Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(UWAGA! Zastąpienie treści hasła bardzo krótkim tekstem: „'''W przygotowaniu'''”) |
|||
| Linia 1: | Linia 1: | ||
| - | + | [[Category:KURS MATEMATYKI]] | |
| + | Przypomnimy zasady działań na potęgach, przy czym naszą powtórkę podzielimy na działania na potęgach o wykładniku całkowitym i działania na potęgach o wykładniku wymiernym. W tym drugim mieści się obliczanie pierwiastka. | ||
| + | |||
| + | == Potęga o wykładniku całkowitym == | ||
| + | |||
| + | Dla dowolnej liczby <math>a \in \mathbb{R}</math> i dowolnej liczby <math>n \in \mathbb{N}</math> operację potęgowania definiujemy następująco: | ||
| + | |||
| + | :<math>a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a</math> | ||
| + | |||
| + | przy czym liczba <math>a</math> jest mnożona przez siebie <math>n</math> razy. | ||
| + | |||
| + | Jeśli ponadto założymy, że <math>a \neq 0</math> to: | ||
| + | |||
| + | :<math>a^0 = 1</math> | ||
| + | |||
| + | :<math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}</math> | ||
| + | |||
| + | === Przykłady === | ||
| + | |||
| + | <math>2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32</math> | ||
| + | |||
| + | <math>3^3 = 27</math> | ||
| + | |||
| + | <math>2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}</math> | ||
| + | |||
| + | == Potęga o wykładniku wymiernym == | ||
| + | |||
| + | Dla dowolnej liczby <math>a \in \mathbb{R}, a \ge 0</math> i dla dowolnej <math>n \in \mathbb{N}, n > 1</math> przyjmujemy następujący zapis: | ||
| + | |||
| + | :<math>a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}</math> | ||
| + | |||
| + | przy czym w przypadku pierwiastka stopnia drugiego (inaczej pierwiastek kwadratowy) zwyczajowo nie pisze się stopnia, czyli | ||
| + | |||
| + | :<math>a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}</math> | ||
| + | |||
| + | Jeśli ponadto <math>m \in \mathbb{C}</math> (<math>m</math> jest dowolną liczbą całkowitą) to: | ||
| + | |||
| + | :<math>a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^{m}</math> | ||
| + | |||
| + | === Przykłady === | ||
| + | |||
| + | <math>49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7</math> | ||
| + | |||
| + | <math>32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2</math> | ||
| + | |||
| + | <math>9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27</math> | ||
| + | |||
| + | == Działania na potęgach == | ||
| + | |||
| + | Następujące wzory określają działania na potęgach <math>(a \in \mathbb{R}, a > 0, b \in \mathbb{R}, b > 0</math>, dowolne <math>m, n \in \mathbb{R})</math>: | ||
| + | |||
| + | * iloczyn potęg o tych samych podstawach | ||
| + | :<math>a^m \cdot a^n = a^{m + n}</math> | ||
| + | |||
| + | * iloraz potęg o tych samych podstawach | ||
| + | :<math>\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}</math> | ||
| + | |||
| + | * potęga iloczynu | ||
| + | :<math>(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m</math> | ||
| + | |||
| + | * potęga ilorazu | ||
| + | :<math>\Big(\frac{a}{b}\Big)^m = \frac{a^m}{b^m}</math> | ||
| + | |||
| + | * potęga potęgi | ||
| + | :<math>(a^m)^n = a^{m \cdot n}</math> | ||
| + | |||
| + | === Przykłady === | ||
| + | |||
| + | <math>2^3 \cdot 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7 = 128</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\frac{3^5}{3^2} = 3^{5 - 2} = 3^3 = 27</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\Big(2^{3}\Big)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64</math> | ||
