|
|
| (Nie pokazano 192 wersji pomiędzy niniejszymi.) |
| Linia 1: |
Linia 1: |
| - | == Gry dwuosobowe o sumie zerowej ==
| |
| - | ;Gra
| |
| - | :Przez ''grę'' rozumiemy zespół ''zasad'' określający ''wypłatę'' dla graczy jako funkcje wybranych opcji, które są możliwe dla danej gry.
| |
| | | | |
| - | Aby mówić o grze musimy wskazać co najmniej dwu graczy. Każdy z tych graczy ma możliwość wyboru spośród pewnej liczby możliwych opcji. Gracze podejmują swoje decyzję równocześnie lub, co na to samo wychodzi, nie znając wyborów pozostałych graczy - taką grę nazywamy ''symultaniczną''. Mogą też wybierać swoje opcje jako odpowiedź na wybór dokonany przez pozostałych graczy, w takim przypadku mówimy o grach 'sekwencyjnych'. Gra może składać się z jednej lub wielu ''rund'', w trakcie których gracze dokonują swoich wyborów. Przez ''strategię'', jak już to wspomnieliśmy we wstępie, rozumiemy przyjęty przez gracza sposób wybierania jednej z możliwych opcji. Strategie mogą być ''proste'', wówczas gracz po prostu wybiera jedną opcję lub ''mieszane'', wówczas gracz decyduje się na wybór kilku opcji z określeniem prawdopodobieństwa wyboru każdej z nich.
| |
| - |
| |
| - | Jeśli każdej możliwej kombinacji opcji wybranych przez graczy przyporządkujemy (jednoznacznie) wypłatę dla każdego z nich to taki przepis nazywamy ''zasadą gry''. ''Wypłatą'' gracza nazywamy mierzalny sposób określenia jego wyniku. Wypłaty zazwyczaj określamy w sposób liczbowy aby ułatwić ich sumowanie i podliczanie wyników gry. Można jednak definiować gry w których wypłaty są dobrami materialnymi, zobowiązaniem do wykonania jakiejś czynności (np. że gracz, który przegra stanie na głowie), etc. Zasady gry mogą być przedstawione w postaci macierzowej tzw. ''tabeli wypłat''. Poniżej przedstawiamy przykładową tabelę.
| |
| - |
| |
| - | ;Przykład 2.1 Tabela gry.
| |
| - |
| |
| - | {| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
| |
| - | |+ align=bottom | ''Przykład macierzy wypłat dla gry dwuosobowej''
| |
| - | |- class="wikitable"
| |
| - | |-
| |
| - | |align=center|'''2.1'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"| Basia (Kolumna)
| |
| - | |-
| |
| - | |-
| |
| - | | rowspan=4; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Adam (Wiersz)
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"| B
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| A
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">1</span>,<span style="color: #900"> -1</span>
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">-2</span>,<span style="color: #900"> 2</span>
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| B
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">-1</span>,<span style="color: #900"> 1</span>
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">0</span>,<span style="color: #900"> 0</span>
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">-4</span>,<span style="color: #900"> 4</span>
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">5</span>,<span style="color: #900"> -5</span>
| |
| - | |}
| |
| - |
| |
| - | Graczami są Adam i Basia. W dalszej części odpersonalizujemy Adama i będziemy go nazywać (panem) Wierszem a Basię (panią) Kolumną. W grze 2.1 Adam ma do wybory trzy opcje (strategie proste): A, B oraz C a Basia dwie strategie: A oraz B. W zależności od dokonanych wyborów uzyskują wypłaty zapisane w tabeli. Wypłaty Adama są oznaczone kolorem niebieskim a wypłaty Basi kolorem czerwonym. Jak łatwo zauważyć wypłaty Adama są zawsze liczbami przeciwnymi do wypłat Basi. Tyle ile jedno z nich wygra drugie musi przegrać. Grę w której mamy do czynienia z taką sytuacją nazywamy grą o ''sumie zerowej''. Dla gier o sumie zerowej przyjmujemy upraszczające konwencję zapisu, w której tabela wypłat zawiera tylko wypłaty Wiersza, wypłaty Kolumny są przeciwne do wypłat wiersza. W przypadku gry 2.1. uproszczona tabela ma postać
| |
| - |
| |
| - | {| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
| |
| - | |+ align=bottom | ''Uproszczona macierz pokazująca tylko wypłaty Wiersza''
| |
| - | |- class="wikitable"
| |
| - | |-
| |
| - | |align=center|'''2.1'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna
| |
| - | |-
| |
| - | |-
