PIZL:Przykłady zastosowań równań stochastycznych w ekonomii

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Kl.png
Ue.png





Przykłady zastosowań równań stochastycznych w ekonomii

Louis Bachelier (1870–1946) [1]

W codziennym życiu bez przerwy obserwujemy zjawiska, które mają znamiona zjawisk losowych. Zaczynamy swe życie od losowej chwili narodzin. Jeżeli nie używamy budzika, budzimy się w losowych chwilach czasu. Zliczam liczbę samochodów przejeżdżających ulicą Wolności na wysokości domu 26 w godzinach 14-17 każdego dnia roboczego i liczba ta wydaje mi się liczbą losowa. Świat procesów i zjawisk ekonomicznych jawi nam się jak jakiś pogmatwany proces stochastyczny. Znakomitym przykładem jest ruch cen akcji na giełdach. Wygląda on jak ruch Browna: raz rośnie, raz maleje; raz maleje, to znowu rośnie. Wraz z powstaniem giełdy, ludzie starali się modelować ruch cen akcji za pomocą procesów stochastycznych. W roku 1900 Louis Bachelier w swej rozprawie doktorskiej pt. „ Teoria spekulacji ”, zaproponował po raz pierwszy modelowanie cen akcji za pomocą procesów stochastycznych. Jego modelowanie było ułomne: był to asymetryczny ruch Browna. Cząstka błądząca może przyjmować położenia dodatnie jak i ujemne na osi współrzędnych. Ceny akcji nie mogą być ujemne. To jest ta wada modelu Bacheliera.

Podamy jeden z prostszych sposobów modelowania cen akcji. Załóżmy, że posiadamy jakąś kwotę pieniędzy i chcemy ją ulokować w banku, który oferuje jakieś stopy procentowe. W chwili \(t\) posiadamy \(X(t)\) złotych. Ile dostaniemy pieniędzy z banku po czasie \(t+ \Delta t\). Otrzymamy \(X(t+\Delta t)\) złotych:


\[X(t+\Delta t) = X(t) + \delta X(t)\,\]


Pierwszy składnik jest kwotą jaką lokujemy w chwili \(t\). Drugi składnik jest kwotą jaką otrzymamy z oprocentowania lokaty. Ile wynosi ten dodatek? Ta kwota to


\[ \delta X(t) = \mu X(t) \Delta t\,\]


Wyrażenie to ma prostą interpretacje: Im więcej ulokujemy w chwili \(t\) (tzn. większe \(X(t)\) ) tym więcej otrzymamy; im dłużej będzie trwała lokata (tzn. większe \(\Delta t\)) tym więcej otrzymamy. Współczynnik \(\mu\) zależy od stopy procentowej lokaty: im większe oprocentowanie tym większa wartość \(\mu\) i tym więcej otrzymamy z lokaty. Uwzględniając te dwa składniki otrzymamy równanie


\[X(t+\Delta t) - X(t) = \mu X(t) \Delta t\,\]


Załóżmy teraz, że oprocentowanie scharakteryzowane przez wielkość \(\mu\) nie jest ustalone, ale w każdej chwili waha się losowo, to znaczy


\[\mu \to \mu + \xi(t)\,\]


gdzie \(\xi(t)\) opisuje losowe wahania oprocentowania. Innymi słowy jest to jakiś proces stochastyczny. Wówczas nasze równanie będzie miało postać


\[X(t+\Delta t) - X(t) = [\mu + \xi(t)]\, X(t) \Delta t\]


Z lewej strony mamy przyrost naszych pieniędzy


\[\Delta X(t) = X(t+\Delta t) - X(t) \,\]


Jeżeli teraz \(\Delta t \) jest nieskończenie małe, to nasze równanie ma postać równania stochastycznego


(1)\(dX(t) = \mu X(t) dt + \xi(t)\, X(t) dt\)


Banki nie stosują losowych wahań oprocentowania, ale powyższy model mozna zastosować do cen akcji na giełdzie. Tam ceny zmieniają się w każdej chwili i w tych zmianach można odnaleźć część przewidywalnych (deterministycznych) zmian opisywanych parametrem \(\mu\) i część zmian losowych opisywanych funkcją losową \(\xi(t)\). Jeżeli te zmiany podobne są do losowych zmian położenia czastki Browna, to \(\xi(t)\) jest białym szumem Gaussowskim


\[\xi(t) = \Gamma(t)\,\]

Jak wiemy biały szum Gaussowski jest pochodną procesu Wienera \(W(t)\), to znaczy


\[\Gamma(t) = \frac{dW(t)}{dt}\,\]


lub równoważnie


\[\Gamma(t) dt = dW(t)\,\]


Stąd wynika, że równanie (1) przyjmuje postać


(2)\(dX(t) = \mu X(t) dt + X(t) d W(t)\,\)


Fischer Black (1938–1995) [2]
Myron Scholes (ur. 1941) [3]

Równanie to ma postać równania Ito i dlatego wnioskujemy, że proces stochastyczny \(X(t)\) jest procesem Markowa. Ponadto jest to proces dyfuzji opisywany równaniem Fokkera-Plancka-Kołmogorowa. Równanie to zostało wprowadzone do zjawisk ekonomicznych na przełomie lat pięćdziesiątych i sześćdziesiątych XX w. niezależnie przez Osborne’a (1959) i Samuelsona (1965). Równanie to opisuje proces stochastyczny który nazywa się w literaturze geometrycznym procesem Wienera. Równanie to jest jednym z podstawowych elementów modelu wyceny opcji Blacka-Scholesa. Teoria ta została nagrodzona Nagrodą Nobla z ekonomii w roku 1997, a opracowana przez absolwenta fizyki i doktora matematyki Fischera Blacka oraz ekonomistę Myrona Scholesa. Teoria Blacka-Scholesa pozwala na wycenę wartości tzw. finansowych instrumentów pochodnych, czyli opcji, oraz służy do optymalizacji "bezpiecznego" portfela inwestycyjnego.

Równanie (2) można modyfikować na wiele sposobów. Po pierwsze, należy rozstrzygnąć problem interpretacji tego równania: czy jest to wersja Ito czy wersja Stratonowicza, a może jeszcze inna. Po drugie, proces Wienera można zastąpić innymi procesami. Mogą to być różne odmiany procesu Poissona. Może to być ogromna rodzina procesów Levy'ego. Wszystkie te rodziny to procesy o przyrostach niezależnych. Można modelować fluktuacje cen akcji przez procesy skorelowane, procesy o zależnych przyrostach. Widać, że tylko jeden problem cen akcji na giełdzie daje niesłychanie szerokie pole do modelowania. To z kolei pozwala na daleko idące modyfikacje innych modeli, jak na przykład modelu Blacka-Scholesa.


W ostatnich latach coraz więcej prac na temat rynku finansowego wykorzystuje procesy Levy'ego jako bliższe modelowaniu rzeczywistemu. Nie rozbudowywałem tej części skryptu ze względu na wyjątkowy stopień komplikacji jaki pojawia się przy zastosowaniu procesów Levy'ego. Odpowiednik równań Ito nie jest wzrokowo skomplikowany, ale odpowiednik równań Fokkera-Plancka jest równaniem różniczkowo-całkowym. Jak analizować takie równania? Najprościej jest opracować symulacje komputerowe równań Ito. To co prawda nie pozwala na formułowanie ogólnych wniosków, ale przynajmniej możemy otrzymać najważniejsze informacje dla konkretnych realizacji takich zjawisk.