_{\Delta t \to 0}
		+	\frac{1}{\Delta t} \; \langle [\Delta X(t)]^3|X(t) = x \rangle
		+	</math>  </equation>
		+
		+
		+	<math>
		+	= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle \left[F(X(t), t) \Delta t + G(X(t), t) \Delta W(t)\right]^3|X(t) = x \rangle =
		+	</math>
		+
		+
		+	Jeżeli podniesiemy do sześcianu wyrażenie w nawiasie, pojawiają sie cztery  składniki:
		+
		+
		+	Pierwszy składnik:
		+
		+
		+	<math>
		+	= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle F^3(X(t), t) (\Delta t)^3 |X(t) = x \rangle =  \lim_{\Delta t \to 0} (\Delta t)^2 \, F^3(x, t) \; \langle 1 |X(t) = x \rangle = 0
		+	</math>
		+
		+
		+	Składnik ten jest zero ponieważ <math>\lim_{\Delta t \to 0} (\Delta t)^2 =0</math>.
		+
		+	Drugi składnik:
		+
		+	<math>
		+	= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle 3 F^2(X(t), t)  G(X(t), t) (\Delta t)^2 \Delta W(t) |X(t) = x \rangle  = 0
		+	</math>
		+
		+
		+	<math>
		+	= \lim_{\Delta t \to 0}  \; 3 \Delta t  F^2(x, t)  G(x, t) \langle \Delta W(t)|X(t) = x \rangle = 0
		+	</math>
		+
		+
		+	Trzeci  składnik:
		+
		+
		+	<math>
		+	\lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; 3 \Delta t F(x, t) G^2(x,  t)\langle [\Delta W(t)]^2|X(t) = x \rangle = \lim_{\Delta t \to 0} 3F(x, t) G^2(x, t) 2D \Delta t = 0
		+	</math>

---

Wersja z 18:26, 30 mar 2010

Spis treści 1 Stochastyczne równania różniczkowe 1.1 Całki stochastyczne Ito i Stratonowicza 1.2 Rachunek różniczkowy Ito 1.3 Równania Ito i procesy dyfuzji

Stochastyczne równania różniczkowe

Pamiętamy, że proces Wienera otrzymaliśmy jako graniczny proces błądzenia przypadkowego cząstki poruszającej się ruchem jednowymiarowym. Uogólnienie na przypadek dwóch lub trzech wymiarów nie stanowi problemu. Proces Wienera \(W(t)\) opisuje w tym przypadku położenie cząstki. Pochodna procesu Wienera jest białym szumem gaussowskim \(\Gamma(t)\). Jeżeli oznaczymy położenie cząski przez \(X(t)\), to możemy napisać następującą relację

\[\frac{dX(t)}{dt} =\Gamma(t)\]

gdzie lewa strona jest prędkością cząstki Browna. Możemy spojrzeć na tę relację jak na stochastyczne równanie różniczkowe z losowym wyrazem \(\Gamma(t)\), który jest białym szumem gaussowskim. Biały szum gaussowski można zastąpić innymi procesami losowymi. Możemy tego typu równanie uogólniać do różnych postaci. Dla przykładu

gdzie funkcje \(F(x, t)\) oraz \(G(x, t)\) są funkcjami deterministycznymi (nielosowymi).

Okazuje się, że interpretacja takich równań stochastycznych z białymi szumami (poissonowskim, gaussowskim lub najogólniej Levy'ego) nie jest jednoznaczna w odróżnieniu od równań różniczkowych deterministycznych, to znaczy takich, które nie zawierają żadnych wielkości losowych. Gdzie tkwi przyczyna niejednoznaczności? Mozna odpowiedzieć, że źródłem tych niejednoznaczności jest własność procesu Wienera, Poissona lub w ogólności Levy'ego. Pamiętamy, że są to procesy o niezależnych przyrostach na nieprzekrywających się przedziałach. To jest istota zagadnienia.

