|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| - | [[Category:KURS MATEMATYKI]]
| + | '''W przygotowaniu''' |
| - | Będziemy teraz rozważać wektory, przy czym ograniczymy się do wektorów w przestrzeni dwu- i trzywymiarowej, w której wprowadzimy współrzędne kartezjańskie prostokątne. Wektory możemy definiować w sposób geometryczny (wektor ma punkt przyłożenia, kierunek, zwrot i długość) lub w sposób algebraiczny (wektor ma współrzędne, czyli składowe). Istnieje nieskończenie wiele wektorów określonych przez współrzędne (składowe), które odpowiadają temu samemu wektorowi o określonym kierunku, wartości i zwrocie. Przez podanie punktu przyłożenia z rodziny wektorów o tych samych współrzędnych (składowych) wybieramy jeden. Dla przykładu w zastosowaniach fizycznych wektor siły posiada punkt przyłożenia w punkcie działania siły.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Wielkości wektorowe i skalarne ==
| + | |
| - | Wielkości, których wartości mogą być tylko jedną liczbą nazywamy wielkościami skalarnymi (np. masa, temperatura, energia, praca). Wielkości, do których określenia wymagane jest podanie nie tylko ich wartości, ale także kierunku, zwrotu i punktu przyłożenia w przestrzeni nazywamy wielkościami wektorowymi (np. siła, prędkość, przyspieszenie) i przedstawiamy je za pomocą wektorów.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Współrzędne kartezjańskie prostokątne ==
| + | |
| - | Każdy wektor <math>\textbf{a}</math> w karteziańskiej przestrzeni trójwymiarowej może być jednoznacznie rozłożony na sumę wektorów równoległych do wersorów <math>\widehat{x}, \widehat{y}, \widehat{z }</math>, które są wektorami o długości jednostkowej wzdłuż kolejnych osi układu współrzędnych:
| + | |
| - |
| + | |
| - | <math>\textbf{a}=a_{x}\widehat{x}+a_{y}\widehat{y}+a_{z}\widehat{z}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | skalary <math>a_{x},a_{y},a_{z}</math> są współrzędnymi wektora w układzie kartezjańskim ([[Media:w1.png|Rys. 1]]).
| + | |
| - | | + | |
| - | Współrzędne te są miarami rzutów wektora na osie współrzędnych <math>Ox, Oy, Oz</math>, przy czym przesunięcie równoległe wektora nie zmienia wartości jego współrzędnych.
| + | |
| - | [[File:w1.png|thumb|250px|Rys. 1 Wektor w karteziańskim układzie współrzędnych]]
| + | |
| - | | + | |
| - | Dla współrzędnych sumy lub różnicy wektorów <math>\textbf{c}=\textbf{a} \pm \textbf{b}</math> zachodzi prosty związek:
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>c_{x} = a_{x} \pm b_{x}</math>
| + | |
| - | :<math>c_{y} = a_{y} \pm b_{y}</math>
| + | |
| - | :<math>c_{z} = a_{z} \pm b_{z}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | Długość wektora <math>\mathbf a</math> (oznaczamy ją jako <math>|\textbf{a}|</math> (której nie powinno się mieszać z wartością bezwzględną)) składowych <math>a_x, a_y, a_z</math> może być obliczona z następującego wzoru
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>|\mathbf a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}.</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Jak widać jest ona równa pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu skalarnego wektora przez siebie
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a \cdot \mathbf a}.</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | == Suma i różnica wektorów ==
| + | |
| - | Sumą wektorów <math>\textbf{a}=a_{x}\widehat{x}+a_{y}\widehat{y}+a_{z}\widehat{z}</math> i <math>\textbf{b}=b_{x}\widehat{x}+b_{y}\widehat{y}+b_{z}\widehat{z}</math> jest wektor <math>\textbf{c}</math> dany wzorem
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\textbf{c}=c_{x}\widehat{x}+c_{y}\widehat{y}+c_{z}\widehat{z}=(a_{x}+b_{x})\widehat{x}+(a_{y}+b_{y})\widehat{y}+(a_{z}+b_{z})\widehat{z}</math>
| + | |
| - | Graficzne przedstawienie sumy dwóch wektorów znajduje się na rysunku [[Media:w2.png|Rys. 2]].
| + | |
| - | | + | |
| - | Dla sumy wektorów zachodzą następujące wzory:
| + | |
| - | * <math>\textbf{a}+\textbf{b}=\textbf{b}+\textbf{a}</math>
| + | |
| - | * <math>|\textbf{a}|+|\textbf{b}| \geq |\textbf{a}+\textbf{b}| </math>
| + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | Różnicą wektorów <math>\textbf{a}=a_{x}\widehat{x}+a_{y}\widehat{y}+a_{z}\widehat{z}</math> i <math>\textbf{b}=b_{x}\widehat{x}+b_{y}\widehat{y}+b_{z}\widehat{z}</math> jest wektor <math>\textbf{d}</math> dany wzorem
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\textbf{d}=d_{x}\widehat{x}+d_{y}\widehat{y}+d_{z}\widehat{z}=(a_{x}-b_{x})\widehat{x}+(a_{y}-b_{y})\widehat{y}+(a_{z}-b_{z})\widehat{z}</math>
| + | |
| - | Graficzne przedstawienie róznicy dwóch wektorów znajduje się na rysunku [[Media:w2.png|Rys. 2]].
