Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej i jej zastosowania
Pochodna funkcji jest podstawowym narzędziem analizy zjawisk w naukach przyrodniczych. Jest także stosowana w ekonomii. Pozwala na łatwe prześledzenie zmian jakiejś wielkości (wartości funkcji) gdy zmieniają się wielkości od których zależy (argumenty funkcji, bądź jeden argument gdy rozważamy funkcje jednej zmiennej). Pochodna funkcji jest wykorzystywana m.in. w znajdowaniu ekstremów (minimum/maksimum), przedziałów monotoniczności, szukaniu granic funkcji, jej asymptot, czy badaniu przebiegu zmienności funkcji. W trakcie tego wykładu omówimy te zastosowania pochodnej, a zaczniemy od podania definicji pochodnej i wzorów na obliczanie pochodnych najczęściej używanych funkcji.
Iloraz różnicowy
Zanim zdefiniujemy pojęcie pochodnej funkcji jednej zmiennej \(y = f(x)\) musimy zdefiniować iloraz różnicowy jako stosunek przyrostu wartości funkcji \(\Delta f(x)\) do przyrostu argumentu \(\Delta x\) (funkcja \(f(x)\) jest ciągła dla \(x \in \left[ x_1, x_2 \right]\))
\(\begin{aligned} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \operatorname{tg}\alpha, \nonumber\end{aligned}\)
gdzie kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia siecznej wykresu funkcji \(f(x)\) do osi \(OX\), przy czym jest to kąt skierowany liczony od osi \(OX\). Sieczna wykresu jest prostą, tak więc \(\operatorname{tg}\alpha\) jest jej współczynnikiem kierunkowym. Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego jest podana na Rys. 1a i Rys. 1b.
Jak widać \(\operatorname{tg}\alpha\), czyli wartość ilorazu różnicowego, można wyliczyć ze stosunku długości odpowiednich boków trójkąta prostokątnego. Iloraz różnicowy mówi o tym jak bardzo zmienia się wartość funkcji \(f(x)\) gdy wartość argumentu wzrośnie z \(x_1\) do \(x_2\), czyli o \(\Delta x = x_2 - x_1\). Oczywiście zmianą tą może być zarówno wzrost wartości funkcji (iloraz różnicowy będzie wtedy dodatni), jak i spadek wartości funkcji (ujemna wartość ilorazu różnicowego). Iloraz różnicowy daje informację o zmianie wartości funkcji pomiędzy dwoma wartościami argumentów \(oddalonymi\) od siebie o \(\Delta x\). Aby otrzymać informację o lokalnej (chwilowej), czyli w pewnym punkcie \(x_0 \in D\), zmianie funkcji \(f(x)\) musimy wprowadzić pojęcie pochodnej funkcji.
Pochodna funkcji
Pochodną \(f' (x_0)\) funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0 \in \left( x_1, x_2 \right)\), określonej w dziedzinie \(D = \left[ x_1, x_2 \right]\), jest granica ilorazu różnicowego przy \(\Delta x \rightarrow 0\)
\[\begin{aligned} f' (x_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x},\nonumber\end{aligned}\]
oczywiście o ile taka granica istnieje. Jeżeli taka granica nie istnieje to funkcja w punkcie \(x_0\) nie ma pochodnej. Inne określenie na obliczanie pochodnej funkcji to różniczkowanie funkcji. Interpretacja geometryczna pochodnej jest przestawiona na Rys. 2.
Pochodna \(f' (x_0)\) jest równa \(\operatorname{tg}\alpha\), gdzie kąt \(\alpha\) jest kątem skierowanym pod którym styczna do wykresu funkcji \(f(x)\) w punkcie \(\left( x_0, f(x_0) \right)\) przecina oś \(OX\). Nie podamy formalnej definicji stycznej, ponieważ wystarczy nam intuicyjne określenie stycznej jako prostej posiadającej tylko jeden punkt wspólny z wykresem funkcji. I oczywiście musimy pamiętać o ewidentnej ułomności takiego określenia stycznej: styczna do wykresu funkcji w punkcie \(\left( x_0, f(x_0) \right)\) może przecinać wykres w innych punktach. Pochodna funkcji mówi o tym jak \(szybka\) jest zmiana funkcji w punkcie \(x_0\).
