Wektory, działania na wektorach

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(→Współrzędne kartezjańskie prostokątne)
(→Przykłady)
 
(Nie pokazano 7 wersji pomiędzy niniejszymi.)
Linia 1: Linia 1:
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
-
== Wielkości wektorowe i skalarne ==
+
== Wektor ==
-
Wielkości, których wartości mogą być wyrażone liczbami dodatnimi, ujemnymi oraz zerem (skalarami) nazywamy wielkościami skalarnymi (np. masa, temperatura, energia, praca). Wielkości, które określa się poprzez podanie ich wymiaru i kierunku w przestrzeni nazywamy wielkościami wektorowymi (np. siła, prędkość, przyspieszenie) i przedstawiamy je za pomocą wektorów.
+
Wektor można określać na wiele sposobów. Jednym z nich, bardzo przydatnym w fizyce, jest geometryczne określenie wektora. Wyobraźmy sobie linię prostą na której wybrano dwa punkty <math>A</math> i <math>B</math>. Wektorem będziemy nazywać odcinek skierowany <math>AB</math>, którego początkiem jest punkt <math>A</math>, a końcem punkt <math>B</math> ([[Media:wek_def.png|Rys. 1]]). Taki wektor nazywamy wektorem zaczepionym w punkcie <math>A</math> i oznaczamy jako <math>\vec{AB}</math>.
 +
[[File:wek_def.png|thumb|300px|Rys. 1 Wektor interpretacja graficzna]]
-
== Wektory ==
+
Zbiór wszystkich prostych równoległych do danej prostej tworzy tzw. kierunek, pojęcie to można zdefiniować również w dowolnym punkcie <math>A</math>, wówczas kierunkiem nazywamy prostą należącą do tego zbioru i przechodzącą przez punkt <math>A</math>.
-
Wektor jest to odcinek mający określona długość i określony kierunek. Wektor mający początek w punkcie <math>A</math> i koniec w punkcie <math>B</math> oznacza się przez <math> \overline{AB}</math>, Wektory oznacza się także mała półgruba <math>\textbf{a}</math> lub małą literą z kreską na górze <math>\bar{a}</math>. Długość wektora <math>\overline{AB}</math>, <math>\textbf{a}</math> lub <math>\bar{a}</math> oznacza się odpowiednio  <math>AB</math>, <math>|\textbf{a}|</math> lub <math>a</math>.
+
-
Wektor zerowy <math>\textbf{0}</math> jest to wektor, którego koniec pokrywa się z początkiem, jego długość jest równa zero, a kierunek jest nieoznaczony.
+
Zbiór wszystkich wektorów zaczepionych, które można uzyskać poprzez przesunięcie równoległe danego wektora tworzy pewien obiekt, który nazywamy wektorem swobodnym. Każdy z wektorów tego zbioru nazywamy reprezentantem wektora swobodnego.
 +
Wektor definiuje pewien kierunek oraz zwrot. Kierunkiem wektora jest zbiór prostych równoległych do wektora, a jego zwrotem nazywamy uporządkowaną parę <math>(A,B)</math> punktów dowolnego reprezentanta. Zauważmy, że dany wektor może mieć dwa zwroty <math>(A,B)</math> i zwrot przeciwny <math>(B,A)</math>.
 +
Dla wektora swobodnego pojęcie zaczepienia traci sens, gdyż w zbiorze jego reprezentantów są wektory  zaczepione we wszystkich punktach przestrzeni.  
-
Dwa wektory <math>\textbf{a}</math> <math>\textbf{b}</math> uważa się za równe jeżeli linie działania tych wektorów są równoległe, a wektory są jednakowo zorientowane i mają jednakowe długości.
+
O wektorze, którego początek obrazu geometrycznego może być dowolnie obrany w przestrzeni mówimy, że jest swobodny. Wektory takie można przesuwać równolegle bez zmiany ich znaczenia ([[Media:prze1.png|Rys. 2]]). Natomiast wektor, którego obraz geometryczny  ma początek w ścisłe określonym punkcie nazywamy wektorem zaczepionym lub związanym ([[Media:wek_ukl1.png|Rys. 3]]).
 +
[[File:prze1.png|thumb|300px|Rys. 2 Przesunięcie równoległe wektora]]
 +
[[File:wek_ukl1.png|thumb|300px|Rys. 3 Wektor związany o początku w punkcie <math>O</math>]]
-
Wektory ''kolinearne'' są to wektory, których linie działania są równoległe do jednej i tej samej prostej (orientacje wektorów maja zgodne lub niezgodne). Wektory ''komplanarne'' to takie, których linie działania są równolegle do jednej i tej samej płaszczyzny. Wektory ''przeciwne'' są to wektory mające jednakowe długości, a kierunki przeciwne:
+
=== Długość wektora ===
 +
Długością wektora <math>\mathbf a</math> nazywamy długość odcinka jego dowolnego reprezentanta, którą  oznaczamy jako <math>|\textbf{a}|,</math> przy czym oznaczenia tego nie należy mylić z wartością bezwzględną. Jest ona zawsze liczbą nieujemną. Wektor, którego długość wynosi jeden nazywamy wektorem jednostkowym.
-
<math>\overline{AB}=\textbf{a}  \text{     } \overline{BA}=-\textbf{a}</math>.
+
=== Suma i różnica wektorów ===
 +
Opierając się na [[Media:wek_sr.png|Rys. 4]] możemy powiedzieć, że sumą wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> nazywamy wektor <math>\textbf{c}</math>, który przedstawia przesunięcie wypadkowe przy złożeniu (kolejnym wykonaniu) przesunięć o wektory <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math>
 +
<!--
 +
który uzyskujemy jako przesunięcie wypadkowe wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math>
 +
-->
 +
:<math>\textbf{c}=\textbf{a}+\textbf{b}</math>
-
Wektorem ''jednostkowym'', nazywamy wektor o długości <math>1</math>. Wektor ''jednostkowy'', którego kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora <math>\textbf{a}</math>, oznaczamy <math>\widehat{a}</math> i nazywamy ''wersorem'' tego kierunku. Wektor <math>\textbf{a}</math> można przedstawić w postaci <math>\textbf{a}=a\widehat{a}</math>
+
Dla sumy wektorów spełnione jest prawo przemienności, co także widać na [[Media:wek_sr.png|Rys. 4]]
-
Wersory mające kierunki osi prostokątnych (układ współrzędnych kartezjańskich) <math> Ox, Oy, Oz</math> i zgodnie z nimi zorientowane oznacza się symbolami <math>\widehat{i}, \widehat{j}, \widehat{k}</math>
+
:<math>\textbf{a}+\textbf{b}=\textbf{b}+\textbf{a}</math>
 +
[[File:wek_sr.png|thumb|300px|Rys. 4 Suma i różnica wektorów]]
-
== Wektor wodzący punktu ==
+
Aby mówić o różnicy wektorów należy najpierw określić wektor przeciwny. Przez wektor przeciwny do wektora <math>\textbf{a}</math> rozumiemy wektor, który ma tę samą długość co wektor <math>\textbf{a}</math>, a zwrot przeciwny. Oznaczamy go symbolem <math>\textbf{-a}</math>. Odejmowanie wektora <math>\textbf{b}</math> od <math>\textbf{a}</math> rozumiemy jako dodanie wektora przeciwnego <math>\textbf{-b}</math> do wektora <math>\textbf{a}</math> (patrz  [[Media:wek_sr.png|Rys. 4]]).
-
