Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→Wektor wodzący punktu) |
(→Kombinacje liniowe wektorów) |
||
| Linia 30: | Linia 30: | ||
* <math>|\textbf{a}|+|\textbf{b}| \geq |\textbf{a}+\textbf{b}| \geq ||\textbf{a}|-|\textbf{b}||</math> | * <math>|\textbf{a}|+|\textbf{b}| \geq |\textbf{a}+\textbf{b}| \geq ||\textbf{a}|-|\textbf{b}||</math> | ||
| - | Rożnicą <math>\textbf{a}-\textbf{b}</math> wektorów nazywamy sumę wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>-\textbf{b}</math>. Jest to przekątna <math>DB</math> na Rys. | + | Rożnicą <math>\textbf{a}-\textbf{b}</math> wektorów nazywamy sumę wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>-\textbf{b}</math>. Jest to przekątna <math>DB</math> na Rys. 2. |
| + | [[File:w2.png|thumb|Rys. 2 Dodawanie i odejmowanie wektorów]] | ||
Własności różnicy wektorów: | Własności różnicy wektorów: | ||
* <math>\textbf{a}-\textbf{a} = 0</math> wektor zerowy, | * <math>\textbf{a}-\textbf{a} = 0</math> wektor zerowy, | ||
Wersja z 19:24, 20 lis 2013
Spis treści |
Wielkości wektorowe i skalarne
Wielkości, których wartości mogą być wyrażone liczbami dodatnimi, ujemnymi oraz zerem (skalarami) nazywamy wielkościami skalarnymi (np. masa, temperatura, energia, praca). Wielkości, które określa się poprzez podanie ich wymiaru i kierunku w przestrzeni nazywamy wielkościami wektorowymi (np. siła, prędkość, przyspieszenie) i przedstawiamy je za pomocą wektorów.
Wektory
Wektor jest to odcinek mający określona długość i określony kierunek. Wektor mający początek w punkcie \(A\) i koniec w punkcie \(B\) oznacza się przez \( \overline{AB}\), Wektory oznacza się także mała półgruba \(\textbf{a}\) lub małą literą z kreską na górze \(\bar{a}\). Długość wektora \(\overline{AB}\), \(\textbf{a}\) lub \(\bar{a}\) oznacza się odpowiednio \(AB\), \(|\textbf{a}|\) lub \(a\).
Wektor zerowy \(\textbf{0}\) jest to wektor, którego koniec pokrywa się z początkiem, jego długość jest równa zero, a kierunek jest nieoznaczony.
Dwa wektory \(\textbf{a}\) \(\textbf{b}\) uważa się za równe jeżeli linie działania tych wektorów są równoległe, a wektory są jednakowo zorientowane i mają jednakowe długości.
Wektory kolinearne są to wektory, których linie działania są równoległe do jednej i tej samej prostej (orientacje wektorów maja zgodne lub niezgodne). Wektory komplanarne to takie, których linie działania są równolegle do jednej i tej samej płaszczyzny. Wektory przeciwne są to wektory mające jednakowe długości, a kierunki przeciwne:
\(\overline{AB}=\textbf{a} \text{ } \overline{BA}=-\textbf{a}\).
Wektorem jednostkowym, nazywamy wektor o długości \(1\). Wektor jednostkowy, którego kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora \(\textbf{a}\), oznaczamy \(\widehat{a}\) i nazywamy wersorem tego kierunku. Wektor \(\textbf{a}\) można przedstawić w postaci \(\textbf{a}=a\widehat{a}\) Wersory mające kierunki osi prostokątnych (układ współrzędnych kartezjańskich) \( Ox, Oy, Oz\) i zgodnie z nimi zorientowane oznacza się symbolami \(\widehat{i}, \widehat{j}, \widehat{k}\)
Wektor wodzący punktu
Położenie punktu M można wyznaczyć za pomocą wektora \(\overline{OM}\), którego początkiem jest początek układu współrzędnych \(O\), a końcem punkt \(M\), wektor ten nazywamy wektorem wodzącym punktu \(M\) i oznaczamy symbolem \(\textbf{r}\).
Kombinacje liniowe wektorów
Sumą kilku wektorów \(\textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c}, \ldots, \textbf{e}\) nazywamy wektor \(\textbf{f}=\overline{AF}\) zamykający linie łamaną \(ABC \ldots EF\).
Sumą dwóch wektorów \(\overline{AB}=\textbf{a}\) i \(\overline{AD}=\textbf{b}\) jest wektor \(\overline{AC}=\textbf{c}\) stanowiący przekątna równoległoboku \(ABCD\) wychodząca z punktu \(A\).
