Wektory, działania na wektorach

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(→Współrzędne kartezjańskie prostokątne)
Linia 1: Linia 1:
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
 +
Będziemy teraz rozważać wektory, przy czym ograniczymy się do wektorów w przestrzeni dwu- i trzywymiarowej, w której wprowadzimy współrzędne kartezjańskie prostokątne. Wektory możemy definiować w sposób geometryczny (wektor ma punkt przyłożenia, kierunek, zwrot i długość) lub w sposób algebraiczny (wektor ma współrzędne, czyli składowe). Istnieje nieskończenie wiele wektorów określonych przez współrzędne (składowe), które odpowiadają temu samemu wektorowi o określonym kierunku, wartości i zwrocie. Przez podanie punktu przyłożenia z rodziny wektorów o tych samych współrzędnych (składowych) wybieramy jeden.  Dla przykładu w zastosowaniach fizycznych wektor siły posiada punkt przyłożenia w punkcie działania siły.   
 +
== Wielkości wektorowe i skalarne ==
== Wielkości wektorowe i skalarne ==
-
Wielkości, których wartości mogą być wyrażone liczbami dodatnimi, ujemnymi oraz zerem (skalarami) nazywamy wielkościami skalarnymi (np. masa, temperatura, energia, praca). Wielkości, które określa się poprzez podanie ich wymiaru i kierunku w przestrzeni nazywamy wielkościami wektorowymi (np. siła, prędkość, przyspieszenie) i przedstawiamy je za pomocą wektorów.
+
Wielkości, których wartości mogą być tylko jedną liczbą nazywamy wielkościami skalarnymi (np. masa, temperatura, energia, praca). Wielkości, do których określenia wymagane jest podanie nie tylko ich wartości, ale także kierunku, zwrotu i punktu przyłożenia w przestrzeni nazywamy wielkościami wektorowymi (np. siła, prędkość, przyspieszenie) i przedstawiamy je za pomocą wektorów.
-
== Wektory ==
+
== Współrzędne kartezjańskie prostokątne ==
-
Wektor jest to odcinek mający określona długość i określony kierunek. Wektor mający początek w punkcie <math>A</math> i koniec w punkcie <math>B</math> oznacza się przez <math> \overline{AB}</math>, Wektory oznacza się także mała półgruba <math>\textbf{a}</math> lub małą literą z kreską na górze <math>\bar{a}</math>. Długość wektora <math>\overline{AB}</math>, <math>\textbf{a}</math> lub <math>\bar{a}</math> oznacza się odpowiednio  <math>AB</math>, <math>|\textbf{a}|</math> lub <math>a</math>.
+
Każdy wektor <math>\textbf{a}</math> w karteziańskiej przestrzeni trójwymiarowej może być jednoznacznie rozłożony na sumę wektorów równoległych do wersorów <math>\widehat{x}, \widehat{y}, \widehat{z }</math>, które są wektorami o długości jednostkowej wzdłuż kolejnych osi układu współrzędnych:
 +
 +
<math>\textbf{a}=a_{x}\widehat{x}+a_{y}\widehat{y}+a_{z}\widehat{z}</math>
-
Wektor zerowy <math>\textbf{0}</math> jest to wektor, którego koniec pokrywa się z początkiem, jego długość jest równa zero, a kierunek jest nieoznaczony.
+
skalary <math>a_{x},a_{y},a_{z}</math> są współrzędnymi wektora w układzie kartezjańskim ([[Media:w1.png|Rys. 1]]).
-
Dwa wektory <math>\textbf{a}</math> <math>\textbf{b}</math> uważa się za równe jeżeli linie działania tych wektorów są równoległe, a wektory są jednakowo zorientowane i mają jednakowe długości.
+
Współrzędne te są miarami rzutów wektora na osie współrzędnych <math>Ox, Oy, Oz</math>, przy czym przesunięcie równoległe wektora nie zmienia wartości jego współrzędnych.
 +
[[File:w1.png|thumb|250px|Rys. 1 Wektor w karteziańskim układzie współrzędnych]]
-
Wektory ''kolinearne'' są to wektory, których linie działania są równoległe do jednej i tej samej prostej (orientacje wektorów maja zgodne lub niezgodne). Wektory ''komplanarne'' to takie, których linie działania są równolegle do jednej i tej samej płaszczyzny. Wektory ''przeciwne'' są to wektory mające jednakowe długości, a kierunki przeciwne:
+
Dla współrzędnych sumy lub różnicy wektorów <math>\textbf{c}=\textbf{a} \pm \textbf{b}</math> zachodzi prosty związek:
-
<math>\overline{AB}=\textbf{a} \text{     } \overline{BA}=-\textbf{a}</math>.
+
:<math>
 +
c_{x} = a_{x} \pm b_{x} \\
 +
c_{y} = a_{y} \pm b_{y} \\
 +
c_{z} = a_{z} \pm b_{z}
 +
</math>
-
Wektorem ''jednostkowym'', nazywamy wektor o długości <math>1</math>. Wektor ''jednostkowy'', którego kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora <math>\textbf{a}</math>, oznaczamy <math>\widehat{a}</math> i nazywamy ''wersorem'' tego kierunku. Wektor <math>\textbf{a}</math> można przedstawić w postaci <math>\textbf{a}=a\widehat{a}</math>
 