Położenie punktu M można wyznaczyć za pomocą wektora <math>\overline{OM}</math>, którego początkiem jest początek układu współrzędnych <math>O</math>, a końcem punkt <math>M</math>, wektor ten nazywamy wektorem wodzącym punktu <math>M</math> i oznaczamy symbolem <math>\textbf{r}</math>.
+
-
[[File:w1.png|thumb|250px|Rys. 1 Wektor wodzący punktu]]
+
-
== Kombinacje liniowe wektorów ==
+
=== Mnożenie wektora przez liczbę ===
-
Sumą kilku wektorów <math>\textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c}, \ldots, \textbf{e}</math> nazywamy wektor <math>\textbf{f}=\overline{AF}</math> zamykający linie łamaną <math>ABC \ldots EF</math>.  
+
Jeżeli <math>\alpha</math> jest liczbą dodatnią, a <math>\textbf{a}</math> jest wektorem to przez <math>\alpha \textbf{a}</math> rozumiemy wektor, który ma ten sam kierunek i zwrot co wektor <math>\textbf{a}</math>, a jego długość wynosi  <math>\alpha |\textbf{a}|</math>.
-
Sumą dwóch wektorów <math>\overline{AB}=\textbf{a}</math> i <math>\overline{AD}=\textbf{b}</math> jest wektor <math>\overline{AC}=\textbf{c}</math> stanowiący przekątna równoległoboku <math>ABCD</math> wychodząca z punktu <math>A</math>.  
+
Jeżeli <math>\alpha</math> jest liczbą ujemną, a <math>\textbf{a}</math> jest wektorem to przez <math>\alpha \textbf{a}</math> rozumiemy wektor, który ma ten sam kierunek lecz zwrot przeciwny do wektora <math>\textbf{a}</math>, a jego długość wynosi  <math>\alpha |\textbf{a}|</math>.
-
Dla sumy wektorów zachodzą następujące wzory:
+
Ponadto  wektor <math>\alpha \textbf{a}</math> jest wektorem zerowym gdy <math>\alpha = 0</math>. Przez wektor zerowy rozumiemy wektor, którego początek i koniec pokrywają się.
-
* <math>\textbf{a}+\textbf{b}=\textbf{b}+\textbf{a}</math>
+
-
* <math>|\textbf{a}|+|\textbf{b}| \geq |\textbf{a}+\textbf{b}| \geq ||\textbf{a}|-|\textbf{b}||</math>
+
-
Rożnicą <math>\textbf{a}-\textbf{b}</math> wektorów nazywamy sumę wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>-\textbf{b}</math>. Jest to przekątna <math>DB</math> na [[Media:w2.png|Rys. 2]].
+
=== Liniowa zależność wektorów ===
-
[[File:w2.png|thumb|250px|Rys. 2 Dodawanie i odejmowanie wektorów]]
+
Dwa wektory, z których jeden powstaje z drugiego przez pomnożenie przez jakąś liczbę nazywamy liniowo zależnymi. Ponadto z reguły mnożenia wektora przez liczbę wynika, że dwa niezerowe liniowo zależne wektory są równoległe. I odwrotnie, każde dwa niezerowe wektory równoległe są liniowo zależne.  
-
Własności różnicy wektorów:
+
-
* <math>\textbf{a}-\textbf{a} = 0</math> wektor zerowy,
+
-
* <math>|\textbf{a}|+|\textbf{b}| \geq |\textbf{a}-\textbf{b}| \geq ||\textbf{a}|-|\textbf{b}||</math>
+
-
Iloczynem wektora <math>\textbf{a}</math> przez skalar <math>\alpha</math> nazywamy wektor  <math>\textbf{b}</math> kolinearny z wektorem <math>\textbf{a}</math> i mający długość <math>|\textbf{b}|=|\textbf{a}||\alpha|</math> oraz reintegracje zgodna z wektorem <math>\textbf{a}</math> gdy <math>\alpha>0</math>, a niezgodną gdy  <math>\alpha<0</math>. Własności takiego iloczynu:
+
Powyższe określenie liniowej zależności dwóch wektorów można uogólnić na więcej niż dwa wektory. Powiemy, że między <math>n</math> wektorami <math>\textbf{a}_1,\textbf{a}_2\ldots\textbf{a}_n</math> istnieje zależność liniowa jeżeli istnieje <math>n</math> takich liczb <math>\alpha_1,\alpha_2\ldots\alpha_n</math> z których nie wszystkie są równe zeru, a dla których zachodzi zależność:
-
* <math>\textbf{a}\alpha=\alpha\textbf{a}</math>,
+
:<math>\alpha_1\,\textbf{a}_1+\alpha_2\,\textbf{a}_2+\ldots+\alpha_n\,\textbf{a}_n=\textbf{0}</math>
-
* <math> \alpha(\beta\textbf{a})=\alpha\beta\textbf{a}</math>,
+
Wektory dla których nie zachodzi powyższa zależność nazywamy wektorami liniowo niezależnymi.
-
* <math> (\alpha + \beta)\textbf{a}=\alpha\textbf{a}+\beta\textbf{a}</math>,
+
-
* <math> \alpha(\textbf{a}+\textbf{b})=\alpha\textbf{a}+\alpha\textbf{b}</math>
+
-
Kombinacją liniową wektorów <math>\textbf{a},\textbf{b},\ldots,\textbf{d}</math> o odpowiednich współczynnikach skalarnych <math>\alpha, \beta, \ldots, \delta</math> jest wektor:
+
=== Iloczyn skalarny wektorów ===
 +
Iloczynem skalarnym niezerowych wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> nazywamy liczbę, którą jest iloczyn długości tych wektorów przez cosinus kąta <math>\varphi</math> zawartego między nimi. Iloczyn skalarny oznaczamy przez <math>\mathbf a \cdot \mathbf b</math>, a więc
 +
:<math>\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\textbf{a}||\textbf{b}|\cos{\varphi}</math>
-
<math>\textbf{m}=\alpha\textbf{a}+\beta\textbf{b}+\ldots+\delta\textbf{d}</math>
+
Gdy choć jeden z tych wektorów jest zerowy ich iloczyn skalarny jest równy zero. Ponadto należy podkreślić, że iloczyn skalarny wektorów jest liczbą, a nie wektorem.
-
Dowolny wektor <math>\textbf{a}</math> można w sposób jednoznaczny przedstawić w postaci sumy:
+
=== Iloczyn wektorowy wektorów ===
 +
Iloczynem wektorowym <math>\textbf{a} \times \textbf{b}</math>  niezerowych i nierównoległych wektorów  <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> nazywamy wektor <math>\textbf{c}</math>, którego długość wynosi:
-
<math>\textbf{a}=\alpha\textbf{u}+\beta\textbf{v}+\gamma\textbf{w}</math>
+
:<math>|\textbf{c}|=|\textbf{a}||\textbf{b}|\sin{\varphi}</math>
-
gdzie <math>\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w}</math> są wektorami niekomplementarnymi, składniki <math>\alpha\textbf{u},\beta\textbf{v},\gamma\textbf{w}</math> nazywamy ''składowymi'' wektora <math>\textbf{a}</math> wzdłuż kierunków  <math>\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w}</math>, a współczynniki <math>\alpha, \beta, \gamma</math> nazywamy ''współrzędnymi'' wektora
+
gdzie kąt <math>\varphi</math> jest mierzony od wektora <math>\textbf{a}</math> do wektora <math>\textbf{b}</math> w taki sposób, że <math>0 \leq \varphi \leq \pi</math>.  Wektor <math>\textbf{c}</math> ma kierunek prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory <math>\mathbf{a}</math> i <math>\mathbf{b}</math> oraz jest tak zorientowany, że wektory <math>\textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c}</math> tworzą układ prawoskrętny.
-
== Współrzędne wektora ==
+
Gdy wektory <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> są równoległe albo choć jeden z nich jest zerowy, to ich iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym.
-
=== Współrzędne kartezjańskie prostokątne ===
+
-
