|
|
| Linia 22: |
Linia 22: |
| | # [[PIZL:Stochastyczne równania różniczkowe|Stochastyczne równania różniczkowe]] | | # [[PIZL:Stochastyczne równania różniczkowe|Stochastyczne równania różniczkowe]] |
| | | | |
| - | ==Procesy Levy'ego==
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Podaliśmy dwa przykłady najbardziej popularnych modeli szumu białego:
| |
| - | gaussowskiego i poissonowskiego. Są one pochodną procesów Wienera i Poissona, procesów o przyrostach niezależnych na nieprzekrywających się przedziałach.
| |
| - | Oba procesy są szczególnymi przypadkami ogólnej klasy procesów stochastycznych, które nazywają się procesami Levy'ego <math>L(t)</math>.
| |
| - |
| |
| - | Definicja procesu Levy'ego <math>L(t)</math> jest następująca:
| |
| - |
| |
| - | (1) Jest to proces rzeczywisty, który prawie wszędzie jest prawostronnie ciągły i posiada wszędzie lewostronne granice
| |
| - |
| |
| - | (2) <math>L(0)=0</math> (proces startuje z zera)
| |
| - |
| |
| - | (3) <math>L(t)</math> ma przyrosty niezależne na nieprzekrywających się przedziałach, to znaczy zmienne losowe <math>L(t_4) -L(t_3)</math> oraz <math>L(t_2) -L(t_1)</math> są niezależna dla <math>0 \le t_1 \le t_2 \le t_3 \le t_4</math>
| |
| - |
| |
| - | (4) <math>L(t)</math> ma stacjonarne przyrosty, to znaczy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej <math>L(t_2) -L(t_31</math> zależy od różnicy czasów <math>t_2 -t_1</math> dla <math>$0 \le t_1 \le t_2</math>
| |
| - |
| |
| - | (5) <math>L(t)</math> jest stochastycznie ciągły, to znaczy dla każdego <math>t \ge 0</math> oraz <math>\epsilon > 0</math>
| |
| - |
| |
| - | <math>\lim_{s\to t} P(|L(t) -L(s)|>\epsilon)=0</math>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Z własności (3) wynika, że funkcja korelacyjna procesu Levy'ego o wartości średniej zero, <math>\langle L(t)\rangle =0</math>, ma postać
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \langle L(t) L(s) \rangle = 2D_0 \mbox{min} (t, s) \equiv 2D_0 [t \theta(s-t) + s \theta(t-s)]
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | gdzie <math>D_0 > 0</math> jest stałą, nazywaną natężeniem lub intensywnością pprocesu Levy'ego.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Procesy Levy'ego są przykładem losowego ruchu którego trjektorie (realizacje) są funkcjami prawostronnie ciągłymi (tak jak proces Poissona) i mogą mieć co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości w losowych chwilach czasu na każdym skończonym przedziale czasu.
| |
| - |
| |
| - | Istnieje wspaniała formuła Levy'ego-Chinczyna dla funkcji characterystycznej procesu Levy'ego
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | C(\omega, t) = \langle \mbox{e}^{i\omega L(t)} \rangle = \mbox{e}^{t \psi(\omega)}
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | gdzie
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \psi(\omega) = ia_0 \omega -\frac{1}{2} b \omega^2 +
| |
| - | \int_{-\infty}^{\infty} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 - i\omega y {\mathbb I}_{(-1,1)}(y)
| |
| - | \right] \nu (dy),
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | Parametry <math>a_0\in R, b \ge 0</math>. Funkcja
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | {\mathbb I}_A(y)= \{ {{1 \; \; \mbox{if} \; \; y \in A} \atop {0 \; \; \mbox{if} \; \; y \notin A }}
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | nazywa się funkcją charakterystyczną zbioru <math>A</math> lub indykatorem zbioru <math>A</math>, a wielkość
| |
| - | <math>\nu = \nu(dy) </math> jest tzw. miarą Levy'ego na zbiorze <math>R-\{0\}</math> o własnościach
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \nu (R-[-1, 1]) < \infty, \quad \int_{-1}^1 y^2 \nu(dy) < \infty
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | Czytelnik, który nie ma zacięcia matematycznego może myśleć o mierze Levy'ego jako o wyrażeniu
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \nu = \nu(dy) = \rho(y) dy, \; \; \; \; \rho(y) \ge 0
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | Nieujemna funkcja <math>\rho(y)</math> ma wiele cech wspólnych z gęstością rozkładu prawdopodobieństwa.
| |
| - |
| |
| - | Jak widać, proces Levy'ego jest w pełni określony przez tryplet
| |
| - | <math>(a_0, b, \nu)</math> w którym <math>a_0</math> opisuje dryf, <math>b</math> charakteryzuje proces Wienera (ruch Browna) i składowa nieciągła procesu Levy'ego opisana jest miarą Levy'ego <math>\nu</math>.
| |
| - | Tryplet <math>(0, b, 0)</math> opisuje proces Wienera. Tryplet <math>(0, 0, \mu \delta(y-1))</math> opisuje proces Poissona o parametrze <math>\mu</math> i
| |
| - | o jednostkowym skoku. Jezeli mamy dowolne losowe skoki (uogólniony proces Poissona) opisane rozkładem prawdopodobieństwa <math>\nu(dy)</math> to wówczas
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \psi(\omega) = \mu
| |
| - | \int_{-\infty}^{\infty} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 \right] \nu (dy)
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Jeżeli <math> \nu(R) = \infty</math> wówczas <math>L(t)</math> opisuje nieciągły proces, który ma nieskończoną ilość małych skoków w dowolnym skończonym przedziale czasu. Taki proces nie opisuje realnych procesów, ale może być przydatną idealizacją.
