Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 14:29, 13 lis 2013

Przypomnimy zasady działań na potęgach, przy czym naszą powtórkę podzielimy na działania na potęgach o wykładniku całkowitym i działania na potęgach o wykładniku wymiernym. W tym drugim mieści się obliczanie pierwiastka.

Potęga o wykładniku całkowitym

Dla dowolnej liczby \(a \in R\) i dowolnej liczby \(n \in N\) operację potęgowania definiujemy następująco:

 \(a^n = a \cdot a \cdot \dots \cdot a\)

przy czym liczba \(a\) jest mnożona przez siebie \(n\) razy.

Jeśli ponadto założymy, że \(a \neq 0\) to:

 \(a^0 = 1\) 

 \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)

Przykłady

\(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\)

\(3^3 = 27\)

\(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\)

\(5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}\)

Potęga o wykładniku wymiernym

Dla dowolnej liczby \(a \in R, a \ge 0\) i dla dowolnej \(n \in N, n > 1\) przyjmujemy następujący zapis:

 \(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\)

przy czym w przypadku pierwiastka stopnia drugiego (inaczej pierwiastek kwadratowy) zwyczajowo nie pisze się stopnia, czyli

 \(a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\)

A jeśli ponadto \(m \in C\) (\(m\) jest dowolną liczbą całkowitą) to:

 \(a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^{m}\)

Przykłady

\(49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7\)

\(32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2\)

\(9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27\)

Działania na potęgach

Następujące wzory określają działania na potęgach \((a \in R, a > 0, b \in R, b > 0\), dowolne \(m, n \in R)\):

• iloczyn potęg o tych samych podstawach

\(a^m \cdot a^n = a^{m + n}\) 

• iloraz potęg o tych samych podstawach

\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}\)

• potęga lioczynu

\((a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m\)

• potęga ilorazu

\(\Big(\frac{a}{b}\Big)^m = \frac{a^m}{b^m}\)

• potęga potęgi

\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)

Przykłady

\(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7 = 128\)

\(\frac{3^5}{3^2} = 3^{5 - 2} = 3^3 = 27\)

\(\Big(2^{3}\Big)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64\)

\((2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\)

\(\Big(\frac{5}{3}\Big)^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9}\)

Działania na pierwiastkach

A teraz podamy dwa prawa działań na pierwiastkach:

\(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}\)

\(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)

Powyższe dwa prawa odnoszą się do pierwiastka iloczynu oraz pierwiastka ilorazu. Należy tutaj zauważyć, że podobnych praw nie ma dla pierwiastka sumy bądź różnicy. I dlatego zazwyczaj (wyjątkiem jest np. \(\sqrt[2]{0 + 1} \neq \sqrt[2]{0} + \sqrt[2]{1} = 0 + 1 = 1\))

\(\sqrt[n]{a - b} \neq \sqrt[n]{a} - \sqrt[n]{b}\)

a w szczególności:

\(\sqrt{a \pm b} \neq \sqrt{a} \pm \sqrt{b}\)

Zadania

1. Oblicz
   1. \(\frac{8^32^6}{4^416^2}\)
   2. \(\frac{81^23^4}{9^327^3}\)
   3. \(81^{\frac{3}{2}}\)
   4. \(\sqrt{5}\sqrt{125}\)
   5. \(\sqrt[3]{16}\sqrt[3]{64}\)
   6. \(\frac{2^32^{-2}4^3}{2^7\sqrt{4}2^{-3}}\)
   7. \(\frac{\sqrt[3]{135}}{\sqrt[3]{5}}\)
   8. \(3^{12}\cdot 3^{-10}\)
   9. \(\frac{5^{111}\cdot5^{45}}{5^{158}}\)
   10. \(\frac{7^{12}\cdot7^{-34}}{7^{62}\cdot7^{86}}\)
   11. \(\frac{2^{10}:4^3-(\frac{1}{2})^{-5}}{2^4\cdot(\frac{1}{9})^3\cdot3^3}\)
   12. \(\frac{\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}}{(\frac{2}{7})^{-1}}\)
   13. \([3^4:0.2^4]:5^4\)
   14. \([(2\frac{1}{4})^5\cdot4^5]:3^5\)
   15. \((1\frac{1}{2})^3:(2\frac{1}{4})^3\cdot3^3\)
   16. \(32^{\frac{1}{5}}\)
   17. \(125^{\frac{2}{3}}\)
   18. \((\frac{1}{64})^{-\frac{2}{3}}\)
   19. \((\frac{81}{625})^{-0.75}\)
   20. \(\frac{2-\sqrt{3^3-2\cdot3^2}}{2\cdot \sqrt[3]{2^5}}\)
   21. \(\frac{(\frac{8}{27})^\frac{1}{3}\cdot((\frac{2}{3})^2)^3}{2^4:3^4}\)
   22. \(((\frac{1}{9})^{-\frac{1}{2}}:3\frac{1}{9})^{1.125}\)