-
Wersory mające kierunki osi prostokątnych (układ współrzędnych kartezjańskich) <math> Ox, Oy, Oz</math> i zgodnie z nimi zorientowane oznacza się symbolami <math>\widehat{i}, \widehat{j}, \widehat{k}</math>
 
-
== Wektor wodzący punktu ==
+
Długość wektora <math>\mathbf a</math> (oznaczamy ją jako <math>|\textbf{a}|</math> (której nie powinno się mieszać z wartością bezwzględną)) składowych <math>a_x, a_y, a_z</math> może być obliczona z następującego wzoru 
-
Położenie punktu M można wyznaczyć za pomocą wektora <math>\overline{OM}</math>, którego początkiem jest początek układu współrzędnych <math>O</math>, a końcem punkt <math>M</math>, wektor ten nazywamy wektorem wodzącym punktu <math>M</math> i oznaczamy symbolem <math>\textbf{r}</math>.
+
-
[[File:w1.png|thumb|250px|Rys. 1 Wektor wodzący punktu]]
+
-
== Kombinacje liniowe wektorów ==
+
:<math>|\mathbf a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}.</math>
-
Sumą kilku wektorów <math>\textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c}, \ldots, \textbf{e}</math> nazywamy wektor <math>\textbf{f}=\overline{AF}</math> zamykający linie łamaną <math>ABC \ldots EF</math>.
+
-
Sumą dwóch wektorów <math>\overline{AB}=\textbf{a}</math> i <math>\overline{AD}=\textbf{b}</math> jest wektor <math>\overline{AC}=\textbf{c}</math> stanowiący przekątna równoległoboku <math>ABCD</math> wychodząca z punktu <math>A</math>.
+
Jak widać jest ona równa pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu skalarnego wektora przez siebie
-
Dla sumy wektorów zachodzą następujące wzory:
+
:<math>|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a \cdot \mathbf a}.</math>
-
* <math>\textbf{a}+\textbf{b}=\textbf{b}+\textbf{a}</math>
+
-
* <math>|\textbf{a}|+|\textbf{b}| \geq |\textbf{a}+\textbf{b}| \geq ||\textbf{a}|-|\textbf{b}||</math>
+
-
Rożnicą <math>\textbf{a}-\textbf{b}</math> wektorów nazywamy sumę wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>-\textbf{b}</math>. Jest to przekątna <math>DB</math> na [[Media:w2.png|Rys. 2]].
 
-
[[File:w2.png|thumb|250px|Rys. 2 Dodawanie i odejmowanie wektorów]]
 
-
Własności różnicy wektorów:
 
-
* <math>\textbf{a}-\textbf{a} = 0</math> wektor zerowy,
 
-
* <math>|\textbf{a}|+|\textbf{b}| \geq |\textbf{a}-\textbf{b}| \geq ||\textbf{a}|-|\textbf{b}||</math>
 
-
Iloczynem wektora <math>\textbf{a}</math> przez skalar <math>\alpha</math> nazywamy wektor  <math>\textbf{b}</math> kolinearny z wektorem <math>\textbf{a}</math> i mający długość <math>|\textbf{b}|=|\textbf{a}||\alpha|</math> oraz reintegracje zgodna z wektorem <math>\textbf{a}</math> gdy <math>\alpha>0</math>, a niezgodną gdy  <math>\alpha<0</math>. Własności takiego iloczynu:
+
== Suma i różnica wektorów ==
-
* <math>\textbf{a}\alpha=\alpha\textbf{a}</math>,
+
Sumą wektorów <math>\textbf{a}=a_{x}\widehat{x}+a_{y}\widehat{y}+a_{z}\widehat{z}</math> i <math>\textbf{b}=b_{x}\widehat{x}+b_{y}\widehat{y}+b_{z}\widehat{z}</math> jest wektor <math>\textbf{c}</math> dany wzorem
-
* <math> \alpha(\beta\textbf{a})=\alpha\beta\textbf{a}</math>,
+
-
* <math> (\alpha + \beta)\textbf{a}=\alpha\textbf{a}+\beta\textbf{a}</math>,
+
-
* <math> \alpha(\textbf{a}+\textbf{b})=\alpha\textbf{a}+\alpha\textbf{b}</math>
+
-
Kombinacją liniową wektorów <math>\textbf{a},\textbf{b},\ldots,\textbf{d}</math> o odpowiednich współczynnikach skalarnych <math>\alpha, \beta, \ldots, \delta</math> jest wektor:
+
:<math>\textbf{c}=c_{x}\widehat{x}+c_{y}\widehat{y}+c_{z}\widehat{z}=(a_{x}+b_{x})\widehat{x}+(a_{y}+b_{y})\widehat{y}+(a_{z}+b_{z})\widehat{z}</math>
 +
Graficzne przedstawienie sumy dwóch wektorów znajduje się na rysunku [[Media:w2.png|Rys. 2]].
-
<math>\textbf{m}=\alpha\textbf{a}+\beta\textbf{b}+\ldots+\delta\textbf{d}</math>
+
Dla sumy wektorów zachodzą następujące wzory:
 +
* <math>\textbf{a}+\textbf{b}=\textbf{b}+\textbf{a}</math>
 +
* <math>|\textbf{a}|+|\textbf{b}| \geq |\textbf{a}+\textbf{b}| </math>
-
Dowolny wektor <math>\textbf{a}</math> można w sposób jednoznaczny przedstawić w postaci sumy:
 
