|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| - | [[Category:KURS MATEMATYKI]]
| + | '''W przygotowaniu''' |
| - | Wprowadzimy teraz układy wspórzędnych biegunowych, sferycznych i walcowych, a także podamy wzory na transformacje współrzędnych pomiędzy tymi układami współrzędnych. Przy zamianie współrzednych w całkowaniu funkcji wielu zmiennych trzeba pamiętać o tzw. Jakobianie przejścia. Podamy wartości Jakobianów przejścia pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi, a sferycznymi i walcowymi. Ta część kursu nie zawiera rozwiązań przykładowych zadań - zostawiamy to na zjęcia z fizyki, na których zamiana współrzędnych zostanie zastosowania do rozwiązywania wielu zagadnień z wykorzystaniem ich symetrii.
| + | |
| - | == Układ współrzędnych ==
| + | |
| - | Położenie punktu w przestrzeni można w jednoznaczny sposób okreslić przez podanie jego współrzędnych. W dobrze nam znanej przestrzeni trójwymiarowej można wprowadzić kartezjański (czyli prostokątny) układ wspólrzędnych, a położenie punktu będzie jednoznacznie określone przez trzy współrzędne <math> x, y </math> i <math> z </math>. Nasze rozważania ograniczymy do przestrzeni trójwymiarowej, która ze zrozumiałych względów ma największe zastosowanie w praktyce.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) ==
| + | |
| - | Prostoliniowy układ współrzędnych to układ o parach prostopadłych osi. Nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza.
| + | |
| - | Układem współrzędnych kartezjańskich nazywa się układ współrzędnych, w którym zadane są:
| + | |
| - | *punkt zwany początkiem układu współrzędnych, w którym wartości wszystkich współrzędnych są równe zeru,
| + | |
| - | *zestaw n parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami układu współrzędnych. Dwie pierwsze osie często oznaczane są jako:
| + | |
| - | **'''X''' (zwana osią odciętych),
| + | |
| - | **'''Y''' (zwana osią rzędnych),
| + | |
| - | Liczba osi układu współrzędnych wyznacza tzw. wymiar przestrzeni.
| + | |
| - | | + | |
| - | W układzie współrzędnych kartezjańskich w przestrzeni trójwymiarowej, w której żyjemy, trzy współrzędne oznaczane są następująco: | + | |
| - | *'''X''' – odcięta, łac. abscissa,
| + | |
| - | *'''Y''' – rzędna, łac. ordinata,
| + | |
| - | *'''Z''' – kota, łac. applicata.
| + | |
| - | | + | |
| - | [[File:ukl1.png|thumb|250px|Rys. 1 Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny)]]
| + | |
| - | | + | |
| - | == Układ współrzędnych biegunowych ==
| + | |
| - | Jest to układ wyznaczony przez dwie współrzędne: punkt <math>0</math> (zwany biegunem) oraz półprostą <math>OR</math> (zwaną osią biegunową), której początek znajduje się w punkcie <math>0</math>. Widzimy, że także w tym układzie współrzędnych można przedstawić punkty na płaszczyźnie.
| + | |
| - | Dowolnemu punktowi <math>P</math> przypisujemy jego współrzędne biegunowe:
| + | |
| - | *<math>r</math> promień wodzący punktu <math>P</math> (odległość <math>|OP|</math> od bieguna),
| + | |
| - | *<math>\varphi</math> wartość kąta skierowanego pomiędzy półprostą <math>OR</math> a wektorem <math>\overrightarrow{OP}</math>), przy czym zakłada się, że <math>0\leqslant \varphi<2\pi</math>
| + | |
| - | [[File:ukl2.png|thumb|250px|Rys. 2 Układ współrzędnych biegunowych]]
| + | |
| - | | + | |
| - | === Przejście do układu kartezjańskiego ===
| + | |
| - | Zauważmy, że pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi <math>x, y </math>, a współrzędnymi biegunowymi <math>r, \varphi</math> zachodzą następujące związki
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>x=r\cdot\cos\varphi</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>y=r\cdot\sin\varphi</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Policzmy teraz nieskończenie małe przyrosty współrzędnych <math>x, y</math> będące wynikiem nieskończenie małych przyrostów współrzędnych <math>r, \varphi</math>. Wyrażają się one przez odpowiednie różniczki
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>dx = \frac{\partial x}{\partial r}dr + \frac{\partial x}{\partial \varphi}d \varphi, dy = \frac{\partial y}{\partial r}dr + \frac{\partial y}{\partial \varphi}d \varphi. </math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Po obliczeniu pochodnych cząstkowych wynik możemy zapisać w postaci równania macierzowego
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>\left[\begin{array}{cc}
| + | |
| - | dx \\
| + | |
| - | dy \\
| + | |
| - | \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}
| + | |
| - | \cos\varphi & -r\sin\varphi\\
| + | |
| - | \sin\varphi & r\cos\varphi\\
| + | |
| - | \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}
| + | |
| - | dr \\
| + | |
| - | d \varphi \\
| + | |
| - | \end{array}\right]
| + | |
| - | </math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Transformacja współrzędnych jest jednoznaczna wtedy gdy wyznacznik macierzy transforamcji (zwany Jakobianem <math>J</math>), która ''przeprowadza'' jedne współrzędne w drugie jest różny od zera. Otrzymujemy
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>J =\left|\begin{array}{ccc}
| + | |
| - | \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\
| + | |
| - | \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\
| + | |
| - | \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}
| + | |
| - | \cos\varphi & -r\sin\varphi\\
| + | |
| - | \sin\varphi & r\cos\varphi\\
| + | |
| - | \end{array}\right| = r(\cos^2\varphi + sin^2 \varphi) = r
| + | |
| - | </math>
| + | |
| - | | + | |
| - | co oznacza, że transformacja jest jednoznaczna wszędzie za wyjątkiem początku układu współrzędnych.