Fizycy nazywają Równanie (1) równaniem Langevina. Matematycy nie lubią takiej postaci tego równania. Dlaczego? Ponieważ, jak pamiętamy, biały szum gaussowski nie jest "poprawnie" zdefiniowany. Nawet w sensie średnikwadratowym! Matematycy preferują inną postać równania (1) którą można otrzymać w następujący sposób: ponieważ

więc pomnożymy obustronnie równanie (1) przez \(dt\) i otrzymamy

Ta postać równania nazywa się równaniem Ito. W tym równaniu wszystkie wielkości są poprawnie zdefiniowane. Wielkość \(dW(t)\) jest różniczką czyli przyrostem procesu Wienera:

Wiemy, że

Stąd, w sensie średniokwadratowym

Przy takim spojrzeniu, w równaniu (3), pierwszy wyraz po prawej stronie jest rzędu \(dt\), natomiast drugi wyraz jest rzędu \(\sqrt{dt}\).

Możemy powyższe równanie Ito uogolnić na wielowymiarowy przypadek dla wektora procesów stochastycznych

\[\vec{X}(t)= \{X_1(t), X_2(t), \dots, X_n(t)\}\]

Otrzymujemy układ równań Ito w postaci

gdzie funkcje \(F_i({\vec X}, t)\) oraz \(G_{ij}({\vec X}, t)\) są funkcjami deterministycznymi (nielosowymi) oraz

\[\vec{W}(t)= \{W_1(t), W_2(t), \dots, W_n(t)\}\]

są niezależnymi procesami Wienera o statystyce

gdzie \(\delta_{ij}\) jest deltą Kroneckera (patrz Dodatek matematyczny).

Całki stochastyczne Ito i Stratonowicza

Równanie (3) ciągle jest "niedodefiniowane". Co to znaczy? Aby wyjaśnić to, przedstawimy je w jeszcze innej postaci. Scałkujmy obustronnie to równanie ze względu na czas w granicach od \(t_0\) do \(t\):

Otrzymujemy równanie całkowe na proces stochastyczny \(X(t)\). W równaniu tym pojawiają sie dwa typy całek: "tradycyjna" całka Riemanna-Stieltjesa

oraz całka, w której występuje proces Wienera

Powinniśmy zawsze pamiętać o tym, że całka jest graniczną wartością odpowiedniej sumy. I tak pierwsza całka

gdzie granicę należy rozumieć w sensie średniokwadratowym oraz \({\tilde s}_i \in [s_i, s_{i+1}]\) jest dowolną wartością z danego przedziału \([s_i, s_{i+1}]\). W kursie analizy matematycznej wykazuje się, że graniczna wartość sumy (czyli wartość całki) nie zależy od tego gdzie leżą punkty \({\tilde s}_i\) w przedziale \([s_i, s_{i+1}]\). Mogą one leżeć w lewym końcu przedziału, w prawym końcu przedziału, w środku lub każdym innym punkcie tego przedziału. Okazuje się, że tej własności nie ma drugi typ całki!! W takim razie w jakim punkcie przedziału należy wybrać wartość \({\tilde s}_i\) w całce, w której pojawia sie proces Wienera? Najlepiej jest wybrać z lewej strony przedziału z czysto praktycznej przyczyny (ułatwia to rachunki). Aby wyjaśnic dlaczego, rozpatrzmy nieco inną całkę z procesem Wienera, a mianowicie

Tak określona całka nazywa się całką Ito i ma "przyjazne" własności z tego powodu, że wartości średnie typu

\( \langle H(W(s_i), {\tilde s}_i) [W(s_{i+1}) -W(s_i)]^k\rangle = \langle H(W(s_i), {\tilde s}_i)\rangle \cdot \langle [W(s_{i+1}) -W(s_i)]^k\rangle\)

rozbijają się na iloczyny wartości średnich ponieważ proces Wienera jest procesem o niezależnych przyrostach na nieprzekrywających sie przedziałach (porównaj obliczenie funkcji korelacyjnej procesu Wienera), a wartość średnia iloczynu niezależnych zmiennych losowych jest równa iloczynowi wartości średnich tych zmiennych. Jest to główna przyczyna takiej definicji całek Ito. Należy podkreślić, że dla rzeczywistych procesów losowych taki wybór nie zawsze jest poprawny. O tym powiemy później.

Teraz możemy zdefiniować całkę (11):

Całki, w definicji których wartości procesu \(X(t)\) lub \(W(t)\) należy brać z lewej strony przedziałów \([s_i, s_{i+1}]\), nazywamy całkami Ito lub całkami w interpretacji Ito. Ponieważ jak na razie z czysto matematycznego punktu widzenia wybór punktu z lewej strony przedziału jest arbitralny, każdy inny punkt jest równo uprawniony. Ale należy bezwględnie pamiętać, że zmiana położenia punktu \({\tilde s}_i\) w przedziale \([s_i, s_{i+1}] \) oznacza zmianę wartości całki. To odróżnia całki stochastyczne od "tradycyjnych" całek Riemanna.