Każdy wektor <math>\textbf{a}</math> w przestrzeni może być jednoznacznie rozłożony na sumę wektorów równoległych do wersorów <math>\widehat{i}, \widehat{j}, \widehat{k}</math>:
+
-
<math>\textbf{a}=a_{x}\widehat{i}+a_{y}\widehat{j}+a_{z}\widehat{k}</math>
+
Pojęcie prawoskrętnego układu jest związane z wzajemnym położeniem trzech osi w kartezjańskim układzie współrzędnych. Otóż osie <math>Ox</math> i <math>Oy</math> tworzą pewną płaszczyznę. Trzecia oś <math>Oz</math> jest prostopadła do płaszczyzny <math>Oxy</math> i może być wybrana na dwa sposoby ([[Media:wek_pl.png|Rys. 5]]). Wybór ten jednoznacznie definiuje typ układu: lewoskrętny ([[Media:wek_lew.png|Rys. 5a]]) lub prawoskrętny ([[Media:wek_pra.png|Rys. 5b]]).
 +
[[File:wek_pl.png|thumb|300px|Rys. 5 Wybór osi '''''Oz''''']]
 +
[[File:wek_lew.png|thumb|300px|Rys. 5a Układ lewoskrętny]]
 +
[[File:wek_pra.png|thumb|300px|Rys. 5b Układ prawoskrętny ]]
-
skalary <math>a_{x},a_{y},a_{z}</math> współrzędnymi wektora w układzie kartezjańskim i oznaczmy
+
=== Niektóre pożyteczne własności iloczynów wektorów ===
 +
* <math>\textbf{a} \cdot \textbf{b}=\textbf{b}\cdot\textbf{a}</math> prawo przemienności dla iloczynu skalarnego,
 +
* <math>\alpha (\textbf{a}\cdot\textbf{b})=(\alpha \textbf{a})\cdot \textbf{b}= \textbf{a}\cdot (\alpha \textbf{b})</math>,
 +
* <math>\alpha (\textbf{a} \times \textbf{b}) = (\alpha \textbf{a}) \times \textbf{b}=\textbf{a}\times (\alpha \textbf{b})</math>,
 +
* <math>\textbf{a}\cdot(\textbf{b}+\textbf{c}) = \textbf{a}\cdot\textbf{b} + \textbf{a}\cdot\textbf{c}</math>,
 +
* <math> \textbf{a} \times (\textbf{b} + \textbf{c}) = \textbf{a} \times \textbf{b} + \textbf{a} \times \textbf{c}</math>,
 +
* <math>\textbf{a}\cdot\textbf{b} = 0</math> jeżeli <math>\textbf{a} \bot \textbf{b}</math> (warunek prostopadłości wektorów),
 +
* <math> \textbf{a}\cdot\textbf{a} = \textbf{a}^{2} = |\textbf{a}|^{2} </math>,
 +
* <math>\textbf{b}\times\textbf{a}=-\textbf{a}\times\textbf{b}</math>
 +
* <math>\textbf{a}\times\textbf{a}=0</math>
-
<math>\textbf{a}(a_{x},a_{y},a_{z})</math>
+
== Wektor w kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych ==
 +
=== Składowe wektora w kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych ===
 +
[[File:wek1.png|thumb|300px|Rys. 6 Wektor w kartezjańskim układzie współrzędnych]]
 +
[[File:wek_prze.png|thumb|300px|Rys. 7 Przesunięcie równoległe wektora]]
 +
W kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych możemy określić trzy wektory nazywane wektorami podstawowymi lub wersorami, które są wektorami jednostkowymi umieszczonymi na dodatnich osiach układu współrzędnych i wychodzą z początku tego układu. Wektory takie będziemy oznaczać  <math>\mathbf{\widehat{x}}, \mathbf{\widehat{y}}, \mathbf{\widehat{z}}</math> ([[Media:wek1.png|Rys. 6]]).
 +
Jeżeli w układzie współrzędnych wybierzemy punkt <math>P</math> o współrzędnych <math>(x,y,z)</math> ([[Media:wek1.png|Rys. 6]]) to wektor <math>\vec{OP}</math> jest równy sumie trzech wektorów <math>\vec{OA},\vec{AB},\vec{BP}</math>, gdzie
 +
:<math> \vec{OA}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}</math>
 +
:<math> \vec{AB}=a_{y}\mathbf{\widehat{y}}</math>
 +
:<math> \vec{BP}=a_{z}\mathbf{\widehat{z}}</math>
-
Współrzędne te są miarami rzutów wektora na osie współrzędnych <math>Ox, Oy, Oz</math>. Przesunięcie równoległe wektora nie zmienia jego współrzędnych.
+
Podobnie, każdy wektor <math>\textbf{a}</math> w kartezjańskiej przestrzeni trójwymiarowej można wyrazić przez wektory podstawowe <math>\mathbf{\widehat{x}}, \mathbf{\widehat{y}}, \mathbf{\widehat{z}}</math> 
 +
 +
:<math>\textbf{a}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}},</math>
-
Współrzędne kombinacji liniowej kilku wektorów są odpowiednio równe kombinacja liniowym współrzędnych tych wektorów:
+
gdzie liczby <math>a_{x},a_{y},a_{z}</math> są współrzędnymi lub składowymi wektora w układzie współrzędnych ([[Media:wek1.png|Rys. 6]]).
-
:<math>
+
Współrzędne te są miarami rzutów wektora na osie współrzędnych <math>Ox, Oy, Oz</math>, przy czym przesunięcie równoległe wektora nie zmienia wartości jego współrzędnych ([[Media:wek_prze.png|Rys. 7]]).
-
k_{x}=\alpha a_{x} + \beta b_{x} + \ldots + \delta d_{x}
+
-
k_{y}=\alpha a_{y} + \beta b_{y} + \ldots + \delta d_{y}
+
-
k_{z}=\alpha a_{z} + \beta b_{z} + \ldots + \delta d_{z}
+
-
</math>
+
-
Dla współrzędnych sumy lub różnicy <math>\textbf{c}=\textbf{a} \pm \textbf{b}</math> zachodzi:
+
Długość wektora <math>\mathbf a</math> o składowych <math>a_x, a_y, a_z</math> może być obliczona z następującego wzoru 
-
:<math>
+
:<math>|\mathbf a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}.</math>
-
c_{x} = a_{x} \pm b_{x} \\
+
-
c_{y} = a_{y} \pm b_{y} \\
+
-
c_{z} = a_{z} \pm b_{z}
+
-
</math>
+
-
== Iloczyn skalarny i wektorowy wektorów ==
+
=== Suma i różnica wektorów ===
-
=== Iloczyn skalarny wektorów ===
+
Sumą wektorów <math>\textbf{a}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}}</math> i <math>\textbf{b}=b_{x}\mathbf{\widehat{x}}+b_{y}\mathbf{\widehat{y}}+b_{z}\mathbf{\widehat{z}}</math> jest wektor <math>\textbf{c}</math> dany wzorem
-
Iloczynem skalarnym <math>\textbf{ab}</math> wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> nazywamy wektor <math>\textbf{c}</math>, którego długość wynosi
+
-
:<math>|\textbf{c}|=|\textbf{a}||\textbf{b}|cos(\varphi)</math>
+
:<math>\textbf{c}=c_{x}\mathbf{\widehat{x}}+c_{y}\mathbf{\widehat{y}}+c_{z}\mathbf{\widehat{z}}=(a_{x}+b_{x})\mathbf{\widehat{x}}+(a_{y}+b_{y})\mathbf{\widehat{y}}+(a_{z}+b_{z})\mathbf{\widehat{z}}</math>
-
gdzie <math>\varphi</math> jest kątem między wektorami <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> sprowadzonymi do wspólnego początku.
+
Różnicą wektorów <math>\textbf{a}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}}</math> i <math>\textbf{b}=b_{x}\mathbf{\widehat{x}}+b_{y}\mathbf{\widehat{y}}+b_{z}\mathbf{\widehat{z}}</math> jest wektor <math>\textbf{d}</math> dany wzorem
-
Iloczyn skalarny może być zdefiniowany również jako suma iloczynów składowych każdego wektora jak następuje:
+
:<math>\textbf{d}=d_{x}\mathbf{\widehat{x}}+d_{y}\mathbf{\widehat{y}}+d_{z}\mathbf{\widehat{z}}=(a_{x}-b_{x})\mathbf{\widehat{x}}+(a_{y}-b_{y})\mathbf{\widehat{y}}+(a_{z}-b_{z})\mathbf{\widehat{z}}</math>
-
:<math>\mathbf a \cdot \mathbf b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z</math>.
+
=== Mnożenie wektora przez liczbę ===
 +
 