| + | |
| - | | + | |
| - | ===Przejście z układu kartezjańskiego===
| + | |
| - | Transformacja odwrotna z układu kartezjańskiego na biegunowy jest zadana przez
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Jeśli <math>r\neq 0</math>, to współrzędna <math>\varphi</math> punktu jest dana przez
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>
| + | |
| - | \varphi =
| + | |
| - | \begin{cases}
| + | |
| - | \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}), & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y \geqslant 0\\
| + | |
| - | \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + 2\pi, & \mbox{gdy } x > 0 \mbox{ oraz } y < 0\\
| + | |
| - | \operatorname{arctg}\;(\tfrac{y}{x}) + \pi, & \mbox{gdy } x < 0\\
| + | |
| - | \tfrac{\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y > 0\\
| + | |
| - | \tfrac{3\pi}{2}, & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ oraz } y < 0
| + | |
| - | \end{cases}
| + | |
| - | </math>
| + | |
| - | | + | |
| - | == Układ współrzędnych sferycznych ==
| + | |
| - | Dowolnemu punktowi P w przestrzeni trójwymiarowej możemy przypisać współrzędne sferyczne:
| + | |
| - | *promień wodzący <math>r\geqslant 0</math> czyli odległość punktu P od początku układu O,
| + | |
| - | *długość azymutalna <math>0\leqslant\phi<2\pi</math> czyli miarę kąta między rzutem prostokątnym wektora <math>\overrightarrow{OP}</math> na płaszczyznę OXY, a dodatnią półosią OX.
| + | |
| - | *odległość zenitalna <math>0\leqslant\theta\leqslant\pi</math> czyli miarę kąta między wektorem <math>\overrightarrow{OP}</math> a dodatnią półosią OZ.
| + | |
| - | Wszystkie współrzędne sferyczne punktu O są równe 0.
| + | |
| - | [[File:ukl3.png|thumb|250px|Rys. 3 Układ współrzędnych sferycznych]]
| + | |
| - | ===Przejście do układu kartezjańskiego===
| + | |
| - | Transformację współrzędnych z układu sferycznego na współrzędne kartezjańskie x, y, z określają wzory
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>x=x(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \cos\phi,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>y=y(r,\theta,\phi)=r\, \sin\theta \, \sin\phi,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>z=z(r,\theta,\phi)=r\, \cos\theta.</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | a Jakobian przejścia wynosi
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>
| + | |
| - | J =\left|\begin{array}{ccc}
| + | |
| - | \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\
| + | |
| - | \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \\
| + | |
| - | \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi}
| + | |
| - | \end{array}\right|= \left|\begin{array}{ccc}
| + | |
| - | \sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi\\
| + | |
| - | \sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi\\
| + | |
| - | \cos\theta& -r\sin\theta & 0
| + | |
| - | \end{array}\right|=r^2\sin\theta\
| + | |
| - | </math>
| + | |
| - | | + | |
| - | ===Przejście z układu kartezjańskiego===
| + | |
| - | Transformacja odwrotna, czyli transformacja współrzędnych z układu kartezjańskiego na sferyczny jest dana przez
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}</math>,
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>\theta=\mathrm{arctg} \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z}=\arccos {\frac{z}{r}}</math>,
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>\phi=\mathrm{arctg} {\frac{y}{x}}</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Układ współrzędnych walcowych ==
| + | |
| - | Każdemu punktowi P w przestrzeni trójwymiarowej można przyporządkować trzy współrzędne walcowe <math>(\rho,\phi,z)</math>, gdzie poszczególne składowe są definiowane następująco:
| + | |
| - | *<math>\rho\,</math> — odległość od osi OZ rzutu punktu P na płaszczyznę OXY,
| + | |
| - | *<math>\phi\,</math> — kąt pomiędzy osią dodatnią OX a odcinkiem łączącym rzut punktu P na płaszczyznę OXY z początkiem układu współrzędnych,
| + | |
| - | *<math>z\,</math> — odległość rzutu punktu P na oś OZ od początku układu współrzędnych.
