Procesy i Zjawiska Losowe

Skrypt dla studentów ekonofizyki

\( Pr \{ \xi \in (a, b)\} = \int_a^b p_{\xi}(x)dx \)

Wprowadzenie

Wielki sukces fizyki, a ogólniej mówiąc nauk przyrodniczych, polega na tym, że jej odkrycia przyczyniły się do rozwoju cywilizacyjnego naszej planety. Sukces ten jest związany z tym, że podstawowe równania fizyki opisujące dynamikę układów cechuje własność determinizmu. Co to oznacza? Ogólnie mówiąc oznacza to możliwość przewidywania i to jednoznacznego przewidywania. Jest to konsekwencją twierdzeń matematycznych o jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych. Na tym opiera się determinizm mechaniki klasycznej i elektrodynamiki. Determinizm mechaniki kwantowej należy nieco inaczej interpretować. Niezależnie od interpretacji, zarówno przewidywania mechaniki kwantowej jak i kwantowej teorii cząstek elementarnych znakomicie potwierdzone są przez liczne doświadczenia. My możemy przewidzieć tor cząstki, określić precyzyjnie ruch rakiety, generować fale elektromagnetyczne o określonej długości, wyznaczyć różnice między poziomami energetycznymi w atomie wodoru, zbudować tranzystor, układ scalony, komputer, telefon komórkowy, itd, itp. Jeżeli podstawowe prawa fizyki opisują procesy deterministyczne to dlaczego pojawia się losowość wielu zjawisk obserwowanych każdego dnia? Skąd jest ta losowść i ten brak przewidywalności różnych procesów zachodzących na naszej planecie, w naszym kraju, w naszej rodzinie, w naszym organizmie? Odpowiedź nie jest prosta. Ogólnie mówiąc źródłem losowości jest złożoność. Ale złożoność nie jest wystarczająca. Wszelkie formułowane odpowiedzi nie są i nigdy nie będą pełne. Ja przytoczę dwa podstawowe źródła losowości:

A. Własność chaotyczności

B. Makroskopowość układów (kolosalna liczba stopni swobody)

Własność chaotyczności uzmysławia nam złudność pojmowania determinizmu w mechanice klasycznej. Układy makroskopowe składają się z niesłychanie wielkiej liczby składników (cząstek, molekuł, makromolekuł. Ich opis metodami mechaniki (klasycznej lun kwantowej) jest nieefektywny. Co mam na myśli? Czy jestem w stanie analizowac układ równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu dla 1023 cząstek. Czy jestem w stanie podać 2\times 10^{23} położeń początkowych i prędkości początkowych wszystkich cząstek? Czy jestem w stanie śledzić trajektorie wszystkich cząstek? Odpowiedź jest oczywista: NIE! Dlatego powstała inna efektywna metoda oparta na teorii nazywanej fizyką statystyczną. W tej teorii nie podajemy wszystkich położeń i prędkości cząstek, ale wielkość którą nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa położeń i prędkości. Teoria ta jest efektywna. Ale nie tkwi w niej determinizm mechaniki Newtona. Tkwi w niej losowość.

Zbiory

PODSTAWOWE POJĘCIA NA TEMAT ZBIORÓW

Oznaczmy przez Ω zbiór, który nazwiemy przestrzenią. Niech A,B,... będa podzbiorami zbioru Ω.

Sumą zbiorów nazywamy zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do któregokolwiek z sumowanych zbiorów. Suma zbiorów A i B jest oznaczana przez A\cup B. Tak więc:

   A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}

Iloczyn (lub część wspólna, przekrój, przecięcie) zbiorów A i B to zbiór, do którego należą te elementy zbioru A, które należą również do B. Część wspólna zbiorów A i B jest oznaczana przez A\cap B. Tak więc:

   A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}.

Różnica zbiorów A\B - to zbiór złożony z tych elementów zbioru A, które nie należą do B:

   A \setminus B = \{ x : x\in A \and x \notin B\}

Dopełnieniem A' zbioru A (w przestrzeni Ω) nazywa się różnica zbiorów

   A'=\Omega \setminus A = \{x \in \Omega\colon x \notin A\},

Zbiór pusty to zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. Oznaczany jest symbolem \empty lub \varnothing.

Zbiory rozłączne – dwa zbiory A i Bsą rozłączne jeżeli ich część wspólna jest zbiorem pustym:

   A\cap B=\empty.

Inaczej mówiąc, zbiory te nie mające wspólnego elementu.

Na przykład, zbiory {1 ,2, 5, 8, 9} i {4, 6} są rozłączne, natomiast zbiory {2, 3, 5, 7, 8} i {2, 5, 6} – nie.

Rodzinę zbiorów| (A_i)_{i\in I} nazywa się rodziną zbiorów parami rozłącznych, jeśli każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne:

   i\ne j \implies A_i\cap A_j = \emptyset

Elementy teorii prawdopodobieństa

Przestrzeń probabilistyczna

Zmienna losowa

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennej losowej

Wiele zmiennych losowych-Wektor zmiennych losowych

Rozkłady prawdobodobieństwa wielu zmiennych losowych

Próby Bernouliego

Twierdzenie Poissona i rozklad Poissona

Procesy stochastyczne

Proces Poissona

Proces urodzin i śmierci

Poissonowski ciąg impulsów: biały szum Poissona

Uogólnienia procesu Poissona

Równania ewolucji dla procesów Poissona; funkcja tworząca

Błądzenie przypadkowe

Proces Wienera -proces dyfuzji

Biały szum gaussowski

Stochastyczne równania różniczkowe

Równanie Kramersa-Moyala

Proste i odwrotne równanie Kołmogorowa. Równanie Fokkera-Plancka

Równanie Ito a proces dyfuzji

Równanie Ito i równanie Stratonowicza

Twierdzenie Ito o różniczce funkcji procesu stochastycznego

Przykłady zastosowań równań stochastycznych w ekonomii

Geometryczny proces Wienera

Wprowadzenie
1. Zbiory
Elementy teorii prawdopodobieństa
1. Przestrzeń probabilistyczna
2. Zmienna losowa
3. Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennej losowej
4. Wiele zmiennych losowych-Wektor zmiennych losowych
5. Rozkłady prawdobodobieństwa wielu zmiennych losowych
Próby Bernouliego
Twierdzenie Poissona i rozklad Poissona
Procesy stochastyczne
Proces Poissona
1. Proces urodzin i śmierci
2. Poissonowski ciąg impulsów: biały szum Poissona
3. Uogólnienia procesu Poissona
4. Równania ewolucji dla procesów Poissona; funkcja tworząca
Błądzenie przypadkowe
Proces Wienera -proces dyfuzji
Biały szum gaussowski
Stochastyczne równania różniczkowe
Równanie Kramersa-Moyala
Proste i odwrotne równanie Kołmogorowa. Równanie Fokkera-Plancka
Równanie Ito a proces dyfuzji
Równanie Ito i równanie Stratonowicza
Twierdzenie Ito o różniczce funkcji procesu stochastycznego
Przykłady zastosowań równań stochastycznych w ekonomii
1. Geometryczny proces Wienera

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 21:26, 10 gru 2009

Spis treści