| + | |
| - | | + | |
| - | Własności różnicy wektorów:
| + | |
| - | * <math>\textbf{a}-\textbf{a} = 0</math> wektor zerowy.
| + | |
| - | | + | |
| - | [[File:w2.png|thumb|250px|Rys. 2 Suma i różnica wektorów]]
| + | |
| - | | + | |
| - | == Mnożenie wektora przez liczbę ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Polega na pomnożeniu każdej składowej wektora przez tę liczbę. I tak iloczyn wektora <math>\textbf{a}=a_{x}\widehat{x}+a_{y}\widehat{y}+a_{z}\widehat{z}</math> przez liczbę <math>\alpha</math> wynosi
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\alpha \textbf{a} = \alpha (a_{x}\widehat{x}+a_{y}\widehat{y}+a_{z}\widehat{z}) = \alpha a_{x}\widehat{x}+ \alpha a_{y}\widehat{y}+ \alpha a_{z}\widehat{z}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Wektor <math>\alpha \textbf{a}</math> posiada:
| + | |
| - | | + | |
| - | * ten sam kierunek i zwrot co wektor <math>\textbf{a}</math> dla <math>\alpha \gt 0</math>,
| + | |
| - | * ten sam kierunek i przeciwny zwrot co wektor <math>\textbf{a}</math> dla <math>\alpha \lt 0</math>,
| + | |
| - | * jest wektorem zerowym gdy <math>\alpha = 0.</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | == Iloczyn skalarny i wektorowy wektorów ==
| + | |
| - | === Iloczyn skalarny wektorów ===
| + | |
| - | Iloczynem skalarnym <math>\textbf{a} \cdot \textbf{b}</math> wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> nazywamy liczbę rzeczywistą, która definiujemy następująco
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\mathbf a \cdot \mathbf b=|\textbf{a}||\textbf{b}|cos(\varphi)</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | gdzie <math>\varphi</math> jest kątem między wektorami <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math>, który mierzymy od wektora <math>\textbf{a}</math> do wektora <math>\textbf{b}</math>. To była definicja iloczynu skalarnego w postaci geometrycznej. W postaci algebraicznej iloczyn skalarny wktorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> jest definiowany jako suma iloczynów składowych każdego z wektoróq:
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\mathbf a \cdot \mathbf b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Iloczyn wektorowy wektorów ===
| + | |
| - | Iloczynem wektorowym <math>\textbf{a} \times \textbf{b}</math> wektora <math>\textbf{a}</math> przez wektor <math>\textbf{b}</math> nazywamy wektor <math>\textbf{c}</math>, którego długość wynosi:
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>|\textbf{c}|=|\textbf{a}||\textbf{b}|sin(\varphi)</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | gdzie kąt <math>\varphi</math> jest mierzony od wektora <math>\textbf{a}</math> do wektora <math>\textbf{b}</math> w taki sposób, że jest <math>\leq \pi</math>. Wektor <math>\textbf{c}</math> jest tak zorientowany, że wektory <math>\textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c}</math> tworzą układ prawoskrętny.
| + | |
| - | | + | |
| - | To była geometryczna definicja iloczynu wektorowego,a w postaci algebraicznej lloczyn wektorowy wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> definiujemy jako:
| + | |
| - | | + | |
| - | :<math>\textbf{a} \times \textbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y)\widehat{x} + (a_z b_x - a_x b_z)\widehat{y} + (a_x b_y - a_y b_x)\widehat{z}</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Graficzna prezentacja iloczynu wektorowego znajduje się na rysunku [[Media:wiw.png|Rys. 3]].