| + | |||
| + | <math>(2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\Big(\frac{5}{3}\Big)^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9}</math> | ||
| + | |||
| + | == Działania na pierwiastkach == | ||
| + | |||
| + | A teraz podamy dwa prawa działań na pierwiastkach | ||
| + | |||
| + | :<math>\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}</math> | ||
| + | |||
| + | :<math>\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}</math> | ||
| + | |||
| + | Powyższe dwa prawa odnoszą się do pierwiastka iloczynu oraz pierwiastka ilorazu. Należy tutaj zauważyć, że podobnych praw nie ma dla pierwiastka sumy bądź różnicy. Dlatego zazwyczaj (wyjątkiem jest np. <math>\sqrt[2]{0 + 1} = \sqrt[2]{0} + \sqrt[2]{1} = 0 + 1 = 1</math>) | ||
| + | |||
| + | :<math>\sqrt[n]{a \pm b} \neq \sqrt[n]{a} \pm \sqrt[n]{b}</math> | ||
| + | |||
| + | w szczególności: | ||
| + | |||
| + | :<math>\sqrt{a \pm b} \neq \sqrt{a} \pm \sqrt{b}</math> | ||
| + | === Przykłady === | ||
| + | <math>\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}=\sqrt{3\cdot3}=\sqrt{9}=3</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{3\cdot9}=\sqrt[3]{27}=3</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\sqrt[3]{27\cdot 64}=\sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{64}=3\cdot4=12</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}}=\sqrt{16}=4</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\sqrt[3]{(\frac{3}{4})^3}=\frac{3}{4}</math> | ||
| + | |||
| + | == Zadania == | ||
| + | # Oblicz | ||
| + | ##<math>\frac{8^32^6}{4^416^2}</math> | ||
| + | ##<math>\frac{81^23^4}{9^327^3}</math> | ||
| + | ##<math>81^{\frac{3}{2}}</math> | ||
| + | ##<math>\sqrt{5}\sqrt{125}</math> | ||
| + | ##<math>\sqrt[3]{16}\sqrt[3]{64}</math> | ||
| + | ##<math>\frac{2^32^{-2}4^3}{2^7\sqrt{4}2^{-3}}</math> | ||
| + | ##<math>\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{5}}</math> | ||
| + | ## <math>3^{12}\cdot 3^{-10}</math> | ||
| + | ## <math>\frac{5^{111}\cdot5^{45}}{5^{158}}</math> | ||
| + | ## <math>\frac{7^{12}\cdot7^{-34}}{7^{62}\cdot7^{86}}</math> | ||
| + | ## <math>\frac{2^{10}:4^3-(\frac{1}{2})^{-5}}{2^4\cdot(\frac{1}{9})^3\cdot3^3}</math> | ||
| + | ## <math>\frac{\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}}{(\frac{2}{7})^{-1}}</math> | ||
| + | ## <math>[3^4:0.2^4]:5^4</math> | ||
| + | ## <math>[(2\frac{1}{4})^5\cdot4^5]:3^5</math> | ||
| + | ## <math>(1\frac{1}{2})^3:(2\frac{1}{4})^3\cdot3^3</math> | ||
| + | ## <math>32^{\frac{1}{5}}</math> | ||
| + | ## <math>125^{\frac{2}{3}}</math> | ||
| + | ## <math>(\frac{1}{64})^{-\frac{2}{3}}</math> | ||
| + | ## <math>(\frac{81}{625})^{-0.75}</math> | ||
| + | ## <math>\frac{2-\sqrt{3^3-2\cdot3^2}}{2\cdot \sqrt[3]{2^5}}</math> | ||
| + | ## <math>\frac{(\frac{8}{27})^\frac{1}{3}\cdot((\frac{2}{3})^2)^3}{2^4:3^4}</math> | ||
| + | ## <math>((\frac{1}{9})^{-\frac{1}{2}}:3\frac{1}{9})^{1.125}</math> | ||
Aktualna wersja na dzień 08:54, 31 mar 2015
Przypomnimy zasady działań na potęgach, przy czym naszą powtórkę podzielimy na działania na potęgach o wykładniku całkowitym i działania na potęgach o wykładniku wymiernym. W tym drugim mieści się obliczanie pierwiastka.
Spis treści |
Potęga o wykładniku całkowitym
Dla dowolnej liczby \(a \in \mathbb{R}\) i dowolnej liczby \(n \in \mathbb{N}\) operację potęgowania definiujemy następująco:
\[a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a\]
przy czym liczba \(a\) jest mnożona przez siebie \(n\) razy.