| |
| - | | rowspan=4; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"| B
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| A
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">1
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">-2
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| B
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">-1</span>
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">0</span>
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">-4</span>
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">5</span>
| |
| - | |}
| |
| - |
| |
| - | Przeanalizujmy teraz, jak wygląda nasza przykładowa gra 2.1 z punktu widzenia opłacalności poszczególnych wyborów graczy. Jeśli Wiersz wybierze opcję A to kolumnie opłaca się wtedy wybrać B, gdyż dla opcji A Kolumna przegrywa <math>1</math> a w opcji B Kolumna wygrywa <math>2</math>. Na ''diagramie przesunięć'' poniżej oznaczono ten fakt przy pomocy strzałki w prawo w polu (A,A). Zauważmy, że strzałka ta jest skierowana od wartości większej <math>(1)</math> do mniejszej <math>(-2)</math> zgodnie z konwencją, że wygrane Kolumny są liczbami przeciwnymi do wygranych wiersza. A zatem ta strzałka, tak naprawdę wskazuje preferencje Kolumny: zakładając, że Wiersz pozostanie przy opcji A, wybór B Kolumny jest dla niej korzystniejszy niż A <math>(2 > -1)</math>. Można podsumować, że poziome strzałki diagramu przesunięć są zawsze skierowane od wartości większych do mniejszych oraz wskazują preferowane opcje Kolumny.
| |
| - |
| |
| - | ;Diagram przesunięć
| |
| - |
| |
| - | {| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
| |
| - | |+ align=bottom | ''Macierzy pokazująca dla każdej pary wyborów preferencje graczy''
| |
| - | |- class="wikitable"
| |
| - | |-
| |
| - | |align=center|'''2.1'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna
| |
| - | |-
| |
| - | |-
| |
| - | | rowspan=4; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"| B
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| A
| |
| - | |align=right|<math>\rightarrow</math>
| |
| - | |align=center|<math>\downarrow</math>
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| B
| |
| - | |align=center|<math>\uparrow</math>
| |
| - | |align=left|<math>\leftarrow \; \downarrow</math>
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C
| |
| - | |align=center|</span><math>\uparrow</math>
| |
| - | |align=left|<math>\leftarrow</math>
| |
| - | |}
| |
| - |
| |
| - | Preferowane opcje Wiersza wskazują strzałki pionowe, które są zawsze skierowane od wartości mniejszych do większych, zgodnie z preferencjami Wiersza. Strzałka skierowana w dół w polu (B,B) oznacza, że przy zadanym wyborze B Kolumny, opcja C jest dla Wiersza korzystniejsza niż B. Zauważmy, że w polu (B,B) znajduje się również strzałka skierowana w lewo. Oznacza ona, że przy zadanym wyborze B Wiersza, opcja A jest dla Kolumny korzystniejsza niż B. Dla pełności definicji dodajmy, że strzałki ''diagramu przesunięć'' rysujemy tylko do pól sąsiadujących z danym polem tabeli wypłat. Nie ma więc strzałki pomiędzy polami (A,A) oraz (A,C).
| |
| - |
| |
| - | W każdym polu diagramu przesunięć gry '''2.1''' znajduje się jakaś strzałka. Oznacza to, że nie ma w tej grze pary wyborów, która byłaby korzystna dla oby graczy: dla każdej pary wyborów jeden z graczy może znaleźć, przy założeniu, że partner nie zmieni swojej, opcję korzystniejszą. Ta sytuacja jednak nie zawsze ma miejsce, zobaczmy bowiem kolejną grę:
| |
| - |
| |
| - | ;Przykład 2.2 Gra z punktem równowagi.
| |
| - |
| |
| - | {| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
| |
| - | |+ align=bottom | ''Macierz wypłat 2.2''
| |
| - | |- class="wikitable"
| |
| - | |-
| |
| - | |align=center|'''2.2'''||colspan=4; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna
| |
| - | |-
| |
| - | |-
| |
| - | | rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">-3
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">7
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">9
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">0
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">2
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">5
| |
| - | |}
| |