| + | |
| - | [[File:wiw.png|thumb|250px|Rys. 3 Iloczyn wektorowy wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> w karteziańskim układzie współrzednych]]
| + | |
| - | | + | |
| - | == Niektóre pożyteczne własności iloczynów wektorów ==
| + | |
| - | * <math>\textbf{ab}=\textbf{ba}</math> prawo przemienności dla iloczynu skalarnego,
| + | |
| - | * <math>\alpha (\textbf{ab})=(\alpha \textbf{a})\textbf{b}</math>,
| + | |
| - | * <math>\alpha (\textbf{a} \times \textbf{b}) = (\alpha \textbf{a}) \times \textbf{b}</math>,
| + | |
| - | * <math>\textbf{a}(\textbf{b}+\textbf{c}) = \textbf{ab} + \textbf{ac}</math>,
| + | |
| - | * <math> \textbf{a} \times (\textbf{b} + \textbf{c}) = \textbf{a} \times \textbf{b} + \textbf{a} \times \textbf{c}</math>,
| + | |
| - | * <math>\textbf{ab} = 0</math> jeżeli <math>\textbf{a} \bot \textbf{b}</math> warunek prostopadłości wektorów,
| + | |
| - | * <math>\textbf{a} \times \textbf{b} = \textbf{0}</math> warunek kolinearności wektorów (wektory o tym samym kierunku, równoległe, mogące także leżeć na tej samej prostej),
| + | |
| - | * <math> \textbf{aa} = \textbf{a}^{2} = |\textbf{a}|^{2} </math> ale <math> \textbf{a} \times \textbf{a} = \textbf{0}</math>.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Przykład ==
| + | |
| - | [[File:wprz1.png|thumb|250px|Rys. 4 Suma i róznica wektorów <math>\textbf{a}=3\widehat{x}+4\widehat{y}</math> i <math>\textbf{b}=2\widehat{x}-\widehat{y}</math>
| + | |
| - | ]]
| + | |
| - | [[File:wprz2.png|thumb|250px|Rys. 5 Iloczyn wektorowy wektora <math>\textbf{a}=3\widehat{x}+4\widehat{y}</math> i <math>\textbf{b}=2\widehat{x}-\widehat{y}</math>
| + | |
| - | ]]
| + | |
| - | Mamy dane dwa wektory
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>\textbf{a}=3\widehat{x}+4\widehat{y}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>\textbf{b}=2\widehat{x}-\widehat{y}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | Można zauważyć, że składowa w kierunku osi <math>\textbf{Z}</math> jest równa zero.
| + | |
| - | | + | |
| - | * Długości wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>|\mathbf a| = \sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{25}=5</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | <math>|\mathbf b| = \sqrt{2^2 + (-1)^2}=\sqrt{5}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | * Suma tych wektorów wynosi (patrz [[Media:wprz1.png|Rys. 4]])
| + | |
| - | <math>\textbf{a}+\textbf{b}=(3+2)\widehat{x}+(4+(-1))\widehat{y}=5\widehat{x}+3\widehat{y}</math>
| + | |
| - | * Różnica wynosi (patrz [[Media:wprz1.png|Rys. 4]])
| + | |
| - | <math>\textbf{a}-\textbf{b}=(3-2)\widehat{x}+(4-(-1))\widehat{y}=\widehat{x}+5\widehat{y}</math>
| + | |
| - | *Iloczyn skalarny
| + | |
| - | <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = 3\cdot 2 + 4 \cdot (-1)=2</math>
| + | |
| - | *Iloczyn wektorowy (patrz [[Media:wprz2.png|Rys. 5]])
| + | |
| - | <math>\textbf{a} \times \textbf{b} = (4 \cdot 0 - 0 \cdot (-1))\widehat{x} + (0 \cdot 2 - 3 \cdot 0)\widehat{y} + (3 \cdot (-1) - 4 \cdot 2)\widehat{z}=-11\widehat{z}</math>
| + | |
| - | | + | |
| - | == Zadania ==
| + | |
| - | # Czy wektory <math>\overline{AB}</math> i <math>\overline{CD}</math> gdzie <math> A =(2,-1), B=(2,1), C=(3,-2), D=(-3,-2)</math> są przeciwne?
| + | |
| - | # Czy wektory <math>\overline{AB}</math> i <math>\overline{CD}</math> gdzie <math> A =(2,-1), B=(-2,-2), C=(1,-1), D=(1,2)</math> są równe?
| + | |
| - | # Oblicz długości boków trójkąta o wierzchołkach <math>A=(1,-1,2), B=(3,3,8), C=(2,0,1)</math>.
| + | |
| - | # Jeżeli <math>A = (2, -1), B = (-1, 3), C = (0, 1)</math>, wyraź następujące wektory w układzie opartym na wektorach jednostkowych <math>\widehat{x},\widehat{y}</math>:
| + | |
| - | ## <math>\overline{AB}</math>,
| + | |
| - | ## <math>\overline{BC}</math>,
| + | |
| - | ## <math>\overline{AC}</math>,
| + | |
| - | ## <math>\overline{AB}+\overline{BC}</math>,
| + | |
| - | ## <math>2\overline{AC}-3\overline{BC}</math>,
| + | |
| - | # Jeżeli <math>\textbf{a} = 2\widehat{x} + \widehat{y} -2\widehat{z}</math> i <math>\textbf{b} = 3\widehat{x} - 2\widehat{y} - \widehat{z} </math> znajdź:
| + | |
| - | ## <math>\textbf{a} + \textbf{b}</math>,
| + | |
| - | ## <math>\textbf{a} - \textbf{b}</math>,
| + | |
| - | ## <math>3\textbf{a} - 2\textbf{b}</math>,
| + | |
| - | ## <math>|\textbf{a}|</math>,
| + | |
| - | ## <math>|\textbf{b}|</math>.
| + | |
| - | # Pokaż, że:
| + | |
| - | ## <math>\widehat{x} \times \widehat{x} = \textbf{0} </math>,
| + | |
| - | ## <math>\widehat{x} \times \widehat{y} = \widehat{z} </math>,
| + | |
| - | ## <math>\widehat{y} \times \widehat{x} = -\widehat{z} </math>,
| + | |