| |
| - |
| |
| - | Z twierdzenia Levy'ego-Ito wynika, że dowolny proces Levy'ego <math>L(t)</math> można rozłożyć na cztery niezależne procesy
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | L(t)=L_1(t) +L_2(t) + L_3(t) + L_4(t)\;
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | gdzie <math>L_1(t)</math> opisuje dryf (proces deterministyczny), <math>L_2(t)</math> jest procesem Wienera, <math>L_3(t) </math> jest uogólnionym procesem Poissona oraz
| |
| - | <math>L_4(t)</math> opisuje nieciągły proces, który ma nieskończoną ilość małych skoków w dowolnym skończonym przedziale czasu (a pure jump martingale).
| |
| - | Wynika to z przedstawienia
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \psi(\omega) = \psi_1(\omega) +\psi_2(\omega) +\psi_3(\omega) +\psi_4(\omega) \;
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | gdzie
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \psi_1(\omega) = i a_0 \omega \;</math>
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \psi_2(\omega) = -\frac{1}{2} b \; \omega^2 </math>
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \psi_3(\omega) = \int_{|y| \ge 1} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 \right] \nu (dy) </math>
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \psi_4(\omega) = \int_{|y| < 1} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 - i\omega y \right] \nu (dy).
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | Liniowa kombinacja nezależnych procesów Levy'ego jet też procesem Levy'ego.
| |
| - |
| |
| - | Specjalna klasą procesów Levy'ego jet tzw. <math>\alpha</math>-proces o indeksie <math>\alpha \in (0, 2]</math> opisany przez
| |
| - | tryplet <math>(a, 0, \nu)</math> z miarą Levy'ego
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \nu(y) = \left[ c_{1} {\mathbb I}_{(0,\infty)}(y) + c_{2} {\mathbb I}_{(-\infty,0)}(y)
| |
| - | \right] |y|^{-\alpha -1}\ dy,
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | gdzie
| |
| - |
| |
| - | <math>c_1>0, \; c_2>0</math>.
| |
| - |
| |
| - | Funkcja charakterystyczna takiego procesu ma postać
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \psi(\omega) = \{ {{i a \omega - c |\omega|^\alpha\left (1-i\beta\mbox{sgn}\omega \tan
| |
| - | \frac{\pi\alpha}{2} \right) \; \; \mbox{for} \;\;\alpha\neq 1} \atop
| |
| - | {i a \omega -c |\omega|\left (1+i\beta\frac{2}{\pi}\mbox{sgn} \omega \ln|k| \right) \; \; \mbox{for}\;\;\alpha=1}}
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | gdzie parametry
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \alpha\in(0, 2], \; \; \beta =\beta(c_1, c_2) \in [-1, 1], \; \; c = c(\alpha, c_1, c_2) \in(0, \infty), \; \; a = a(a_0, \alpha, c_1, c_2)
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Przypadek <math>c_1=c_2</math> implikuje <math>\beta=0</math> i proces jest procesem symetrycznym.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Biały szum Levy'ego jest zdefiniowany podobnie jak biały szum poissonowski i biały szum gaussowski:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | Z(t)=\frac{dL(t)}{dt}
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | Dla procesu Levy'ego o zerowej wartości średniej funkcja korelacyjna ma postać
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \langle Z(t) Z(s) \rangle = \frac{\partial^2}{\partial t \partial s} \ \langle L(t) L(s) \rangle
| |
| - | = 2D_0 \delta (t-s),
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | Przypominam, że zawsze można przedefiniowac proces stochastyczny tak, aby jego wartość średnia była zero:
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <math>L(t) \to \tilde L(t) = L(t) - \langle L(t)\rangle, \; \; \; \; \; \langle \tilde L(t)\rangle = 0</math>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | Funkcjonał charakterystyczny symetrycznego <math>\alpha</math>-stabilnego białego szumu Levy'ego <math>Y(t)</math> ma postać
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | {\mathbb C}[f] =\langle \mbox{exp}\left[i \int_0^{t} ds\; f(s)
| |
| - | Y(s) \right] \rangle =
| |
| - | \mbox{exp}\left[- c \int_0^{t} dt\; |f(s)|^{\alpha} \right]
| |
| - | </math>
| |
| | | | |
| | dla dowolnej tzw. testowej funkcji <math>f(s)</math>. Jeżeli <math>f(s) = \omega</math> wówczas funkcjonał charakterystyczny redukuje się do funkcji charakterystycznej dla procesu Levy'ego <math>L(t)</math>. Zkolei, jeżeli wybierzemy <math>f(s) = \omega \delta(s-\tau)</math> wówczas funkcjonał charakterystyczny redukuje się do funkcji charakterystycznej dla białego szumu Levy'ego <math>Y(\tau)</math> gdy <math>\tau \in (0, t)</math>. | | dla dowolnej tzw. testowej funkcji <math>f(s)</math>. Jeżeli <math>f(s) = \omega</math> wówczas funkcjonał charakterystyczny redukuje się do funkcji charakterystycznej dla procesu Levy'ego <math>L(t)</math>. Zkolei, jeżeli wybierzemy <math>f(s) = \omega \delta(s-\tau)</math> wówczas funkcjonał charakterystyczny redukuje się do funkcji charakterystycznej dla białego szumu Levy'ego <math>Y(\tau)</math> gdy <math>\tau \in (0, t)</math>. |
1. Elementy teorii dystrybucji: delta Diraca, funkcja schodkowa i jej pochodna , różniczkowanie funkcji nieciągłej
5. Twierdzenie Poissona dla uogólnionych schematów Bernoulliego