|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| - | [[Category:KURS MATEMATYKI]]
| |
| - | Równanie różniczkowe zwyczajne to równia zawierające zmienną niezależna <math>x</math> nieznaną funkcje <math>y</math> oraz jej pochodne <math>y',y'',\ldots,y^{(n)}</math>.
| |
| - | Równanie takie możemy zapisać w następującej postaci:
| |
| - | :<math>F(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)})=0</math>
| |
| - | i jest to tzw. równanie różniczkowe rzędu <math>n</math>. Rząd równania określa najwyższa pochodna funkcji <math>y(x)</math> występująca w danym równaniu różniczkowym
| |
| - | Rozwiązaniem powyższego równania jest funkcja <math>y=y(x)</math> spełniająca to równanie. Ponadto, równanie różniczkowe jest liniowe w <math>y',y'',\ldots,y^{(n)}</math> jeżeli funkcja <math>y</math> i jej pochodne występują w pierwszej potędze.
| |
| - | Równanie takie rozwiązuję się poprzez całkowanie równania różniczkowego czyli znalezienie wszystkich rozwiązań i zbadanie ich wartości.
| |
| - | Rozwiązanie równania może być dane w postaci
| |
| - | *<math>y=f(x)</math>,
| |
| - | *<math>\Xi (x,y)=0</math> - postać uwikłana,
| |
| - | *<math>x=\phi(t), y=\psi(t)</math> - postać parametryczna.
| |
| | | | |
| - | == Równanie rzędu pierwszego ==
| |
| - | Równanie różniczkowe rzędu pierwszego oraz stopnia pierwszego możemy zapisać w następującej postaci:
| |
| - | :<math>{dy \over{dx}}=f(x,y)</math>
| |
| - | ;Zagadnienie Cauchy'ego
| |
| - | :Szukamy rozwiązania równania różniczkowego rzędu pierwszego oraz stopnia pierwszego w postaci <math>y=y(x)</math> spełniającej warunek <math>y=y_0</math> i <math>x=x_0</math> tzn. funkcja będąca rozwiązaniem <math>y=y(x)</math> spełnia warunek <math>y(x_0)=y_0</math> (warunek początkowy).
| |
| - |
| |
| - | '''Przykład'''
| |
| - |
| |
| - | Równanie różniczkowe
| |
| - | :<math>{dy \over{dx}}=2x \text{, warunek początkowy } y(0)=1</math>
| |
| - |
| |
| - | Rozwiązanie zagadnienie Cauchy'ego
| |
| - | :<math>y=2x+1</math>
| |
| - |
| |
| - | ===Rozwiązanie ogólne równania różniczkowe===
| |
| - | Rozwiązaniem ogólnym równania
| |
| - | :<math>{dy \over{dx}}=f(x,y)</math>
| |
| - | jest funkcja <math>y=\phi(x,C)</math> określona w pewnym obszarze zmienności <math>x</math> i <math>C</math> mająca ciągłą pierwszą pochodną względem x w każdym punkcie w którym istnieje rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego i jest ono jednoznaczne oraz <math>y=\phi(x,C)</math> posiada rozwiązanie względem C, tzn. <math>C=\psi(x,y))</math>. Wynika z tego, że
| |
| - | <math>y=\phi(x,C)</math> jest nieowiązaniem <math>{dy \over{dx}}=f(x,y)</math>
| |
| - |
| |
| - | ===Rozwiązanie szczególne równania różniczkowego===
| |
| - | Jest to takie rozwiązanie, które w każdym swoim punkcie zapewnia jednoznaczność rozwiązania zagadnienia Cauchy'ego.
| |
| - | Rozwiązanie <math>y=\phi(x,C)</math> równania <math>{dy \over{dx}}=f(x,y)</math> w obszarze <math>D</math> dla konkretnej (dopuszczalnej) wartości stałej <math>C</math> jest rozwiązaniem szczególnym.
| |
| - |
| |
| - | ====Przykład====
| |
| - | Równanie różniczkowe
| |
| - | <math>{dy \over{dx}}=2x </math>
| |
| - |
| |
| - | Rozwiązanie szczególne
| |
| - | *<math>y=2x+1</math>
| |
| - | *<math>y=2x+\sqrt{2}</math>
| |
| - |
| |
| - | === Równanie odwrócone do równania <math>{dy \over{dx}}=f(x,y)</math> ===
| |
| - | Równanie odwrócone do równania <math>{dy \over{dx}}=f(x,y)</math> ma postać
| |
| - | :<math>{dx \over{dy}}= {1 \over{f(x,y)}}</math>
| |
| - |
| |
| - | *Równanie odwrócone można rozpatrywać w otoczeniu punktów, w których funkcja <math>f(x,y) \to\infty </math>. Zbiór takich punktów dołącza się do obszaru oznaczoności równania <math>{dy \over{dx}}=f(x,y)</math>
| |
| - | *Rozwiązanie równania odwróconego dołącza się do rozwiązań równania <math>{dy \over{dx}}=f(x,y)</math>
| |
| - | ==== Przykład ====
| |
| - | Równanie <math>{dy \over{dx}}={1 \over{x}}</math>posiada rozwiązanie ogólne <math>y=\ln x +C</math>
| |
| - |
| |
| - | Równanie odwrócone <math>({dy \over{dx}})^{-1}={dx \over{dy}}=x</math> rozwiązanie <math>x=0</math> równania odwróconego dołączamy do Rozwiązania ogólnego równania <math>{dy \over{dx}}={1 \over{x}}</math>
| |