-
<math>\textbf{a}=\alpha\textbf{u}+\beta\textbf{v}+\gamma\textbf{w}</math>
 
-
gdzie <math>\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w}</math> są wektorami niekomplementarnymi, składniki  <math>\alpha\textbf{u},\beta\textbf{v},\gamma\textbf{w}</math> nazywamy ''składowymi'' wektora <math>\textbf{a}</math> wzdłuż kierunków  <math>\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w}</math>, a współczynniki <math>\alpha, \beta, \gamma</math> nazywamy ''współrzędnymi'' wektora
+
Różnicą wektorów <math>\textbf{a}=a_{x}\widehat{x}+a_{y}\widehat{y}+a_{z}\widehat{z}</math> i <math>\textbf{b}=b_{x}\widehat{x}+b_{y}\widehat{y}+b_{z}\widehat{z}</math> jest wektor <math>\textbf{d}</math> dany wzorem
-
== Współrzędne wektora ==
+
:<math>\textbf{d}=d_{x}\widehat{x}+d_{y}\widehat{y}+d_{z}\widehat{z}=(a_{x}-b_{x})\widehat{x}+(a_{y}-b_{y})\widehat{y}+(a_{z}-b_{z})\widehat{z}</math>
-
=== Współrzędne kartezjańskie prostokątne ===
+
Graficzne przedstawienie róznicy dwóch wektorów znajduje się na rysunku [[Media:w2.png|Rys. 2]].
-
Każdy wektor <math>\textbf{a}</math> w przestrzeni może być jednoznacznie rozłożony na sumę wektorów równoległych do wersorów <math>\widehat{i}, \widehat{j}, \widehat{k}</math>:
+
-
<math>\textbf{a}=a_{x}\widehat{i}+a_{y}\widehat{j}+a_{z}\widehat{k}</math>
+
Własności różnicy wektorów:
 +
* <math>\textbf{a}-\textbf{a} = 0</math> wektor zerowy.
-
skalary <math>a_{x},a_{y},a_{z}</math> współrzędnymi wektora w układzie kartezjańskim i oznaczmy
+
[[File:w2.png|thumb|250px|Rys. 2 Suma i różnica wektorów]]
-
<math>\textbf{a}(a_{x},a_{y},a_{z})</math>
+
== Mnożenie wektora przez liczbę ==
-
Współrzędne te są miarami rzutów wektora na osie współrzędnych <math>Ox, Oy, Oz</math>. Przesunięcie równoległe wektora nie zmienia jego współrzędnych.
+
Polega na pomnożeniu każdej składowej wektora przez tę liczbę. I tak iloczyn wektora <math>\textbf{a}=a_{x}\widehat{x}+a_{y}\widehat{y}+a_{z}\widehat{z}</math> przez liczbę <math>\alpha</math> wynosi
-
Współrzędne kombinacji liniowej kilku wektorów są odpowiednio równe kombinacja liniowym współrzędnych tych wektorów:
+
:<math>\alpha \textbf{a} = \alpha (a_{x}\widehat{x}+a_{y}\widehat{y}+a_{z}\widehat{z}) = \alpha a_{x}\widehat{x}+ \alpha a_{y}\widehat{y}+ \alpha a_{z}\widehat{z}</math>
-
:<math>k_{x}=\alpha a_{x} + \beta b_{x} + \ldots + \delta d_{x}</math>
+
Wektor <math>\alpha \textbf{a}</math> posiada:  
-
:<math>k_{y}=\alpha a_{y} + \beta b_{y} + \ldots + \delta d_{y}</math>
+
-
:<math>k_{z}=\alpha a_{z} + \beta b_{z} + \ldots + \delta d_{z}</math>
+
-
Dla współrzędnych sumy lub różnicy <math>\textbf{c}=\textbf{a} \pm \textbf{b}</math> zachodzi:
+
* ten sam kierunek i zwrot co wektor <math>\textbf{a}</math> dla <math>\alpha \gt 0</math>,
-
 