Dla sumy wektorów zachodzą następujące wzory:
- \(\textbf{a}+\textbf{b}=\textbf{b}+\textbf{a}\)
- \(|\textbf{a}|+|\textbf{b}| \geq |\textbf{a}+\textbf{b}| \geq ||\textbf{a}|-|\textbf{b}||\)
Rożnicą \(\textbf{a}-\textbf{b}\) wektorów nazywamy sumę wektorów \(\textbf{a}\) i \(-\textbf{b}\). Jest to przekątna \(DB\) na Rys. 2.
Własności różnicy wektorów:
- \(\textbf{a}-\textbf{a} = 0\) wektor zerowy,
- \(|\textbf{a}|+|\textbf{b}| \geq |\textbf{a}-\textbf{b}| \geq ||\textbf{a}|-|\textbf{b}||\)
Iloczynem wektora \(\textbf{a}\) przez skalar \(\alpha\) nazywamy wektor \(\textbf{b}\) kolinearny z wektorem \(\textbf{a}\) i mający długość \(|\textbf{b}|=|\textbf{a}||\alpha|\) oraz reintegracje zgodna z wektorem \(\textbf{a}\) gdy \(\alpha>0\), a niezgodną gdy \(\alpha<0\). Własności takiego iloczynu:
- \(\textbf{a}\alpha=\alpha\textbf{a}\),
- \( \alpha(\beta\textbf{a})=\alpha\beta\textbf{a}\),
- \( (\alpha + \beta)\textbf{a}=\alpha\textbf{a}+\beta\textbf{a}\),
- \( \alpha(\textbf{a}+\textbf{b})=\alpha\textbf{a}+\alpha\textbf{b}\)
Kombinacją liniową wektorów \(\textbf{a},\textbf{b},\ldots,\textbf{d}\) o odpowiednich współczynnikach skalarnych \(\alpha, \beta, \ldots, \delta\) jest wektor:
\(\textbf{m}=\alpha\textbf{a}+\beta\textbf{b}+\ldots+\delta\textbf{d}\)
Dowolny wektor \(\textbf{a}\) można w sposób jednoznaczny przedstawić w postaci sumy:
\(\textbf{a}=\alpha\textbf{u}+\beta\textbf{v}+\gamma\textbf{w}\)
gdzie \(\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w}\) są wektorami niekomplementarnymi, składniki \(\alpha\textbf{u},\beta\textbf{v},\gamma\textbf{w}\) nazywamy składowymi wektora \(\textbf{a}\) wzdłuż kierunków \(\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w}\), a współczynniki \(\alpha, \beta, \gamma\) nazywamy współrzędnymi wektora
Współrzędne wektora
Współrzędne kartezjańskie prostokątne
Każdy wektor \(\textbf{a}\) w przestrzeni może być jednoznacznie rozłożony na sumę wektorów równoległych do wersorów \(\widehat{i}, \widehat{j}, \widehat{k}\):
\(\textbf{a}=a_{x}\widehat{i}+a_{y}\widehat{j}+a_{z}\widehat{k}\)
skalary \(a_{x},a_{y},a_{z}\) współrzędnymi wektora w układzie kartezjańskim i oznaczmy
\(\textbf{a}(a_{x},a_{y},a_{z})\)
Współrzędne te są miarami rzutów wektora na osie współrzędnych \(Ox, Oy, Oz\). Przesunięcie równoległe wektora nie zmienia jego współrzędnych.
Współrzędne kombinacji liniowej kilku wektorów są odpowiednio równe kombinacja liniowym współrzędnych tych wektorów:
\(k_{x}=\alpha a_{x} + \beta b_{x} + \ldots + \delta d_{x} \)
\(k_{y}=\alpha a_{y} + \beta b_{y} + \ldots + \delta d_{y} \)
\(k_{z}=\alpha a_{z} + \beta b_{z} + \ldots + \delta d_{z} \)
Dla współrzędnych sumy lub różnicy \(\textbf{c}=\textbf{a} \pm \textbf{b}\) zachodzi:
\(c_{x} = a_{x} \pm b_{x} \)
\(c_{y} = a_{y} \pm b_{y} \)
\(c_{z} = a_{z} \pm b_{z} \)
Iloczyn skalarny i wektorowy wektorów
Iloczyn skalarny wektorów
Iloczynem skalarnym \(\textbf{ab}\) wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) nazywamy wektor \(\textbf{c}\), którego długość wynosi:
\(|\textbf{c}|=|\textbf{a}||\textbf{b}|cos(\varphi)\)
gdzie \(\varphi\) jest kątem między wektorami \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) sprowadzonymi do wspólnego początku.