Istnieją także inne definicje całek stochastycznych. Druga, konkurencyjna definicja jest następująca:

\(I_{\circ}= \int_{t_0}^t G(X(s), s) \circ \,dW(s) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} G\left(\frac{X(s_{i+1}) + X(s_i)}{2}, {\tilde s}_i\right) [W(s_{i+1}) -W(s_i)]\)

gdzie oznak \(\circ\) w całce ma informować o tym, że wartość funkcji \(G(X(t), t)\) na przedziale \([s_i, s_{i+1}] \) jest brana dla średniej arytmetycznej \([X(s_{i+1}) + X(s_i)]/2\). Tak określona całka nazywa się całką Stratonowicza lub całka w sensie Stratonowicza.

Czytelnik łatwo zauważy, że obie całki są szczególnymi przypadkami takiej oto całki:

\[ = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} G\left(\lambda X(s_{i+1}) + (1-\lambda) X(s_i), {\tilde s}_i\right) [W(s_{i+1}) -W(s_i)]\]

gdzie \(\lambda \in [0, 1]\). Jeżeli \(\lambda =0\), otrzymujemy definicję Ito. Dla \(\lambda =1/2\) otrzymujemy definicję Stratonowicza.

Rachunek różniczkowy Ito

W Dodatku matematycznym przedstawiliśmy rozwinięcie funkcji jednej zmiennej \(f(x)\) i funkcji dwóch zmiennych \(F(x, y) \) w szereg Taylora. Rozpatrzmy teraz funkcję dwóch zmiennych \(g(x, t)\), która jest różniczkowalna dostateczną ilość razy. W szczególności zakładamy, że istnieją pochodne

\(g'(x, t)= g' =\partial g(x, t)/\partial x, \; \; \dot g(x, t) = \dot g = \partial g(x, t)/\partial t, \; \; g''(x, t) = g'' =\partial^2 g/\partial x^2, \; \;\)

Przyjmiemy taką konwencję, że różniczkowanie względem pierwszego argumentu oznaczymy apostrofem ' ; różniczkowanie względem drugiego argumentu oznaczymy kropką \(\cdot \).

Rozpatrzmy teraz funkcję \(g(X, t)\), gdzie teraz pierwszym argumentem jest proces stochastyczny \(X(t)\) okreslony przez równanie stochastyczne Ito:

gdzie \(dW(t)\) jest różniczką procesu Wienera:

Wiemy, że

Stąd, w sensie średniokwadratowym

Obliczmy różniczkę funkcji \(g(X, t)\):

\(dg(X, t) = \frac{\partial g}{\partial X} dX + \frac{\partial g}{\partial t} dt + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial X^2} dX dX + \frac{\partial^2 g}{\partial X \partial dt} dX dt + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial t^2} dt dt + \dots \)

Wstawimy teraz wyrażenie na \(dX \) z równania Ito (17)

\(dg(X, t) = g'(X, t)\left[F(X, t) dt + G(X, t) dW\right] + \dot g(X, t) dt \):

\( + \frac{1}{2} g''(X, t) \left[F(X, t) dt + G(X, t) dW\right] \left[F(X, t) dt + G(X, t) dW\right] \)

\( + \dot g \,'(X, t) dt \left[F(X, t) dt + G(X, t) dW\right] + \frac{1}{2} \ddot g(X, t) dt dt + \dots \)

W wyrażeniu tym pozostawimy wyrazy rzędu co najwyżej dt pamietając że \(dW(t)\) jest rzędu \(\sqrt{t}\):

\(dg(X, t) = g'(X, t)\left[F(X, t) dt + G(X, t) dW\right] + \dot g(X, t) dt \):

\( + \frac{1}{2} g''(X, t) G^2(X, t) dW dW \)

Z Równania (19) zastąpimy \(dW^2(t)\) przez \(2D dt\) otrzymując formułę Ito

\(dg(X, t) = [\dot g(X, t) + g'(X, t) F(X, t) + D g''(X, t) G^2(X, t)] dt + f'(X, t) G(X, t) dW \):