+
* ten sam kierunek i przeciwny zwrot co wektor <math>\textbf{a}</math> dla <math>\alpha \lt 0</math>,
-
:<math>c_{x} = a_{x} \pm b_{x} </math>
+
* jest wektorem zerowym gdy <math>\alpha = 0.</math>
-
:<math>c_{y} = a_{y} \pm b_{y}</math>  
+
-
:<math>c_{z} = a_{z} \pm b_{z}</math>
+
== Iloczyn skalarny i wektorowy wektorów ==
== Iloczyn skalarny i wektorowy wektorów ==
=== Iloczyn skalarny wektorów ===
=== Iloczyn skalarny wektorów ===
-
Iloczynem skalarnym <math>\textbf{ab}</math> wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> nazywamy wektor <math>\textbf{c}</math>, którego długość wynosi
+
Iloczynem skalarnym <math>\textbf{a} \cdot \textbf{b}</math> wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> nazywamy liczbę rzeczywistą, która definiujemy następująco
-
:<math>|\textbf{c}|=|\textbf{a}||\textbf{b}|cos(\varphi)</math>
+
:<math>\mathbf a \cdot \mathbf b=|\textbf{a}||\textbf{b}|cos(\varphi)</math>
-
gdzie <math>\varphi</math> jest kątem między wektorami <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> sprowadzonymi do wspólnego początku.
+
gdzie <math>\varphi</math> jest kątem między wektorami <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math>, który mierzymy od wektora <math>\textbf{a}</math> do wektora  <math>\textbf{b}</math>. To była definicja iloczynu skalarnego w postaci geometrycznej. W postaci algebraicznej iloczyn skalarny wktorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> jest definiowany jako suma iloczynów składowych każdego z wektoróq:
-
 
+
-
Iloczyn skalarny może być zdefiniowany również jako suma iloczynów składowych każdego wektora jak następuje:
+
:<math>\mathbf a \cdot \mathbf b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z</math>.
:<math>\mathbf a \cdot \mathbf b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z</math>.
Linia 93: Linia 82:
:<math>|\textbf{c}|=|\textbf{a}||\textbf{b}|sin(\varphi)</math>
:<math>|\textbf{c}|=|\textbf{a}||\textbf{b}|sin(\varphi)</math>
-
Wektor <math>\textbf{c}</math> jest tak zorientowany, że wektory <math>\textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c}</math> tworzą układ prawoskrętny.
+
gdzie kąt <math>\varphi</math> jest mierzony od wektora <math>\textbf{a}</math> do wektora <math>\textbf{b}</math> w taki sposób, że jest <math>\leq \pi</math>.  Wektor <math>\textbf{c}</math> jest tak zorientowany, że wektory <math>\textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c}</math> tworzą układ prawoskrętny.
-
Iloczyn wektorowy może być zapisany jako:  
+
To była geometryczna definicja iloczynu wektorowego,a w postaci algebraicznej lloczyn wektorowy wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> definiujemy jako:  
-
:<math>\textbf{a} \times \textbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y)\widehat{i} + (a_z b_x - a_x b_z)\widehat{j} + (a_x b_y - a_y b_x)\widehat{k}</math>.
+
:<math>\textbf{a} \times \textbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y)\widehat{x} + (a_z b_x - a_x b_z)\widehat{y} + (a_x b_y - a_y b_x)\widehat{z}</math>.
-
=== Własności iloczynów wektorów ===
+
Graficzna prezentacja iloczynu wektorowego znajduje się na rysunku [[Media:wiw.png|Rys. 3]].
-
* <math>\textbf{ab}=\textbf{ba}</math> prawo przemienność dla iloczynu skalarnego,
+
[[File:wiw.png|thumb|250px|Rys. 3 Iloczyn wektorowy wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> w karteziańskim układzie współrzednych]]
-
* <math>\textbf{a} \times \textbf{b} = - \textbf{b} \times \textbf{a}</math> prawo przemienność dla iloczynu wektorowego,
+
 