 +
Polega na pomnożeniu każdej składowej wektora przez tę liczbę. Iloczyn wektora <math>\textbf{a}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}}</math> przez liczbę <math>\alpha</math> wynosi
 +
 
 +
:<math>\alpha \textbf{a} = \alpha (a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}}) = \alpha a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+ \alpha a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+ \alpha a_{z}\mathbf{\widehat{z}}</math>
 +
 
 +
=== Iloczyn skalarny wektorów ===
 +
W postaci algebraicznej iloczyn skalarny wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> jest  sumą iloczynów składowych każdego z wektorów:
 +
 
 +
:<math>\mathbf a \cdot \mathbf b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z</math>
 +
 
 +
Opierając się na iloczynie skalarnym możemy przedstawić długość wektora jako równą pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu skalarnego wektora przez siebie
 +
 
 +
:<math>|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a \cdot \mathbf a}</math>
=== Iloczyn wektorowy wektorów ===
=== Iloczyn wektorowy wektorów ===
-
Iloczynem wektorowym <math>\textbf{a} \times \textbf{b}</math> wektora <math>\textbf{a}</math> przez wektor <math>\textbf{b}</math> nazywamy wektor <math>\textbf{c}</math>, którego długość wynosi:
+
[[File:wiw.png|thumb|300px|Rys. 8 Iloczyn wektorowy wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> w kartezjańskim układzie współrzędnych]]
 +
W postaci algebraicznej iloczyn wektorowy wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> jest określany jako:  
-
:<math>|\textbf{c}|=|\textbf{a}||\textbf{b}|sin(\varphi)</math>
+
:<math>\textbf{a} \times \textbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y)\mathbf{\widehat{x}} + (a_z b_x - a_x b_z)\mathbf{\widehat{y}} + (a_x b_y - a_y b_x)\mathbf{\widehat{z}}=
 +
\left| \begin{array}{ccc}
 +
\mathbf{\widehat{x}} & \mathbf{\widehat{y}} & \mathbf{\widehat{z}}\\
 +
a_{x} & a_{y} & a_{z} \\
 +
b_{x} & b_{y} & b_{z} \\
 +
\end{array} \right|</math>
-
Wektor <math>\textbf{c}</math> jest tak zorientowany, że wektory <math>\textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c}</math> tworzą układ prawoskrętny.
+
gdzie wyznacznik jest wyliczony przez rozwinięcie względem pierwszego wiersza.
-
Iloczyn wektorowy może być zapisany jako:  
+
Graficzna prezentacja iloczynu wektorowego znajduje się na [[Media:wiw.png|Rys. 8]].
-
:<math>\textbf{a} \times \textbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y)\widehat{i} + (a_z b_x - a_x b_z)\widehat{j} + (a_x b_y - a_y b_x)\widehat{k}</math>.
+
== Przykłady ==
 +
[[File:wprz1.png|thumb|300px|Rys. 9 Suma i róznica wektorów <math>\textbf{a}=3\mathbf{\widehat{x}+4\mathbf{\widehat{y}}}</math> i <math>\textbf{b}=2\mathbf{\widehat{x}-\mathbf{\widehat{y}}}</math>
 +
]]
 +
[[File:wprz2.png|thumb|300px|Rys. 10 Iloczyn wektorowy wektora <math>\textbf{a}=3\mathbf{\widehat{x}+4\mathbf{\widehat{y}}}</math> i <math>\textbf{b}=2\mathbf{\widehat{x}-\mathbf{\widehat{y}}}</math>
 +
]]
 +
Mamy dane dwa wektory
-
=== Własności iloczynów wektorów ===
+
<math>\textbf{a}=3\mathbf{\widehat{x}}+4\mathbf{\widehat{y}}</math>
-
* <math>\textbf{ab}=\textbf{ba}</math> prawo przemienność dla iloczynu skalarnego,
+
-
* <math>\textbf{a} \times \textbf{b} = - \textbf{b} \times \textbf{a}</math> prawo przemienność dla iloczynu wektorowego,
+
-
* <math>\alpha (\textbf{ab})=(\alpha \textbf{a})\textbf{b}</math>,
+
-
* <math>\alpha (\textbf{a} \times \textbf{b}) = (\alpha \textbf{a}) \times \textbf{b}</math>,
+
-
* <math>\textbf{a}(\textbf{b}+\textbf{c}) = \textbf{ab} + \textbf{ac}</math>,
+
-
* <math> \textbf{a} \times (\textbf{b} + \textbf{c}) = \textbf{a} \times \textbf{b} + \textbf{a} \times \textbf{c}</math>,
+
-
* <math>\textbf{ab} = 0</math> jeżeli <math>\textbf{a} \bot \textbf{b}</math> warunek prostopadłości wektorów,
+
-
* <math>\textbf{a} \times \textbf{b} = \textbf{0}</math>, jeżeli <math> \textbf{a} \Vvdash \textbf{b} </math> warunek kolinearności wektorów,
+
-
* <math> \textbf{aa} = \textbf{a}^{2} = |\textbf{a}|^{2} </math> ale <math> \textbf{a} \times \textbf{a} = \textbf{0}</math>.
+
-
== Długość wektora w układzie kartezjańskim==
+
<math>\textbf{b}=2\mathbf{\widehat{x}}-\mathbf{\widehat{y}}</math>
-