| + | |
| - | [[File:ukl4.png|thumb|250px|Rys. 4 Układ współrzędnych walcowych]]
| + | |
| - | ===Przejście do układu kartezjańskiego===
| + | |
| - | Transformację współrzędnych z układu walcowego na współrzędne kartezjańskie x, y, z określają wzory
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>x=\rho\cos\phi\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>y=\rho\sin\phi\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>z=z\,</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | a Jakobian przejścia wynosi
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>J=
| + | |
| - | \begin{vmatrix}
| + | |
| - | {{\partial x}\over{\partial \rho}}&{{\partial x}\over{\partial \phi}}&{{\partial x}\over{\partial z}}\\
| + | |
| - | {{\partial y}\over{\partial \rho}}&{{\partial y}\over{\partial \phi}}&{{\partial y}\over{\partial z}}\\
| + | |
| - | {{\partial z}\over{\partial \rho}}&{{\partial z}\over{\partial \phi}}&{{\partial z}\over{\partial z}}
| + | |
| - | \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
| + | |
| - | \cos\phi&-\rho\sin\phi&0\\
| + | |
| - | \sin\phi&\rho\cos\phi&0\\
| + | |
| - | 0&0&1
| + | |
| - | \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
| + | |
| - | \cos\phi&-\rho\sin\phi\\
| + | |
| - | \sin\phi&\rho\cos\phi
| + | |
| - | \end{vmatrix}
| + | |
| - | =\rho\cos^2\phi+\rho\sin^2\phi=\rho(\cos^2\phi+\sin^2\phi)=\rho\;</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | ===Przejście z układu kartezjańskiego===
| + | |
| - | Transformacja odwrotna, czyli transformacja współrzędnych z układu kartezjańskiego do układu współrzędnych walcowych jest dana przez
| + | |
| - | <math>\rho=\sqrt{x^2+y^2}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>\varphi =
| + | |
| - | \begin{cases}
| + | |
| - | 0 & \mbox{gdy } x = 0 \mbox{ ∧ } y = 0\\
| + | |
| - | \arcsin(\frac{y}{\rho}) & \mbox{gdy } x \geq 0 \\
| + | |
| - | -\arcsin(\frac{y}{\rho}) + \pi & \mbox{gdy } x < 0\\
| + | |
| - | \end{cases}
| + | |
| - | </math>
| + | |
| - | == Przykład wykorzystania Jakobianu ==
| + | |
| - | Bardzo czesto Jakobian przejscia między róznymi układami współrzednych jest wykorzystywany do uproszczenia przeprowadzanych obliczeń.
| + | |
| - | | + | |
| - | Załóżmy, że mamy do obliczenia pewna objętość daną całką potrójną
| + | |
| - | :<math>\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E}\sqrt{x^2+y^2}dxdydz</math>
| + | |
| - | gdzie <math>E</math> jest obszarem leżącym wewnątrz walca utorzonego przez koło o rówaniu <math>x^2+y^2=16</math> i ograniczonego przez dwie płaszczyzny <math>z=-5</math> i <math>z=4</math>
| + | |
| - | Całka ta w karteziańskim układzie współrzędnych ma skomplikowane granice całkowania i nie jest prosta w obliczeniu. Obliczenia te można jednak uprościć wykorzystując Jakobian przejscia między układami odniesienia (w tym przypadku karteziańskim i walcowym)
| + | |
| - | :<math>\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E} f(x,y,z)dxdydz = \int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E} f(x(\rho,\phi,z),y(\rho,\phi,z),z(\rho,\phi,z)) J d\rho d\phi dz=</math>
| + | |
| - | :<math>=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E} f(x(\rho,\phi,z),y(\rho,\phi,z),z(\rho,\phi,z)) \rho d\rho d\phi dz</math>
| + | |
| - | Oczywiście podczas przejscia do innego układu odniesienia należy zmienić granice całkowania.
| + | |
| - | :<math>0 \le \phi \le 2\pi</math>
| + | |
| - | :<math>0 \le \rho \le 4</math>
| + | |
| - | :<math>-5 \le z \le 4</math>
| + | |
| - | Stąd
| + | |
| - | :<math>\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E}\sqrt{x^2+y^2}dxdydz=\int\!\!\!\int\!\!\!\int_{E}\sqrt{\rho^{2}} \rho d\rho d\phi dz=</math>
| + | |
| - | :<math>=\int_{0}^{4}\int_{0}^{2\pi}\int_{-5}^{4} \rho^2 d\rho d\phi dz=\frac{64}{3} 2\pi (4+5) = 384 \pi</math>
| + | |