 +
== Niektóre pożyteczne własności iloczynów wektorów ==
 +
* <math>\textbf{ab}=\textbf{ba}</math> prawo przemienności dla iloczynu skalarnego,
* <math>\alpha (\textbf{ab})=(\alpha \textbf{a})\textbf{b}</math>,
* <math>\alpha (\textbf{ab})=(\alpha \textbf{a})\textbf{b}</math>,
* <math>\alpha (\textbf{a} \times \textbf{b}) = (\alpha \textbf{a}) \times \textbf{b}</math>,
* <math>\alpha (\textbf{a} \times \textbf{b}) = (\alpha \textbf{a}) \times \textbf{b}</math>,
Linia 107: Linia 98:
* <math> \textbf{a} \times (\textbf{b} + \textbf{c}) = \textbf{a} \times \textbf{b} + \textbf{a} \times \textbf{c}</math>,
* <math> \textbf{a} \times (\textbf{b} + \textbf{c}) = \textbf{a} \times \textbf{b} + \textbf{a} \times \textbf{c}</math>,
* <math>\textbf{ab} = 0</math> jeżeli <math>\textbf{a} \bot \textbf{b}</math> warunek prostopadłości wektorów,
* <math>\textbf{ab} = 0</math> jeżeli <math>\textbf{a} \bot \textbf{b}</math> warunek prostopadłości wektorów,
-
* <math>\textbf{a} \times \textbf{b} = \textbf{0}</math>, jeżeli <math> \textbf{a} \Vvdash \textbf{b} </math> warunek kolinearności wektorów,
+
* <math>\textbf{a} \times \textbf{b} = \textbf{0}</math> warunek kolinearności wektorów (wektory o tym samym kierunku, równoległe, mogące także leżeć na tej samej prostej),
* <math> \textbf{aa} = \textbf{a}^{2} = |\textbf{a}|^{2} </math> ale <math> \textbf{a} \times \textbf{a} = \textbf{0}</math>.
* <math> \textbf{aa} = \textbf{a}^{2} = |\textbf{a}|^{2} </math> ale <math> \textbf{a} \times \textbf{a} = \textbf{0}</math>.
-
== Długość wektora w układzie kartezjańskim==
+
== Przykład ==
-
''Długość'', ''moduł'' lub ''norma'' wektora <math>\mathbf a</math> oznaczana jest symbolem <math>\|\mathbf a\|</math> lub  <math>|\mathbf a|</math>, której nie powinno się mieszać z wartością bezwzględną („normą” skalarną).
+
[[File:wprz1.png|thumb|250px|Rys. 4 Suma i róznica wektorów <math>\textbf{a}=3\widehat{x}+4\widehat{y}</math> i <math>\textbf{b}=2\widehat{x}-\widehat{y}</math>
 +
]]
 +
[[File:wprz2.png|thumb|250px|Rys. 5 Iloczyn wektorowy wektora <math>\textbf{a}=3\widehat{x}+4\widehat{y}</math> i <math>\textbf{b}=2\widehat{x}-\widehat{y}</math>
 +
]]
 +
Mamy dane dwa wektory
 +
 
 +
<math>\textbf{a}=3\widehat{x}+4\widehat{y}</math>
 +
 
 +
<math>\textbf{b}=2\widehat{x}-\widehat{y}</math>
-
Długość wektora <math>\mathbf a</math> może być obliczona za pomocą:
+
Można zauważyć, że składowa w kierunku osi <math>\textbf{Z}</math> jest równa zero.
-
:<math>|\mathbf a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}</math>,
+
* Długości wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math>
-
co jest konsekwencją twierdzenia Pitagorasa, ponieważ wektory bazowe <math>\widehat{i}, \widehat{j}, \widehat{k}</math> są ortogonalnymi wektorami jednostkowymi.
+
<math>|\mathbf a| = \sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{25}=5</math>
-
Okazuje się, że jest ona równa pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu skalarnego wektora przez siebie
+
<math>|\mathbf b| = \sqrt{2^2 + (-1)^2}=\sqrt{5}</math>
-
:<math>|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a \cdot \mathbf a}</math>.
+
* Suma tych wektorów wynosi (patrz [[Media:wprz1.png|Rys. 4]])
 +
<math>\textbf{a}+\textbf{b}=(3+2)\widehat{x}+(4+(-1))\widehat{y}=5\widehat{x}+3\widehat{y}</math>
 +
* Różnica wynosi (patrz [[Media:wprz1.png|Rys. 4]])
 +
<math>\textbf{a}-\textbf{b}=(3-2)\widehat{x}+(4-(-1))\widehat{y}=\widehat{x}+5\widehat{y}</math>
 +
*Iloczyn skalarny
 +
<math>\mathbf a \cdot \mathbf b = 3\cdot 2 + 4 \cdot (-1)=2</math>
 +
*Iloczyn wektorowy (patrz [[Media:wprz2.png|Rys. 5]])
 +
<math>\textbf{a} \times \textbf{b} = (4 \cdot 0 - 0 \cdot (-1))\widehat{x} + (0 \cdot 2 - 3 \cdot 0)\widehat{y} + (3 \cdot (-1) - 4 \cdot 2)\widehat{z}=-11\widehat{z}</math>
== Zadania ==
== Zadania ==
Linia 127: Linia 133:
# Czy wektory <math>\overline{AB}</math> i <math>\overline{CD}</math> gdzie <math> A =(2,-1), B=(-2,-2), C=(1,-1), D=(1,2)</math> są równe?
# Czy wektory <math>\overline{AB}</math> i <math>\overline{CD}</math> gdzie <math> A =(2,-1), B=(-2,-2), C=(1,-1), D=(1,2)</math> są równe?
# Oblicz długości boków trójkąta o wierzchołkach <math>A=(1,-1,2), B=(3,3,8), C=(2,0,1)</math>.
# Oblicz długości boków trójkąta o wierzchołkach <math>A=(1,-1,2), B=(3,3,8), C=(2,0,1)</math>.
-
# Jeżeli <math>A = (2, -1), B = (-1, 3),  C = (0, 1)</math>, wyraź następujące wektory w układzie opartym na wektorach jednostkowych <math>\widehat{i},\widehat{j}</math>:  
+
# Jeżeli <math>A = (2, -1), B = (-1, 3),  C = (0, 1)</math>, wyraź następujące wektory w układzie opartym na wektorach jednostkowych <math>\widehat{x},\widehat{y}</math>:  
## <math>\overline{AB}</math>,  
## <math>\overline{AB}</math>,  
## <math>\overline{BC}</math>,
## <math>\overline{BC}</math>,
Linia 133: Linia 139:
## <math>\overline{AB}+\overline{BC}</math>,
## <math>\overline{AB}+\overline{BC}</math>,
## <math>2\overline{AC}-3\overline{BC}</math>,
## <math>2\overline{AC}-3\overline{BC}</math>,
-
# Jeżeli <math>\textbf{a} = 2\widehat{i} + \widehat{j} -2\widehat{k}</math> i <math>\textbf{b} = 3\widehat{i} - 2\widehat{j} - \widehat{k} </math> znajdź:
+
# Jeżeli <math>\textbf{a} = 2\widehat{x} + \widehat{y} -2\widehat{z}</math> i <math>\textbf{b} = 3\widehat{x} - 2\widehat{y} - \widehat{z} </math> znajdź:
## <math>\textbf{a} + \textbf{b}</math>,
## <math>\textbf{a} + \textbf{b}</math>,
## <math>\textbf{a} - \textbf{b}</math>,
## <math>\textbf{a} - \textbf{b}</math>,
Linia 140: Linia 146:
## <math>|\textbf{b}|</math>.
## <math>|\textbf{b}|</math>.
# Pokaż, że:
# Pokaż, że:
-
## <math>\widehat{i} \times \widehat{i} = \textbf{0} </math>,
+
## <math>\widehat{x} \times \widehat{x} = \textbf{0} </math>,
-
## <math>\widehat{i} \times \widehat{j} = \widehat{k} </math>,
+
## <math>\widehat{x} \times \widehat{y} = \widehat{z} </math>,
-
## <math>\widehat{j} \times \widehat{i} = -\widehat{k} </math>,
+
## <math>\widehat{y} \times \widehat{x} = -\widehat{z} </math>,