''Długość'', ''moduł'' lub ''norma'' wektora <math>\mathbf a</math> oznaczana jest symbolem <math>\|\mathbf a\|</math> lub  <math>|\mathbf a|</math>, której nie powinno się mieszać z wartością bezwzględną („normą” skalarną).
+
-
Długość wektora <math>\mathbf a</math> może być obliczona za pomocą:
+
Można zauważyć, że składowa w kierunku osi <math>\textbf{Z}</math> obu wektorów jest równa zero.
-
:<math>|\mathbf a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}</math>,
+
* Długości wektorów <math>\textbf{a}</math> i <math>\textbf{b}</math> wynoszą
-
co jest konsekwencją twierdzenia Pitagorasa, ponieważ wektory bazowe <math>\widehat{i}, \widehat{j}, \widehat{k}</math> są ortogonalnymi wektorami jednostkowymi.
+
<math>|\mathbf a| = \sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{25}=5</math>
-
Okazuje się, że jest ona równa pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu skalarnego wektora przez siebie
+
<math>|\mathbf b| = \sqrt{2^2 + (-1)^2}=\sqrt{5}</math>
-
:<math>|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a \cdot \mathbf a}</math>.
+
* Suma tych wektorów wynosi (patrz [[Media:wprz1.png|Rys. 9]])
 +
<math>\textbf{a}+\textbf{b}=(3+2)\mathbf{\widehat{x}}+(4+(-1))\mathbf{\widehat{y}}=5\mathbf{\widehat{x}}+3\mathbf{\widehat{y}}</math>
 +
* ich różnica (patrz [[Media:wprz1.png|Rys. 9]])
 +
<math>\textbf{a}-\textbf{b}=(3-2)\mathbf{\widehat{x}}+(4-(-1))\mathbf{\widehat{y}}=\mathbf{\widehat{x}}+5\mathbf{\widehat{y}}</math>
 +
*iloczyn skalarny
 +
<math>\mathbf a \cdot \mathbf b = 3\cdot 2 + 4 \cdot (-1)=2</math>
 +
*a iloczyn wektorowy (patrz [[Media:wprz2.png|Rys. 10]])
 +
<math>\textbf{a} \times \textbf{b} = (4 \cdot 0 - 0 \cdot (-1))\mathbf{\widehat{x}} + (0 \cdot 2 - 3 \cdot 0)\mathbf{\widehat{y}} + (3 \cdot (-1) - 4 \cdot 2)\mathbf{\widehat{z}}=-11\mathbf{\widehat{z}}</math>
== Zadania ==
== Zadania ==
-
# Czy wektory <math>\overline{AB}</math> i <math>\overline{CD}</math> gdzie <math> A =(2,-1), B=(2,1), C=(3,-2), D=(-3,-2)</math> są przeciwne?
+
# Czy wektory <math>\vec{AB}</math> i <math>\vec{CD}</math> gdzie <math> A =(2,-1), B=(2,1), C=(3,-2), D=(-3,-2)</math> są przeciwne?
-
# Czy wektory <math>\overline{AB}</math> i <math>\overline{CD}</math> gdzie <math> A =(2,-1), B=(-2,-2), C=(1,-1), D=(1,2)</math> są równe?
+
# Czy wektory <math>\vec{AB}</math> i <math>\vec{CD}</math> gdzie <math> A =(2,-1), B=(-2,-2), C=(1,-1), D=(1,2)</math> są równe?
# Oblicz długości boków trójkąta o wierzchołkach <math>A=(1,-1,2), B=(3,3,8), C=(2,0,1)</math>.
# Oblicz długości boków trójkąta o wierzchołkach <math>A=(1,-1,2), B=(3,3,8), C=(2,0,1)</math>.
-
# Jeżeli <math>A = (2, -1), B = (-1, 3),  C = (0, 1)</math>, wyraź następujące wektory w układzie opartym na wektorach jednostkowych <math>\widehat{i},\widehat{j}</math>:  
+
# Jeżeli <math>A = (2, -1), B = (-1, 3),  C = (0, 1)</math>, wyraź następujące wektory w układzie opartym na wektorach jednostkowych <math>\mathbf{\widehat{x}},\mathbf{\widehat{y}}</math>:  
-
## <math>\overline{AB}</math>,  
+
## <math>\vec{AB}</math>,  
-
## <math>\overline{BC}</math>,
+
## <math>\vec{BC}</math>,
-
## <math>\overline{AC}</math>,
+
## <math>\vec{AC}</math>,
-
## <math>\overline{AB}+\overline{BC}</math>,
+
## <math>\vec{AB}+\vec{BC}</math>,
-
## <math>2\overline{AC}-3\overline{BC}</math>,
+
## <math>2\vec{AC}-3\vec{BC}</math>,
-
# Jeżeli <math>\textbf{a} = 2\widehat{i} + \widehat{j} -2\widehat{k}</math> i <math>\textbf{b} = 3\widehat{i} - 2\widehat{j} - \widehat{k} </math> znajdź:
+
# Jeżeli <math>\textbf{a} = 2\mathbf{\widehat{x}} + \mathbf{\widehat{y}} -2\mathbf{\widehat{z}}</math> i <math>\textbf{b} = 3\mathbf{\widehat{x}} - 2\mathbf{\widehat{y}} - \mathbf{\widehat{z}} </math> znajdź:
## <math>\textbf{a} + \textbf{b}</math>,
## <math>\textbf{a} + \textbf{b}</math>,
## <math>\textbf{a} - \textbf{b}</math>,
## <math>\textbf{a} - \textbf{b}</math>,
Linia 144: Linia 181:
## <math>|\textbf{b}|</math>.
## <math>|\textbf{b}|</math>.
# Pokaż, że:
# Pokaż, że:
-
## <math>\widehat{i} \times \widehat{i} = \textbf{0} </math>,
+
## <math>\mathbf{\widehat{x}} \times \mathbf{\widehat{x}} = \textbf{0} </math>,
-
## <math>\widehat{i} \times \widehat{j} = \widehat{k} </math>,
+
## <math>\mathbf{\widehat{x}} \times \mathbf{\widehat{y}} = \mathbf{\widehat{z}} </math>,
-
## <math>\widehat{j} \times \widehat{i} = -\widehat{k} </math>,
+
## <math>\mathbf{\widehat{y}} \times \mathbf{\widehat{x}} = -\mathbf{\widehat{z}} </math>,