Iloczyn skalarny może być zdefiniowany również jako suma iloczynów składowych każdego wektora jak następuje:
- \(\mathbf a \cdot \mathbf b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\).
Iloczyn wektorowy wektorów
Iloczynem wektorowym \(\textbf{a} \times \textbf{b}\) wektora \(\textbf{a}\) przez wektor \(\textbf{b}\) nazywamy wektor \(\textbf{c}\), którego długość wynosi:
\(|\textbf{c}|=|\textbf{a}||\textbf{b}|sin(\varphi)\)
Wektor \(\textbf{c}\) jest tak zorientowany, że wektory \(\textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c}\) tworzą układ prawoskrętny.
Iloczyn wektorowy może być zapisany jako:
\(\textbf{a} \times \textbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y)\widehat{i} + (a_z b_x - a_x b_z)\widehat{j} + (a_x b_y - a_y b_x)\widehat{k}\).
Własności iloczynów wektorów
- \(\textbf{ab}=\textbf{ba}\) prawo przemienność dla iloczynu skalarnego,
- \(\textbf{a} \times \textbf{b} = - \textbf{b} \times \textbf{a}\) prawo przemienność dla iloczynu wektorowego,
- \(\alpha (\textbf{ab})=(\alpha \textbf{a})\textbf{b}\),
- \(\alpha (\textbf{a} \times \textbf{b}) = (\alpha \textbf{a}) \times \textbf{b}\),
- \(\textbf{a}(\textbf{b}+\textbf{c}) = \textbf{ab} + \textbf{ac}\),
- \( \textbf{a} \times (\textbf{b} + \textbf{c}) = \textbf{a} \times \textbf{b} + \textbf{a} \times \textbf{c}\),
- \(\textbf{ab} = 0\) jeżeli \(\textbf{a} \bot \textbf{b}\) warunek prostopadłości wektorów,
- \(\textbf{a} \times \textbf{b} = \textbf{0}\), jeżeli \( \textbf{a} \Vvdash \textbf{b} \) warunek kolinearności wektorów,
- \( \textbf{aa} = \textbf{a}^{2} = |\textbf{a}|^{2} \) ale \( \textbf{a} \times \textbf{a} = \textbf{0}\).
Długość wektora w układzie kartezjańskim
Długość, moduł lub norma wektora \(\mathbf a\) oznaczana jest symbolem \(\|\mathbf a\|\) lub \(|\mathbf a|\), której nie powinno się mieszać z wartością bezwzględną („normą” skalarną).
Długość wektora \(\mathbf a\) może być obliczona za pomocą:
\(|\mathbf a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\),
co jest konsekwencją twierdzenia Pitagorasa, ponieważ wektory bazowe \(\widehat{i}, \widehat{j}, \widehat{k}\) są ortogonalnymi wektorami jednostkowymi.
Okazuje się, że jest ona równa pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu skalarnego wektora przez siebie:
\(|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a \cdot \mathbf a}\).
Zadania
- Czy wektory \(\overline{AB}\) i \(\overline{CD}\) gdzie \( A =(2,-1), B=(2,1), C=(3,-2), D=(-3,-2)\) są przeciwne?
- Czy wektory \(\overline{AB}\) i \(\overline{CD}\) gdzie \( A =(2,-1), B=(-2,-2), C=(1,-1), D=(1,2)\) są równe?
- Oblicz długości boków trójkąta o wierzchołkach \(A=(1,-1,2), B=(3,3,8), C=(2,0,1)\).
- Jeżeli \(A = (2, -1), B = (-1, 3), C = (0, 1)\), wyraź następujące wektory w układzie opartym na wektorach jednostkowych \(\widehat{i},\widehat{j}\):
- \(\overline{AB}\),
- \(\overline{BC}\),
- \(\overline{AC}\),
- \(\overline{AB}+\overline{BC}\),
- \(2\overline{AC}-3\overline{BC}\),
- Jeżeli \(\textbf{a} = 2\widehat{i} + \widehat{j} -2\widehat{k}\) i \(\textbf{b} = 3\widehat{i} - 2\widehat{j} - \widehat{k} \) znajdź:
- \(\textbf{a} + \textbf{b}\),
- \(\textbf{a} - \textbf{b}\),
- \(3\textbf{a} - 2\textbf{b}\),
- \(|\textbf{a}|\),
- \(|\textbf{b}|\).
- Pokaż, że:
- \(\widehat{i} \times \widehat{i} = \textbf{0} \),
- \(\widehat{i} \times \widehat{j} = \widehat{k} \),
- \(\widehat{j} \times \widehat{i} = -\widehat{k} \),