Jeśli ponadto założymy, że \(a \neq 0\) to:
\[a^0 = 1\]
\[a^{-n} = \frac{1}{a^n}\]
Przykłady
\(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\)
\(3^3 = 27\)
\(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\)
\(5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}\)
Potęga o wykładniku wymiernym
Dla dowolnej liczby \(a \in \mathbb{R}, a \ge 0\) i dla dowolnej \(n \in \mathbb{N}, n > 1\) przyjmujemy następujący zapis:
\[a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\]
przy czym w przypadku pierwiastka stopnia drugiego (inaczej pierwiastek kwadratowy) zwyczajowo nie pisze się stopnia, czyli
\[a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\]
Jeśli ponadto \(m \in \mathbb{C}\) (\(m\) jest dowolną liczbą całkowitą) to:
\[a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^{m}\]
Przykłady
\(49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7\)
\(32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2\)
\(9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27\)
Działania na potęgach
Następujące wzory określają działania na potęgach \((a \in \mathbb{R}, a > 0, b \in \mathbb{R}, b > 0\), dowolne \(m, n \in \mathbb{R})\):
- iloczyn potęg o tych samych podstawach
\[a^m \cdot a^n = a^{m + n}\]
- iloraz potęg o tych samych podstawach
\[\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}\]
- potęga iloczynu
\[(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m\]
- potęga ilorazu
\[\Big(\frac{a}{b}\Big)^m = \frac{a^m}{b^m}\]
- potęga potęgi
\[(a^m)^n = a^{m \cdot n}\]
Przykłady
\(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7 = 128\)
\(\frac{3^5}{3^2} = 3^{5 - 2} = 3^3 = 27\)
\(\Big(2^{3}\Big)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64\)
\((2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\)
\(\Big(\frac{5}{3}\Big)^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9}\)
Działania na pierwiastkach
A teraz podamy dwa prawa działań na pierwiastkach
\[\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}\]
\[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\]
Powyższe dwa prawa odnoszą się do pierwiastka iloczynu oraz pierwiastka ilorazu. Należy tutaj zauważyć, że podobnych praw nie ma dla pierwiastka sumy bądź różnicy. Dlatego zazwyczaj (wyjątkiem jest np. \(\sqrt[2]{0 + 1} = \sqrt[2]{0} + \sqrt[2]{1} = 0 + 1 = 1\))
\[\sqrt[n]{a \pm b} \neq \sqrt[n]{a} \pm \sqrt[n]{b}\]
w szczególności:
\[\sqrt{a \pm b} \neq \sqrt{a} \pm \sqrt{b}\]
Przykłady
\(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}=\sqrt{3\cdot3}=\sqrt{9}=3\)
\(\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{3\cdot9}=\sqrt[3]{27}=3\)
\(\sqrt[3]{27\cdot 64}=\sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{64}=3\cdot4=12\)
\(\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}}=\sqrt{16}=4\)
\(\sqrt[3]{(\frac{3}{4})^3}=\frac{3}{4}\)
Zadania
- Oblicz
- \(\frac{8^32^6}{4^416^2}\)
- \(\frac{81^23^4}{9^327^3}\)
- \(81^{\frac{3}{2}}\)
- \(\sqrt{5}\sqrt{125}\)
- \(\sqrt[3]{16}\sqrt[3]{64}\)
- \(\frac{2^32^{-2}4^3}{2^7\sqrt{4}2^{-3}}\)
- \(\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{5}}\)
- \(3^{12}\cdot 3^{-10}\)
- \(\frac{5^{111}\cdot5^{45}}{5^{158}}\)
- \(\frac{7^{12}\cdot7^{-34}}{7^{62}\cdot7^{86}}\)
- \(\frac{2^{10}:4^3-(\frac{1}{2})^{-5}}{2^4\cdot(\frac{1}{9})^3\cdot3^3}\)
- \(\frac{\sqrt[4]{16}+\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}}{(\frac{2}{7})^{-1}}\)
- \([3^4:0.2^4]:5^4\)
- \([(2\frac{1}{4})^5\cdot4^5]:3^5\)
- \((1\frac{1}{2})^3:(2\frac{1}{4})^3\cdot3^3\)
- \(32^{\frac{1}{5}}\)
- \(125^{\frac{2}{3}}\)
- \((\frac{1}{64})^{-\frac{2}{3}}\)
- \((\frac{81}{625})^{-0.75}\)
- \(\frac{2-\sqrt{3^3-2\cdot3^2}}{2\cdot \sqrt[3]{2^5}}\)
- \(\frac{(\frac{8}{27})^\frac{1}{3}\cdot((\frac{2}{3})^2)^3}{2^4:3^4}\)
- \(((\frac{1}{9})^{-\frac{1}{2}}:3\frac{1}{9})^{1.125}\)