Aktualna wersja na dzień 09:28, 31 mar 2015

Spis treści

Wektor

Wektor można określać na wiele sposobów. Jednym z nich, bardzo przydatnym w fizyce, jest geometryczne określenie wektora. Wyobraźmy sobie linię prostą na której wybrano dwa punkty \(A\) i \(B\). Wektorem będziemy nazywać odcinek skierowany \(AB\), którego początkiem jest punkt \(A\), a końcem punkt \(B\) (Rys. 1). Taki wektor nazywamy wektorem zaczepionym w punkcie \(A\) i oznaczamy jako \(\vec{AB}\).

Rys. 1 Wektor interpretacja graficzna

Zbiór wszystkich prostych równoległych do danej prostej tworzy tzw. kierunek, pojęcie to można zdefiniować również w dowolnym punkcie \(A\), wówczas kierunkiem nazywamy prostą należącą do tego zbioru i przechodzącą przez punkt \(A\).

Zbiór wszystkich wektorów zaczepionych, które można uzyskać poprzez przesunięcie równoległe danego wektora tworzy pewien obiekt, który nazywamy wektorem swobodnym. Każdy z wektorów tego zbioru nazywamy reprezentantem wektora swobodnego. Wektor definiuje pewien kierunek oraz zwrot. Kierunkiem wektora jest zbiór prostych równoległych do wektora, a jego zwrotem nazywamy uporządkowaną parę \((A,B)\) punktów dowolnego reprezentanta. Zauważmy, że dany wektor może mieć dwa zwroty \((A,B)\) i zwrot przeciwny \((B,A)\). Dla wektora swobodnego pojęcie zaczepienia traci sens, gdyż w zbiorze jego reprezentantów są wektory zaczepione we wszystkich punktach przestrzeni.

O wektorze, którego początek obrazu geometrycznego może być dowolnie obrany w przestrzeni mówimy, że jest swobodny. Wektory takie można przesuwać równolegle bez zmiany ich znaczenia (Rys. 2). Natomiast wektor, którego obraz geometryczny ma początek w ścisłe określonym punkcie nazywamy wektorem zaczepionym lub związanym (Rys. 3).

Rys. 2 Przesunięcie równoległe wektora
Rys. 3 Wektor związany o początku w punkcie \(O\)

Długość wektora

Długością wektora \(\mathbf a\) nazywamy długość odcinka jego dowolnego reprezentanta, którą oznaczamy jako \(|\textbf{a}|,\) przy czym oznaczenia tego nie należy mylić z wartością bezwzględną. Jest ona zawsze liczbą nieujemną. Wektor, którego długość wynosi jeden nazywamy wektorem jednostkowym.

Suma i różnica wektorów

Opierając się na Rys. 4 możemy powiedzieć, że sumą wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) nazywamy wektor \(\textbf{c}\), który przedstawia przesunięcie wypadkowe przy złożeniu (kolejnym wykonaniu) przesunięć o wektory \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) \[\textbf{c}=\textbf{a}+\textbf{b}\]

Dla sumy wektorów spełnione jest prawo przemienności, co także widać na Rys. 4 \[\textbf{a}+\textbf{b}=\textbf{b}+\textbf{a}\]

Rys. 4 Suma i różnica wektorów

Aby mówić o różnicy wektorów należy najpierw określić wektor przeciwny. Przez wektor przeciwny do wektora \(\textbf{a}\) rozumiemy wektor, który ma tę samą długość co wektor \(\textbf{a}\), a zwrot przeciwny. Oznaczamy go symbolem \(\textbf{-a}\). Odejmowanie wektora \(\textbf{b}\) od \(\textbf{a}\) rozumiemy jako dodanie wektora przeciwnego \(\textbf{-b}\) do wektora \(\textbf{a}\) (patrz Rys. 4).

Mnożenie wektora przez liczbę

Jeżeli \(\alpha\) jest liczbą dodatnią, a \(\textbf{a}\) jest wektorem to przez \(\alpha \textbf{a}\) rozumiemy wektor, który ma ten sam kierunek i zwrot co wektor \(\textbf{a}\), a jego długość wynosi \(\alpha |\textbf{a}|\).

Jeżeli \(\alpha\) jest liczbą ujemną, a \(\textbf{a}\) jest wektorem to przez \(\alpha \textbf{a}\) rozumiemy wektor, który ma ten sam kierunek lecz zwrot przeciwny do wektora \(\textbf{a}\), a jego długość wynosi \(\alpha |\textbf{a}|\).

Ponadto wektor \(\alpha \textbf{a}\) jest wektorem zerowym gdy \(\alpha = 0\). Przez wektor zerowy rozumiemy wektor, którego początek i koniec pokrywają się.

Liniowa zależność wektorów

Dwa wektory, z których jeden powstaje z drugiego przez pomnożenie przez jakąś liczbę nazywamy liniowo zależnymi. Ponadto z reguły mnożenia wektora przez liczbę wynika, że dwa niezerowe liniowo zależne wektory są równoległe. I odwrotnie, każde dwa niezerowe wektory równoległe są liniowo zależne.