Zobaczmy, jakie nietypowe wnioski można wyciągnąć z tej formuły. W tym celu rozważmy szczególny przypadek i przyjmijmy następujące wyrażenia:

\(dX = dW, \; \; \;\mbox{tzn.}\; \; \; F(X, t)=0, \; \; \; \; G(X, t) =1, \; \; \; D=\frac{1}{2} \)

Niech

\( g(X, t) = X^2, \; \; \; X(0)=0, \; \; \; D=\frac{1}{2} \)

Wówczas z formuły Ito otrzymamy:

\(d(X^2) = 2X dX + dt\, \)

Stąd wynika, że

\(X dX = \frac{1}{2} d(X^2) + \frac{1}{2} dt\, \)

Ponieważ w tym przykładzie \(dX=dW\), czyli \(X=W\), to możemy równie dobrze napisać

\(W dW = \frac{1}{2} d(W^2) + \frac{1}{2} dt\, \)

Obustronnie całkowanie daje taki oto wynik

\(\int_0^t W dW = \frac{1}{2} \int_0^t d(W^2) + \frac{1}{2} \int_0^t dt = \frac{1}{2} W^2 + \frac{1}{2} t \)

Widać, że w porównaniu z tradycyjnym rachunkiem różniczkowym i całkowym, tutaj pojawia sie dodatkowy składnik \((1/2) t\). Przykład ten pokazuje, że metody rachunkowe, których nauczyliśmy się na kursie analizy matematycznej, w teorii procesów stochastycznych nie muszą obowiązywać. Różniczkowanie i całkowanie wielkości, w których bezpośrednio lub pośrednio pojawiają się procesy Wienera, Poissona, czy ogólniej Levy'ego należy wykonywać biorąc pod uwagę równania stochastyczne typu Ito. Tutaj reguły są nierozerwalnie związane z równaniami stochastycznymi definiującymi proces stochastyczny. Czytelnik powinien zauważyć, że wszelkie odstępstwa od tradycyjnego rachunku różniczkowego i całkowego pojawiaja się dlatego, że podstawowe procesy takie jak procesy Wienera, Poissona, czy ogólniej Levy'ego są to procesy o przyrostach niezależnych. To z kolei pociąga za sobą własność narastania w czasie fluktuacji tych procesów. Fluktuacje te rosną jak \(\sqrt t\). Oto przyczyna wszelkich odstępstw. A pomyśleć, że wszystko to wzięło swój początek z rzucania monetą i rozmów telefonicznych. Abstrahując totalnie, zauważmy jaką dziś rolę odgrywają monety (czytaj pieniądze) i rozmowy telefoniczne (czytaj telefonia komórkowa z wbudowanym komputerem i internetem, która napędza rozwój ekonomiczny świata).

Równania Ito i procesy dyfuzji

W części dotyczącej procesów Markowa pokazaliśmy, że gęstość warunkowa dla procesu Markowa \(\xi(t)\,\) spełnia rownanie Kramersa-Moyala:

gdzie funkcje

są warunkowymi wartościami średnimi na jednostkę czasu k-tej potęgi przyrostu procesu stochastycznego.

Niech proces stochastyczny \(\xi(t) = X(t)\) będzie określony przez równanie Ito:

Napiszemy to równanie w postaci przyrostów

gdzie

Wiemy, że

Stąd, w sensie średniokwadratowym

Równanie (23) przepiszemy w nowych oznaczeniach w postaci

Obliczymy obecnie wszystkie powyższe funkcje pamiętając, że warunek \(X(t)=x\) oznacza, że proces stochastyczny \(X(t)\) przyjmuje określoną, deterministyczną wartość, liczbę \(x\). Ponadto musimy pamiętać, że z równania Ito wynika, że proces \(X(t)\) w chwili \(t= s > 0\) zależy funkcjonalnie od procesu Wienera \(W(u)\) dla wszystkich wartości \(u \in [0, s)\). Innymi słowy, \(X(s)\) zależy od przyrostów

\(W(s) - W(s-\epsilon), \; \; \; W(s-\epsilon) - W(s-2 \epsilon), \; \; \; W(s-2 \epsilon) - W(s-3 \epsilon), \dots\).

Na przykład oznacza to, że

\( \langle A(X(t))|X(t) = x \rangle = \langle A(x)|X(t) = x \rangle = A(x) \langle 1|X(t) = x \rangle = A(x) \)

ponieważ wartość średnia (warunkowa i bezwarunkowa) z liczby 1 jest 1.

