Potęgi i działania na potęgach

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(UWAGA! Zastąpienie treści hasła bardzo krótkim tekstem: „'''W przygotowaniu'''”)
Linia 1: Linia 1:
-
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
+
'''W przygotowaniu'''
-
Przypomnimy zasady działań na potęgach, przy czym naszą powtórkę podzielimy na działania na potęgach o wykładniku całkowitym i działania na potęgach o wykładniku wymiernym. W tym drugim mieści się obliczanie pierwiastka. 
+
-
+
-
== Potęga o wykładniku całkowitym ==
+
-
 
+
-
Dla dowolnej liczby <math>a \in R</math> i dowolnej liczby <math>n \in N</math> operację potęgowania definiujemy następująco:
+
-
 
+
-
:<math>a^n = a \cdot a \cdot \dots \cdot a</math>
+
-
 
+
-
przy czym liczba <math>a</math> jest mnożona przez siebie <math>n</math> razy.
+
-
 
+
-
Jeśli ponadto założymy, że <math>a \neq 0</math> to:
+
-
 
+
-
:<math>a^0 = 1</math>
+
-
 
+
-
:<math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}</math>
+
-
 
+
-
=== Przykłady ===
+
-
 
+
-
<math>2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32</math>
+
-
 
+
-
<math>3^3 = 27</math>
+
-
 
+
-
<math>2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}</math>
+
-
 
+
-
<math>5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}</math>
+
-
 
+
-
== Potęga o wykładniku wymiernym ==
+
-
 
+
-
Dla dowolnej liczby <math>a \in R, a \ge 0</math> i dla dowolnej <math>n \in N, n > 1</math> przyjmujemy następujący zapis:
+
-
 
+
-
:<math>a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}</math>
+
-
 
+
-
przy czym w przypadku pierwiastka stopnia drugiego (inaczej pierwiastek kwadratowy) zwyczajowo nie pisze się stopnia, czyli
+
-
 
+
-
:<math>a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}</math>
+
-
 
+
-
A jeśli ponadto <math>m \in C</math> (<math>m</math> jest dowolną liczbą całkowitą) to:
+
-
 
+
-
:<math>a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^{m}</math>
+
-
 
+
-
=== Przykłady ===
+
-
 
+
-
<math>49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7</math>
+
-
 
+
-
<math>32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2</math>
+
-
 
+
-
<math>9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27</math>
+
-
 
+
-
== Działania na potęgach ==
+
-
 
+
-
Następujące wzory określają działania na potęgach <math>(a \in R, a > 0, b \in R, b > 0</math>, dowolne  <math>m, n \in R)</math>:
+
-
+
-
* iloczyn potęg o tych samych podstawach
+
-
:<math>a^m \cdot a^n = a^{m + n}</math>
+
-
 
+
-
* iloraz potęg o tych samych podstawach
+
-
:<math>\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}</math>
+
-
 
+
-
* potęga iloczynu
+
-
:<math>(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m</math>
+
-
 
+
-
* potęga ilorazu
+
-
:<math>\Big(\frac{a}{b}\Big)^m = \frac{a^m}{b^m}</math>
+
-
 
+
-
* potęga potęgi
+
-
:<math>(a^m)^n = a^{m \cdot n}</math>
+
-
 
+
-
=== Przykłady ===
+
-
 
+
-
<math>2^3 \cdot 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7 = 128</math>
+
-
 
+
-
<math>\frac{3^5}{3^2} = 3^{5 - 2} = 3^3 = 27</math>
+
-
 
+
-
<math>\Big(2^{3}\Big)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64</math>
+
-
 
+
-
<math>(2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000</math>
+
-
 
+
-
<math>\Big(\frac{5}{3}\Big)^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9}</math>
+
-
 
+
-
== Działania na pierwiastkach ==
+
-
 
+
-
A teraz podamy dwa prawa działań na pierwiastkach:
+
-
 
+
-
 
+
-
:<math>\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}</math>
+
-
 
+
-
:<math>\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}</math>
+
-
 
+
-
Powyższe dwa prawa odnoszą się do pierwiastka iloczynu oraz pierwiastka ilorazu. Należy tutaj zauważyć, że podobnych praw nie ma dla pierwiastka sumy bądź różnicy. I dlatego zazwyczaj (wyjątkiem jest np. <math>\sqrt[2]{0 + 1} = \sqrt[2]{0} + \sqrt[2]{1} = 0 + 1 = 1</math>) 
+
-
 
+
-
:<math>\sqrt[n]{a \pm b} \neq \sqrt[n]{a} \pm \sqrt[n]{b}</math>
+
-
 
+
-
a w szczególności:
+
-
 
+
-
:<math>\sqrt{a \pm b} \neq \sqrt{a} \pm \sqrt{b}</math>
+
-
 
+
-
== Zadania ==
+
-
# Oblicz
+
-
##<math>\frac{8^32^6}{4^416^2}</math>
+
-
##<math>\frac{81^23^4}{9^327^3}</math>
+
-
##<math>81^{\frac{3}{2}}</math>
+
-
##<math>\sqrt{5}\sqrt{125}</math>
+
-
##<math>\sqrt[3]{16}\sqrt[3]{64}</math>
+
-
##<math>\frac{2^32^{-2}4^3}{2^7\sqrt{4}2^{-3}}</math>
+
-
##<math>\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{5}}</math>
+
-
## <math>3^{12}\cdot 3^{-10}</math>
+
-
## <math>\frac{5^{111}\cdot5^{45}}{5^{158}}</math>
+
-
## <math>\frac{7^{12}\cdot7^{-34}}{7^{62}\cdot7^{86}}</math>
+
-
## <math>\frac{2^{10}:4^3-(\frac{1}{2})^{-5}}{2^4\cdot(\frac{1}{9})^3\cdot3^3}</math>
+
-
## <math>\frac{\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}}{(\frac{2}{7})^{-1}}</math>
+
-
## <math>[3^4:0.2^4]:5^4</math>
+
-
## <math>[(2\frac{1}{4})^5\cdot4^5]:3^5</math>
+
-
## <math>(1\frac{1}{2})^3:(2\frac{1}{4})^3\cdot3^3</math>
+
-
## <math>32^{\frac{1}{5}}</math>
+
-
## <math>125^{\frac{2}{3}}</math>
+
-
## <math>(\frac{1}{64})^{-\frac{2}{3}}</math>
+
-
## <math>(\frac{81}{625})^{-0.75}</math>
+
-
## <math>\frac{2-\sqrt{3^3-2\cdot3^2}}{2\cdot \sqrt[3]{2^5}}</math>
+
-
## <math>\frac{(\frac{8}{27})^\frac{1}{3}\cdot((\frac{2}{3})^2)^3}{2^4:3^4}</math>
+
-
## <math>((\frac{1}{9})^{-\frac{1}{2}}:3\frac{1}{9})^{1.125}</math>
+

Wersja z 08:25, 17 mar 2014

W przygotowaniu

Źródło „http://172.16.3.1/ekonofizyka/index.php/Pot%C4%99gi_i_dzia%C5%82ania_na_pot%C4%99gach”