Powyższe określenie liniowej zależności dwóch wektorów można uogólnić na więcej niż dwa wektory. Powiemy, że między \(n\) wektorami \(\textbf{a}_1,\textbf{a}_2\ldots\textbf{a}_n\) istnieje zależność liniowa jeżeli istnieje \(n\) takich liczb \(\alpha_1,\alpha_2\ldots\alpha_n\) z których nie wszystkie są równe zeru, a dla których zachodzi zależność: \[\alpha_1\,\textbf{a}_1+\alpha_2\,\textbf{a}_2+\ldots+\alpha_n\,\textbf{a}_n=\textbf{0}\] Wektory dla których nie zachodzi powyższa zależność nazywamy wektorami liniowo niezależnymi.

Iloczyn skalarny wektorów

Iloczynem skalarnym niezerowych wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) nazywamy liczbę, którą jest iloczyn długości tych wektorów przez cosinus kąta \(\varphi\) zawartego między nimi. Iloczyn skalarny oznaczamy przez \(\mathbf a \cdot \mathbf b\), a więc \[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\textbf{a}||\textbf{b}|\cos{\varphi}\]

Gdy choć jeden z tych wektorów jest zerowy ich iloczyn skalarny jest równy zero. Ponadto należy podkreślić, że iloczyn skalarny wektorów jest liczbą, a nie wektorem.

Iloczyn wektorowy wektorów

Iloczynem wektorowym \(\textbf{a} \times \textbf{b}\) niezerowych i nierównoległych wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) nazywamy wektor \(\textbf{c}\), którego długość wynosi:

\[|\textbf{c}|=|\textbf{a}||\textbf{b}|\sin{\varphi}\]

gdzie kąt \(\varphi\) jest mierzony od wektora \(\textbf{a}\) do wektora \(\textbf{b}\) w taki sposób, że \(0 \leq \varphi \leq \pi\). Wektor \(\textbf{c}\) ma kierunek prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory \(\mathbf{a}\) i \(\mathbf{b}\) oraz jest tak zorientowany, że wektory \(\textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c}\) tworzą układ prawoskrętny.

Gdy wektory \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) są równoległe albo choć jeden z nich jest zerowy, to ich iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym.

Pojęcie prawoskrętnego układu jest związane z wzajemnym położeniem trzech osi w kartezjańskim układzie współrzędnych. Otóż osie \(Ox\) i \(Oy\) tworzą pewną płaszczyznę. Trzecia oś \(Oz\) jest prostopadła do płaszczyzny \(Oxy\) i może być wybrana na dwa sposoby (Rys. 5). Wybór ten jednoznacznie definiuje typ układu: lewoskrętny (Rys. 5a) lub prawoskrętny (Rys. 5b).

Rys. 5 Wybór osi Oz
Rys. 5a Układ lewoskrętny
Rys. 5b Układ prawoskrętny

Niektóre pożyteczne własności iloczynów wektorów

  • \(\textbf{a} \cdot \textbf{b}=\textbf{b}\cdot\textbf{a}\) prawo przemienności dla iloczynu skalarnego,
  • \(\alpha (\textbf{a}\cdot\textbf{b})=(\alpha \textbf{a})\cdot \textbf{b}= \textbf{a}\cdot (\alpha \textbf{b})\),
  • \(\alpha (\textbf{a} \times \textbf{b}) = (\alpha \textbf{a}) \times \textbf{b}=\textbf{a}\times (\alpha \textbf{b})\),
  • \(\textbf{a}\cdot(\textbf{b}+\textbf{c}) = \textbf{a}\cdot\textbf{b} + \textbf{a}\cdot\textbf{c}\),
  • \( \textbf{a} \times (\textbf{b} + \textbf{c}) = \textbf{a} \times \textbf{b} + \textbf{a} \times \textbf{c}\),
  • \(\textbf{a}\cdot\textbf{b} = 0\) jeżeli \(\textbf{a} \bot \textbf{b}\) (warunek prostopadłości wektorów),
  • \( \textbf{a}\cdot\textbf{a} = \textbf{a}^{2} = |\textbf{a}|^{2} \),
  • \(\textbf{b}\times\textbf{a}=-\textbf{a}\times\textbf{b}\)
  • \(\textbf{a}\times\textbf{a}=0\)

Wektor w kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych

Składowe wektora w kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych

Rys. 6 Wektor w kartezjańskim układzie współrzędnych
Rys. 7 Przesunięcie równoległe wektora

W kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych możemy określić trzy wektory nazywane wektorami podstawowymi lub wersorami, które są wektorami jednostkowymi umieszczonymi na dodatnich osiach układu współrzędnych i wychodzą z początku tego układu. Wektory takie będziemy oznaczać \(\mathbf{\widehat{x}}, \mathbf{\widehat{y}}, \mathbf{\widehat{z}}\) (Rys. 6). Jeżeli w układzie współrzędnych wybierzemy punkt \(P\) o współrzędnych \((x,y,z)\) (Rys. 6) to wektor \(\vec{OP}\) jest równy sumie trzech wektorów \(\vec{OA},\vec{AB},\vec{BP}\), gdzie \[ \vec{OA}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}\] \[ \vec{AB}=a_{y}\mathbf{\widehat{y}}\] \[ \vec{BP}=a_{z}\mathbf{\widehat{z}}\]

Podobnie, każdy wektor \(\textbf{a}\) w kartezjańskiej przestrzeni trójwymiarowej można wyrazić przez wektory podstawowe \(\mathbf{\widehat{x}}, \mathbf{\widehat{y}}, \mathbf{\widehat{z}}\)

\[\textbf{a}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}},\]

gdzie liczby \(a_{x},a_{y},a_{z}\) są współrzędnymi lub składowymi wektora w układzie współrzędnych (Rys. 6).

Współrzędne te są miarami rzutów wektora na osie współrzędnych \(Ox, Oy, Oz\), przy czym przesunięcie równoległe wektora nie zmienia wartości jego współrzędnych (Rys. 7).