Warunkowy moment statystyczny pierwszego rzędu ma postać:

\( = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle F(X(t), t) \Delta t + G(X(t), t) \Delta W(t)|X(t) = x \rangle = \)

Wartość średnia z sumy równa się sumie wartości średnich. Więc powyższe wyrażenie składa się z dwóch średnich:

Pierwszy składnik:

\( = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle F(X(t), t) \Delta t|X(t) = x \rangle = F(x, t) \)

Drugi składnik:

\( = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle G(X(t), t) \Delta W(t)|X(t) = x \rangle = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle G(x, t) \Delta W(t)|X(t) = x \rangle \)

\( = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; G(x, t) \langle \Delta W(t)|X(t) = x \rangle = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; G(x, t) \langle \Delta W(t)\rangle = 0 \)

Wyrażenie to zeruje się, ponieważ dla dowolnie małego \(\Delta t\) wartość średnia \(\langle \Delta W(t)\rangle = 0 \). Więc otrzymujemy ciąg \(0/\Delta t =0\). A granicą takiego ciągu jest \(0\).

Ostatecznie otrzymamy pierwszą funkcję w rozwinięciu Kramersa-Moyala:

Warunkowy moment statystyczny drugiego rzędu ma postać:

\( = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle \left[F(X(t), t) \Delta t + G(X(t), t) \Delta W(t)\right]^2|X(t) = x \rangle = \)

Jeżeli podniesiemy do kwadratu wyrażenie w nawiasie, pojawiają sie trzy składniki:

Pierwszy składnik:

\( = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle F^2(X(t), t) (\Delta t)^2 |X(t) = x \rangle = \lim_{\Delta t \to 0} \Delta t \, F^2(x, t) \; \langle 1 |X(t) = x \rangle = 0 \)

Składnik ten jest zero ponieważ \(\lim_{\Delta t \to 0} \Delta t =0\).

Drugi składnik:

\( = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle 2 F(X(t), t) G(X(t), t) \Delta t \Delta W(t) |X(t) = x \rangle \)

\( = \lim_{\Delta t \to 0} \; 2 F(x, t) G(x, t) \langle \Delta W(t)|X(t) = x \rangle = 0 \)

Składnik ten jest zero ponieważ \(\langle \Delta W(t)|X(t) = x \rangle = \langle \Delta W(t) \rangle = 0\).

Trzeci składnik:

\( \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle G^2(X(t), t) [\Delta W(t)]^2|X(t) = x \rangle = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; G^2(x, t)\langle [\Delta W(t)]^2|X(t) = x \rangle \)

\( = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; G^2(x, t) \langle [\Delta W(t)]^2 \rangle = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; G^2(x, t) \,2D \Delta t = 2D G^2(x, t) \)

Ostatecznie druga funkcja w rozwinięciu Kramersa-Moyala ma postać:

Warunkowy moment statystyczny trzeciego rzędu ma postać:

\( = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle \left[F(X(t), t) \Delta t + G(X(t), t) \Delta W(t)\right]^3|X(t) = x \rangle = \)

Jeżeli podniesiemy do sześcianu wyrażenie w nawiasie, pojawiają sie cztery składniki:

Pierwszy składnik:

\( = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle F^3(X(t), t) (\Delta t)^3 |X(t) = x \rangle = \lim_{\Delta t \to 0} (\Delta t)^2 \, F^3(x, t) \; \langle 1 |X(t) = x \rangle = 0 \)

Składnik ten jest zero ponieważ \(\lim_{\Delta t \to 0} (\Delta t)^2 =0\).

Drugi składnik:

\( = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; \langle 3 F^2(X(t), t) G(X(t), t) (\Delta t)^2 \Delta W(t) |X(t) = x \rangle = 0 \)

\( = \lim_{\Delta t \to 0} \; 3 \Delta t F^2(x, t) G(x, t) \langle \Delta W(t)|X(t) = x \rangle = 0 \)

Trzeci składnik:

\( \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \; 3 \Delta t F(x, t) G^2(x, t)\langle [\Delta W(t)]^2|X(t) = x \rangle = \lim_{\Delta t \to 0} 3F(x, t) G^2(x, t) 2D \Delta t = 0 \)