|
|
| (Nie pokazano 178 wersji pomiędzy niniejszymi.) |
| Linia 1: |
Linia 1: |
| - | == Gry dwuosobowe o sumie zerowej ==
| |
| - | ;Gra
| |
| - | :Przez ''grę'' rozumiemy zespół ''zasad'' określający ''wypłatę'' dla graczy jako funkcje wybranych opcji, które są możliwe dla danej gry.
| |
| | | | |
| - | Aby mówić o grze musimy wskazać co najmniej dwu graczy. Każdy z tych graczy ma możliwość wyboru spośród pewnej liczby możliwych opcji. Gracze podejmują swoje decyzję równocześnie lub, co na to samo wychodzi, nie znając wyborów pozostałych graczy - taką grę nazywamy ''symultaniczną''. Mogą też wybierać swoje opcje jako odpowiedź na wybór dokonany przez pozostałych graczy, w takim przypadku mówimy o grach 'sekwencyjnych'. Gra może składać się z jednej lub wielu ''rund'', w trakcie których gracze dokonują swoich wyborów. Przez ''strategię'', jak już to wspomnieliśmy we wstępie, rozumiemy przyjęty przez gracza sposób wybierania jednej z możliwych opcji. Strategie mogą być ''proste'', wówczas gracz po prostu wybiera jedną opcję lub ''mieszane'', wówczas gracz decyduje się na wybór kilku opcji z określeniem prawdopodobieństwa wyboru każdej z nich.
| |
| - |
| |
| - | Jeśli każdej możliwej kombinacji opcji wybranych przez graczy przyporządkujemy (jednoznacznie) wypłatę dla każdego z nich to taki przepis nazywamy ''zasadą gry''. ''Wypłatą'' gracza nazywamy mierzalny sposób określenia jego wyniku. Wypłaty zazwyczaj określamy w sposób liczbowy aby ułatwić ich sumowanie i podliczanie wyników gry. Można jednak definiować gry w których wypłaty są dobrami materialnymi, zobowiązaniem do wykonania jakiejś czynności (np. że gracz, który przegra stanie na głowie), etc. Zasady gry mogą być przedstawione w postaci macierzowej tzw. ''tabeli wypłat''. Poniżej przedstawiamy przykładową tabelę.
| |
| - |
| |
| - | ;Przykład 2.1 Tabela gry.
| |
| - |
| |
| - | {|align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
| |
| - | |+ align=bottom | ''Przykład macierzy wypłat dla gry dwuosobowej''
| |
| - | |- class="wikitable"
| |
| - | |-
| |
| - | |align=center|'''2.1'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"| Basia (Kolumna)
| |
| - | |-
| |
| - | |-
| |
| - | | rowspan=4; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Adam (Wiersz)
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"| B
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| A
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">1</span>,<span style="color: #900"> -1</span>
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">-2</span>,<span style="color: #900"> 2</span>
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| B
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">-1</span>,<span style="color: #900"> 1</span>
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">0</span>,<span style="color: #900"> 0</span>
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">-4</span>,<span style="color: #900"> 4</span>
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">5</span>,<span style="color: #900"> -5</span>
| |
| - | |}
| |
| - |
| |
| - | Graczami są Adam i Basia. W dalszej części odpersonalizujemy Adama i będziemy go nazywać (panem) Wierszem a Basię (panią) Kolumną. W grze 2.1 Adam ma do wybory trzy opcje (strategie proste): A, B oraz C a Basia dwie strategie: A oraz B. W zależności od dokonanych wyborów uzyskują wypłaty zapisane w tabeli. Wypłaty Adama są oznaczone kolorem niebieskim a wypłaty Basi kolorem czerwonym. Jak łatwo zauważyć wypłaty Adama są zawsze liczbami przeciwnymi do wypłat Basi. Tyle ile jedno z nich wygra drugie musi przegrać. Grę w której mamy do czynienia z taką sytuacją nazywamy grą o ''sumie zerowej''. Dla gier o sumie zerowej przyjmujemy upraszczające konwencję zapisu, w której tabela wypłat zawiera tylko wypłaty Wiersza, wypłaty Kolumny są przeciwne do wypłat wiersza. W przypadku gry 2.1. uproszczona tabela ma postać