Długość wektora \(\mathbf a\) o składowych \(a_x, a_y, a_z\) może być obliczona z następującego wzoru

\[|\mathbf a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}.\]

Suma i różnica wektorów

Sumą wektorów \(\textbf{a}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}}\) i \(\textbf{b}=b_{x}\mathbf{\widehat{x}}+b_{y}\mathbf{\widehat{y}}+b_{z}\mathbf{\widehat{z}}\) jest wektor \(\textbf{c}\) dany wzorem

\[\textbf{c}=c_{x}\mathbf{\widehat{x}}+c_{y}\mathbf{\widehat{y}}+c_{z}\mathbf{\widehat{z}}=(a_{x}+b_{x})\mathbf{\widehat{x}}+(a_{y}+b_{y})\mathbf{\widehat{y}}+(a_{z}+b_{z})\mathbf{\widehat{z}}\]

Różnicą wektorów \(\textbf{a}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}}\) i \(\textbf{b}=b_{x}\mathbf{\widehat{x}}+b_{y}\mathbf{\widehat{y}}+b_{z}\mathbf{\widehat{z}}\) jest wektor \(\textbf{d}\) dany wzorem

\[\textbf{d}=d_{x}\mathbf{\widehat{x}}+d_{y}\mathbf{\widehat{y}}+d_{z}\mathbf{\widehat{z}}=(a_{x}-b_{x})\mathbf{\widehat{x}}+(a_{y}-b_{y})\mathbf{\widehat{y}}+(a_{z}-b_{z})\mathbf{\widehat{z}}\]

Mnożenie wektora przez liczbę

Polega na pomnożeniu każdej składowej wektora przez tę liczbę. Iloczyn wektora \(\textbf{a}=a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}}\) przez liczbę \(\alpha\) wynosi

\[\alpha \textbf{a} = \alpha (a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+a_{z}\mathbf{\widehat{z}}) = \alpha a_{x}\mathbf{\widehat{x}}+ \alpha a_{y}\mathbf{\widehat{y}}+ \alpha a_{z}\mathbf{\widehat{z}}\]

Iloczyn skalarny wektorów

W postaci algebraicznej iloczyn skalarny wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) jest sumą iloczynów składowych każdego z wektorów:

\[\mathbf a \cdot \mathbf b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\]

Opierając się na iloczynie skalarnym możemy przedstawić długość wektora jako równą pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu skalarnego wektora przez siebie

\[|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a \cdot \mathbf a}\]

Iloczyn wektorowy wektorów

Rys. 8 Iloczyn wektorowy wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) w kartezjańskim układzie współrzędnych

W postaci algebraicznej iloczyn wektorowy wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) jest określany jako:

\[\textbf{a} \times \textbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y)\mathbf{\widehat{x}} + (a_z b_x - a_x b_z)\mathbf{\widehat{y}} + (a_x b_y - a_y b_x)\mathbf{\widehat{z}}= \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{\widehat{x}} & \mathbf{\widehat{y}} & \mathbf{\widehat{z}}\\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ \end{array} \right|\]

gdzie wyznacznik jest wyliczony przez rozwinięcie względem pierwszego wiersza.

Graficzna prezentacja iloczynu wektorowego znajduje się na Rys. 8.

Przykłady

Rys. 9 Suma i róznica wektorów \(\textbf{a}=3\mathbf{\widehat{x}+4\mathbf{\widehat{y}}}\) i \(\textbf{b}=2\mathbf{\widehat{x}-\mathbf{\widehat{y}}}\)
Rys. 10 Iloczyn wektorowy wektora \(\textbf{a}=3\mathbf{\widehat{x}+4\mathbf{\widehat{y}}}\) i \(\textbf{b}=2\mathbf{\widehat{x}-\mathbf{\widehat{y}}}\)

Mamy dane dwa wektory

\(\textbf{a}=3\mathbf{\widehat{x}}+4\mathbf{\widehat{y}}\)

\(\textbf{b}=2\mathbf{\widehat{x}}-\mathbf{\widehat{y}}\)

Można zauważyć, że składowa w kierunku osi \(\textbf{Z}\) obu wektorów jest równa zero.

  • Długości wektorów \(\textbf{a}\) i \(\textbf{b}\) wynoszą

\(|\mathbf a| = \sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{25}=5\)

\(|\mathbf b| = \sqrt{2^2 + (-1)^2}=\sqrt{5}\)

  • Suma tych wektorów wynosi (patrz Rys. 9)

\(\textbf{a}+\textbf{b}=(3+2)\mathbf{\widehat{x}}+(4+(-1))\mathbf{\widehat{y}}=5\mathbf{\widehat{x}}+3\mathbf{\widehat{y}}\)

  • ich różnica (patrz Rys. 9)

\(\textbf{a}-\textbf{b}=(3-2)\mathbf{\widehat{x}}+(4-(-1))\mathbf{\widehat{y}}=\mathbf{\widehat{x}}+5\mathbf{\widehat{y}}\)

  • iloczyn skalarny

\(\mathbf a \cdot \mathbf b = 3\cdot 2 + 4 \cdot (-1)=2\)

  • a iloczyn wektorowy (patrz Rys. 10)

\(\textbf{a} \times \textbf{b} = (4 \cdot 0 - 0 \cdot (-1))\mathbf{\widehat{x}} + (0 \cdot 2 - 3 \cdot 0)\mathbf{\widehat{y}} + (3 \cdot (-1) - 4 \cdot 2)\mathbf{\widehat{z}}=-11\mathbf{\widehat{z}}\)

Zadania

  1. Czy wektory \(\vec{AB}\) i \(\vec{CD}\) gdzie \( A =(2,-1), B=(2,1), C=(3,-2), D=(-3,-2)\) są przeciwne?
  2. Czy wektory \(\vec{AB}\) i \(\vec{CD}\) gdzie \( A =(2,-1), B=(-2,-2), C=(1,-1), D=(1,2)\) są równe?
  3. Oblicz długości boków trójkąta o wierzchołkach \(A=(1,-1,2), B=(3,3,8), C=(2,0,1)\).
  4. Jeżeli \(A = (2, -1), B = (-1, 3), C = (0, 1)\), wyraź następujące wektory w układzie opartym na wektorach jednostkowych \(\mathbf{\widehat{x}},\mathbf{\widehat{y}}\):
    1. \(\vec{AB}\),
    2. \(\vec{BC}\),
    3. \(\vec{AC}\),
    4. \(\vec{AB}+\vec{BC}\),
    5. \(2\vec{AC}-3\vec{BC}\),
  5. Jeżeli \(\textbf{a} = 2\mathbf{\widehat{x}} + \mathbf{\widehat{y}} -2\mathbf{\widehat{z}}\) i \(\textbf{b} = 3\mathbf{\widehat{x}} - 2\mathbf{\widehat{y}} - \mathbf{\widehat{z}} \) znajdź:
    1. \(\textbf{a} + \textbf{b}\),
    2. \(\textbf{a} - \textbf{b}\),
    3. \(3\textbf{a} - 2\textbf{b}\),
    4. \(|\textbf{a}|\),
    5. \(|\textbf{b}|\).
  6. Pokaż, że:
    1. \(\mathbf{\widehat{x}} \times \mathbf{\widehat{x}} = \textbf{0} \),
    2. \(\mathbf{\widehat{x}} \times \mathbf{\widehat{y}} = \mathbf{\widehat{z}} \),
    3. \(\mathbf{\widehat{y}} \times \mathbf{\widehat{x}} = -\mathbf{\widehat{z}} \),
Źródło „http://172.16.3.1/ekonofizyka/index.php/Wektory,_dzia%C5%82ania_na_wektorach”