Wersja z 19:57, 6 mar 2014

Będziemy teraz rozważać wektory, przy czym ograniczymy się do wektorów w przestrzeni dwu- i trzywymiarowej, w której wprowadzimy współrzędne kartezjańskie prostokątne. Wektory możemy definiować w sposób geometryczny (wektor ma punkt przyłożenia, kierunek, zwrot i długość) lub w sposób algebraiczny (wektor ma współrzędne, czyli składowe). Istnieje nieskończenie wiele wektorów określonych przez współrzędne (składowe), które odpowiadają temu samemu wektorowi o określonym kierunku, wartości i zwrocie. Przez podanie punktu przyłożenia z rodziny wektorów o tych samych współrzędnych (składowych) wybieramy jeden. Dla przykładu w zastosowaniach fizycznych wektor siły posiada punkt przyłożenia w punkcie działania siły.

Spis treści

Wielkości wektorowe i skalarne

Wielkości, których wartości mogą być tylko jedną liczbą nazywamy wielkościami skalarnymi (np. masa, temperatura, energia, praca). Wielkości, do których określenia wymagane jest podanie nie tylko ich wartości, ale także kierunku, zwrotu i punktu przyłożenia w przestrzeni nazywamy wielkościami wektorowymi (np. siła, prędkość, przyspieszenie) i przedstawiamy je za pomocą wektorów.

Współrzędne kartezjańskie prostokątne

Każdy wektor \(\textbf{a}\) w karteziańskiej przestrzeni trójwymiarowej może być jednoznacznie rozłożony na sumę wektorów równoległych do wersorów \(\widehat{x}, \widehat{y}, \widehat{z }\), które są wektorami o długości jednostkowej wzdłuż kolejnych osi układu współrzędnych:

\(\textbf{a}=a_{x}\widehat{x}+a_{y}\widehat{y}+a_{z}\widehat{z}\)

skalary \(a_{x},a_{y},a_{z}\) są współrzędnymi wektora w układzie kartezjańskim (Rys. 1).

Współrzędne te są miarami rzutów wektora na osie współrzędnych \(Ox, Oy, Oz\), przy czym przesunięcie równoległe wektora nie zmienia wartości jego współrzędnych.