| |
| - |
| |
| - | {| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
| |
| - | |+ align=bottom | ''Uproszczona macierz pokazująca tylko wypłaty Wiersza''
| |
| - | |- class="wikitable"
| |
| - | |-
| |
| - | |align=center|'''2.1'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna
| |
| - | |-
| |
| - | |-
| |
| - | | rowspan=4; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"| B
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| A
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">1
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">-2
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| B
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">-1</span>
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">0</span>
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">-4</span>
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">5</span>
| |
| - | |}
| |
| - |
| |
| - | Przeanalizujmy teraz, jak wygląda nasza przykładowa gra 2.1 z punktu widzenia opłacalności poszczególnych wyborów graczy. Jeśli Wiersz wybierze opcję A to kolumnie opłaca się wtedy wybrać B, gdyż dla opcji A Kolumna przegrywa <math>1</math> a w opcji B Kolumna wygrywa <math>2</math>. Na ''diagramie przesunięć'' poniżej oznaczono ten fakt przy pomocy strzałki w prawo w polu (A,A). Zauważmy, że strzałka ta jest skierowana od wartości większej <math>(1)</math> do mniejszej <math>(-2)</math> zgodnie z konwencją, że wygrane Kolumny są liczbami przeciwnymi do wygranych wiersza. A zatem ta strzałka, tak naprawdę wskazuje preferencje Kolumny: zakładając, że Wiersz pozostanie przy opcji A, wybór B Kolumny jest dla niej korzystniejszy niż A <math>(2 > -1)</math>. Można podsumować, że poziome strzałki diagramu przesunięć są zawsze skierowane od wartości większych do mniejszych oraz wskazują preferowane opcje Kolumny.
| |
| - |
| |
| - | ;Diagram przesunięć
| |
| - |
| |
| - | {| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
| |
| - | |+ align=bottom | ''Macierzy pokazująca dla każdej pary wyborów preferencje graczy''
| |
| - | |- class="wikitable"
| |
| - | |-
| |
| - | |align=center|'''2.1'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna
| |
| - | |-
| |
| - | |-
| |
| - | | rowspan=4; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"| B
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| A
| |
| - | |align=right|<math>\rightarrow</math>
| |
| - | |align=center|<math>\downarrow</math>
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"| B
| |
| - | |align=center|<math>\uparrow</math>
| |
| - | |align=left|<math>\leftarrow \; \downarrow</math>
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|C
| |
| - | |align=center|</span><math>\uparrow</math>
| |
| - | |align=left|<math>\leftarrow</math>
| |
| - | |}
| |
| - |
| |
| - | Preferowane opcje Wiersza wskazują strzałki pionowe, które są zawsze skierowane od wartości mniejszych do większych, zgodnie z preferencjami Wiersza. Strzałka skierowana w dół w polu (B,B) oznacza, że przy zadanym wyborze B Kolumny, opcja C jest dla Wiersza korzystniejsza niż B. Zauważmy, że w polu (B,B) znajduje się również strzałka skierowana w lewo. Oznacza ona, że przy zadanym wyborze B Wiersza, opcja A jest dla Kolumny korzystniejsza niż B. W każdym polu diagramu przesunięć gry '''2.1''' znajduje się jakaś strzałka. Oznacza to, że nie ma w tej grze pary wyborów, która byłaby korzystna dla oby graczy: dla każdej pary wyborów jeden z graczy może znaleźć opcję korzystniejszą, przy założeniu, że partner pozostanie przy swojej. Ta sytuacja jednak nie zawsze ma miejsce, zobaczmy bowiem kolejną grę:
| |
| - |
| |
| - | ;Przykład 2.2 Gra z punktem równowagi.