Rys. 1 Wektor w karteziańskim układzie współrzędnych

Dla współrzędnych sumy lub różnicy wektorów \(\textbf{c}=\textbf{a} \pm \textbf{b}\) zachodzi prosty związek:

\[ c_{x} = a_{x} \pm b_{x} \\ c_{y} = a_{y} \pm b_{y} \\ c_{z} = a_{z} \pm b_{z} \]


Długość wektora \(\mathbf a\) (oznaczamy ją jako \(|\textbf{a}|\) (której nie powinno się mieszać z wartością bezwzględną)) składowych \(a_x, a_y, a_z\) może być obliczona z następującego wzoru

\[|\mathbf a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}.\]

Jak widać jest ona równa pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu skalarnego wektora przez siebie

\[|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a \cdot \mathbf a}.\]


Suma i różnica wektorów

Sumą wektorów \(\textbf{a}=a_{x}\widehat{x}+a_{y}\widehat{y}+a_{z}\widehat{z}\) i \(\textbf{b}=b_{x}\widehat{x}+b_{y}\widehat{y}+b_{z}\widehat{z}\) jest wektor \(\textbf{c}\) dany wzorem

\[\textbf{c}=c_{x}\widehat{x}+c_{y}\widehat{y}+c_{z}\widehat{z}=(a_{x}+b_{x})\widehat{x}+(a_{y}+b_{y})\widehat{y}+(a_{z}+b_{z})\widehat{z}\] Graficzne przedstawienie sumy dwóch wektorów znajduje się na rysunku Rys. 2.

Dla sumy wektorów zachodzą następujące wzory:

  • \(\textbf{a}+\textbf{b}=\textbf{b}+\textbf{a}\)
  • \(|\textbf{a}|+|\textbf{b}| \geq |\textbf{a}+\textbf{b}| \)


Różnicą wektorów \(\textbf{a}=a_{x}\widehat{x}+a_{y}\widehat{y}+a_{z}\widehat{z}\) i \(\textbf{b}=b_{x}\widehat{x}+b_{y}\widehat{y}+b_{z}\widehat{z}\) jest wektor \(\textbf{d}\) dany wzorem

\[\textbf{d}=d_{x}\widehat{x}+d_{y}\widehat{y}+d_{z}\widehat{z}=(a_{x}-b_{x})\widehat{x}+(a_{y}-b_{y})\widehat{y}+(a_{z}-b_{z})\widehat{z}\] Graficzne przedstawienie róznicy dwóch wektorów znajduje się na rysunku Rys. 2.

Własności różnicy wektorów:

  • \(\textbf{a}-\textbf{a} = 0\) wektor zerowy.
Rys. 2 Suma i różnica wektorów

Mnożenie wektora przez liczbę

Polega na pomnożeniu każdej składowej wektora przez tę liczbę. I tak iloczyn wektora \(\textbf{a}=a_{x}\widehat{x}+a_{y}\widehat{y}+a_{z}\widehat{z}\) przez liczbę \(\alpha\) wynosi

\[\alpha \textbf{a} = \alpha (a_{x}\widehat{x}+a_{y}\widehat{y}+a_{z}\widehat{z}) = \alpha a_{x}\widehat{x}+ \alpha a_{y}\widehat{y}+ \alpha a_{z}\widehat{z}\]

Wektor \(\alpha \textbf{a}\) posiada:

  • ten sam kierunek i zwrot co wektor \(\textbf{a}\) dla \(\alpha \gt 0\),
  • ten sam kierunek i przeciwny zwrot co wektor \(\textbf{a}\) dla \(\alpha \lt 0\),
  • jest wektorem zerowym gdy \(\alpha = 0.\)

Iloczyn skalarny i wektorowy wektorów

Iloczyn skalarny wektorów

Iloczynem skalarnym \(\textbf{a} \cdot \textbf{b}\) wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) nazywamy liczbę rzeczywistą, która definiujemy następująco

\[\mathbf a \cdot \mathbf b=|\textbf{a}||\textbf{b}|cos(\varphi)\]

gdzie \(\varphi\) jest kątem między wektorami \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\), który mierzymy od wektora \(\textbf{a}\) do wektora \(\textbf{b}\). To była definicja iloczynu skalarnego w postaci geometrycznej. W postaci algebraicznej iloczyn skalarny wktorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) jest definiowany jako suma iloczynów składowych każdego z wektoróq:

\[\mathbf a \cdot \mathbf b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\].

Iloczyn wektorowy wektorów

Iloczynem wektorowym \(\textbf{a} \times \textbf{b}\) wektora \(\textbf{a}\) przez wektor \(\textbf{b}\) nazywamy wektor \(\textbf{c}\), którego długość wynosi:

\[|\textbf{c}|=|\textbf{a}||\textbf{b}|sin(\varphi)\]

gdzie kąt \(\varphi\) jest mierzony od wektora \(\textbf{a}\) do wektora \(\textbf{b}\) w taki sposób, że jest \(\leq \pi\). Wektor \(\textbf{c}\) jest tak zorientowany, że wektory \(\textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c}\) tworzą układ prawoskrętny.

To była geometryczna definicja iloczynu wektorowego,a w postaci algebraicznej lloczyn wektorowy wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) definiujemy jako:

\[\textbf{a} \times \textbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y)\widehat{x} + (a_z b_x - a_x b_z)\widehat{y} + (a_x b_y - a_y b_x)\widehat{z}\].

Graficzna prezentacja iloczynu wektorowego znajduje się na rysunku Rys. 3.

Rys. 3 Iloczyn wektorowy wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) w karteziańskim układzie współrzednych

Niektóre pożyteczne własności iloczynów wektorów

  • \(\textbf{ab}=\textbf{ba}\) prawo przemienności dla iloczynu skalarnego,
  • \(\alpha (\textbf{ab})=(\alpha \textbf{a})\textbf{b}\),
  • \(\alpha (\textbf{a} \times \textbf{b}) = (\alpha \textbf{a}) \times \textbf{b}\),
  • \(\textbf{a}(\textbf{b}+\textbf{c}) = \textbf{ab} + \textbf{ac}\),
  • \( \textbf{a} \times (\textbf{b} + \textbf{c}) = \textbf{a} \times \textbf{b} + \textbf{a} \times \textbf{c}\),
  • \(\textbf{ab} = 0\) jeżeli \(\textbf{a} \bot \textbf{b}\) warunek prostopadłości wektorów,
  • \(\textbf{a} \times \textbf{b} = \textbf{0}\) warunek kolinearności wektorów (wektory o tym samym kierunku, równoległe, mogące także leżeć na tej samej prostej),
  • \( \textbf{aa} = \textbf{a}^{2} = |\textbf{a}|^{2} \) ale \( \textbf{a} \times \textbf{a} = \textbf{0}\).

Przykład

Rys. 4 Suma i róznica wektorów \(\textbf{a}=3\widehat{x}+4\widehat{y}\) i \(\textbf{b}=2\widehat{x}-\widehat{y}\)
Rys. 5 Iloczyn wektorowy wektora \(\textbf{a}=3\widehat{x}+4\widehat{y}\) i \(\textbf{b}=2\widehat{x}-\widehat{y}\)

Mamy dane dwa wektory

\(\textbf{a}=3\widehat{x}+4\widehat{y}\)

\(\textbf{b}=2\widehat{x}-\widehat{y}\)

Można zauważyć, że składowa w kierunku osi \(\textbf{Z}\) jest równa zero.

  • Długości wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\)

\(|\mathbf a| = \sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{25}=5\)

\(|\mathbf b| = \sqrt{2^2 + (-1)^2}=\sqrt{5}\)

  • Suma tych wektorów wynosi (patrz Rys. 4)

\(\textbf{a}+\textbf{b}=(3+2)\widehat{x}+(4+(-1))\widehat{y}=5\widehat{x}+3\widehat{y}\)

  • Różnica wynosi (patrz Rys. 4)

\(\textbf{a}-\textbf{b}=(3-2)\widehat{x}+(4-(-1))\widehat{y}=\widehat{x}+5\widehat{y}\)

  • Iloczyn skalarny

\(\mathbf a \cdot \mathbf b = 3\cdot 2 + 4 \cdot (-1)=2\)

  • Iloczyn wektorowy (patrz Rys. 5)

\(\textbf{a} \times \textbf{b} = (4 \cdot 0 - 0 \cdot (-1))\widehat{x} + (0 \cdot 2 - 3 \cdot 0)\widehat{y} + (3 \cdot (-1) - 4 \cdot 2)\widehat{z}=-11\widehat{z}\)

Zadania

  1. Czy wektory \(\overline{AB}\) i \(\overline{CD}\) gdzie \( A =(2,-1), B=(2,1), C=(3,-2), D=(-3,-2)\) są przeciwne?
  2. Czy wektory \(\overline{AB}\) i \(\overline{CD}\) gdzie \( A =(2,-1), B=(-2,-2), C=(1,-1), D=(1,2)\) są równe?
  3. Oblicz długości boków trójkąta o wierzchołkach \(A=(1,-1,2), B=(3,3,8), C=(2,0,1)\).
  4. Jeżeli \(A = (2, -1), B = (-1, 3), C = (0, 1)\), wyraź następujące wektory w układzie opartym na wektorach jednostkowych \(\widehat{x},\widehat{y}\):
    1. \(\overline{AB}\),
    2. \(\overline{BC}\),
    3. \(\overline{AC}\),
    4. \(\overline{AB}+\overline{BC}\),
    5. \(2\overline{AC}-3\overline{BC}\),
  5. Jeżeli \(\textbf{a} = 2\widehat{x} + \widehat{y} -2\widehat{z}\) i \(\textbf{b} = 3\widehat{x} - 2\widehat{y} - \widehat{z} \) znajdź:
    1. \(\textbf{a} + \textbf{b}\),
    2. \(\textbf{a} - \textbf{b}\),
    3. \(3\textbf{a} - 2\textbf{b}\),
    4. \(|\textbf{a}|\),
    5. \(|\textbf{b}|\).
  6. Pokaż, że:
    1. \(\widehat{x} \times \widehat{x} = \textbf{0} \),
    2. \(\widehat{x} \times \widehat{y} = \widehat{z} \),
    3. \(\widehat{y} \times \widehat{x} = -\widehat{z} \),
Źródło „http://172.16.3.1/ekonofizyka/index.php/Wektory,_dzia%C5%82ania_na_wektorach”