| |
| - |
| |
| - | {| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
| |
| - | |+ align=bottom | ''Macierz wypłat 2.2''
| |
| - | |- class="wikitable"
| |
| - | |-
| |
| - | |align=center|'''2.2'''||colspan=4; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna
| |
| - | |-
| |
| - | |-
| |
| - | | rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">-1
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">3
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">1
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">0
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">2
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">0
| |
| - | |}
| |
| - |
| |
| - | Diagram przesunięć dla tej gry wygląda następująco:
| |
| - |
| |
| - | {| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
| |
| - | |+ align=bottom | ''Diagram przesunięć dla gry 2.2''
| |
| - | |- class="wikitable"
| |
| - | |-
| |
| - | |align=center|'''2.2'''||colspan=4; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna
| |
| - | |-
| |
| - | |-
| |
| - | | rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|C
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
| |
| - | |align=center|<math>\downarrow</math>
| |
| - | |align=left|<math>\leftarrow \; \; \; \; \rightarrow</math>
| |
| - | |align=center|
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B
| |
| - | |align=center|
| |
| - | |align=left|<math>\leftarrow \; \uparrow \; \rightarrow</math>
| |
| - | |align=center|<math>\uparrow</math>
| |
| - | |}
| |
| - |
| |
| - | Jak widzimy w polach (B,A) i (A,C) nie ma żadnych strzałek. Oznacza to, że jeśli gracze znajdą się w jednym z tych punktów, to żadnemu z nich nie opłaca się jednostronnie zmieniać swojej opcji na sąsiednią. Takie miejsca nazywamy ''punktami równowagi''. Zauważmy, że punkty równowagi jest określony lokalnie, poprzez wartości wypłat pól sąsiednich. Jaką strategię powinni obrać graczy w tej grze? Dla Wiersza korzystniejszą jest równowaga (A,C) niż (B,A), załóżmy więc, że wybierze on opcję A. Wtedy jednak Kolumna szybko zauważy, że lepiej jej jest nie grać swojej opcji C dla tej równowagi gdyż opcja A jest dla nie korzystniejsza. Jeśli Wiersz to zauważy to sam powinien zagrać B, co doprowadzi graczy do drugiej równowagi (B,A). Po osiągnięciu tej równowagi, żaden z graczy nie jest zainteresowany zmianą swojej strategii: wygrana <math>0</math> jest bowiem dla wiersza najwyższa w kolumnie A, natomiast dla Kolumny jest ona najwyższa w wierszu B. Żaden z graczy nie może wygrać więcej przez jednostonną zmianę swojej strategii.
| |
| - |
| |
| - | ;Punkt siodłowy
| |
| - | :Punkt macierzy wypłat, którego wartość jest nie mniejsza od innych wartości w jego wierszu oraz nie większa od innych wartości w jego kolumnie nazywamy ''punktem siodłowym''.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | ;Przykład 2.3 Gra z dwoma punktami równowagi.
| |
| - |
| |
| - | {| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
| |
| - | |+ align=bottom | ''Macierz wypłat 2.3''
| |
| - | |- class="wikitable"
| |
| - | |-
| |
| - | |align=center|'''2.3'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna
| |
| - | |-
| |
| - | |-
| |
| - | | rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">0
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">10
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">10
| |
| - | |align=center|<span style="color: #009">0
| |
| - | |}
| |
| - |
| |
| - | W diagram przesunięć dla tej gry znajdziemy dwa punkty równowagi:
| |
| - |
| |
| - | {| align=center border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
| |
| - | |+ align=bottom | ''Diagram przesunięć dla gry 2.3''
| |
| - | |- class="wikitable"
| |
| - | |-
| |
| - | |align=center|'''2.2'''||colspan=3; style="color: #900; text-align:center;"|Kolumna
| |
| - | |-
| |
| - | |-
| |
| - | | rowspan=3; style="color: #009; text-align:center; width: 60px;"|Wiersz
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; text-align:center; width: 60px;"|
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|A
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #900; text-align:center; width: 60px;"|B
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|A
| |
| - | |align=center|<math>\downarrow</math>
| |
| - | |align=left|<math>\leftarrow</math>
| |
| - | |-
| |
| - | |style="background-color:#CCCCCC; color: #009; text-align:center; width: 60px;"|B
| |
| - | |align=center|
| |
| - | |align=left|<math>\leftarrow \; \uparrow</math>
| |
| - | |}
| |