Obliczymy teraz pochodną funkcji \(f(x) = x^2\) w dowolnym punkcie \(x\), korzystając z definicji pochodnej podanej powyżej, tzn. wyliczając granicę ilorazu różnicowego. Otrzymujemy \(f(x+\Delta x) = (x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x \Delta x + (\Delta x)^2\). Zatem
\[\begin{aligned} f' (x) = (x^2)' = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^2 + 2x \Delta x + (\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} = 2x.\nonumber\end{aligned}\]
Np., jeżeli \(x = 1\) to \(f'(1) = 2\), a jeżeli \(x = 2\) to \(f'(2) = 4\). Wnioskujemy stąd, że funkcja \(f(x) = x^2\) rośnie 2 razy szybciej w punkcie \(x =2\) niż w punkcie \(x = 1\), co widać po nachyleniu odpowiednich stycznych do paraboli (Rys. 3).
Wykorzystywanie granicy ilorazu różnicowego do obliczania pochodnych funkcji jest kłopotliwe i czasochłonne. Dlatego obliczono pochodne funkcji elementarnych, a odpowiednie wzory dla najczęściej używanych funkcji podano poniżej.
\((x^a)' = a x^{a-1}, \)
\((\sin x)' = \cos x, \)
\((\cos x)' = -\sin x, \)
\((\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}, \qquad \cos{x} \neq 0 \)
\((\operatorname{ctg}x)' = \frac{-1}{\sin^2x}, \qquad \sin{x} \neq 0 \)
\((e^x)' = e^x, \)
\((a^x)' = a^x \ln a, \)
\((\ln{x})' = \frac{1}{x}, \qquad x \neq 0 \)
\((\log_{a} x)' = \frac{1}{x\ln{a}}, \qquad x > 0 \)
\((\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad x \in (-1,1) \)
\((\arccos{x})' = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad x \in (-1,1) \)
\((\operatorname{arctg}x)' = \frac{1}{1 + x^2},\)
\((\operatorname{arcctg}x)' = \frac{-1}{1 + x^2}.\)
Natomiast dla podstawowych działań na funkcjach (mnożenie funkcji przez stałą \(c\), dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie funkcji, oraz składanie funkcji) obliczamy pochodne na podstawie następujących wzorów
\(\big(cf(x)\big)' = c f'(x),\)
\(\big(f(x) \pm g(x)\big)' = f'(x) \pm g'(x), \)
\(\big(f(x) \cdot g(x)\big)' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x), \)
\(\Big(\frac{f(x)}{g(x)}\Big)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)}, \qquad g(x) \neq 0, \)
\(\Big(f\big(g(x)\big)\Big)' = f'\big(g(x)\big) \cdot g'(x).\)
W przypadku funkcji wielokrotnie złożonej (powyższy wzór dotyczy funkcji jednokrotnie złożonej, \(g(x)\)jest funkcją wewnętrzną, a \(f(g(x))\) zewnętrzną) pochodną obliczamy mnożąc pochodne wszystkich funkcji tworzących funkcję złożoną.
Podamy przykłady obliczania pochodnych sumy, różnicy, iloczynu oraz ilorazu funkcji elementarnych.
- Obliczyć pochodną funkcji \(f(x) = 3x^2 + 2^x - \log_{3} x + \frac{1}{2}\operatorname{tg}x - 5\sqrt{x}\)
Jest to suma i różnica funkcji elementarnych, a więc możemy od razu zastosować, podane wyżej, wzory na pochodne funkcji elementarnych. Korzystając także z możliwości "wyciągnięcia" stałej przed obliczanie pochodnej otrzymujemy \[f'(x) = (3x^2 + 2^x - \log_{3} x + \frac{1}{2}\operatorname{tg} x - 5\sqrt{x})' = 3(x^2)' + (2^x)' - (\log_{3} x)' + \frac{1}{2}(\operatorname{tg} x)' - 5(\sqrt{x})' = 6x + \ln 2 \cdot 2^x - \frac{1}{x\ln3} + \frac{1}{2\cos^2x} - \frac{5}{2\sqrt{x}}.\]
- Obliczyć pochodną funkcji \(f(x) = \cos x \cdot \operatorname{arctg} x\)
Stosując wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji i wykorzystując odpowiednie wzory na pochodne funkcji elementarnych otrzymujemy \[f'(x) = (\cos x \cdot \operatorname{arctg} x)' = (\cos x)' \cdot \operatorname{arctg} x + \cos x \cdot (\operatorname{arctg} x)' = -\sin x \cdot \operatorname{arctg} x + \cos x \cdot \frac{1}{1 + x^2}.\]
- Obliczyć pochodną funkcji \(f(x) = \frac{\arcsin x}{e^x}\)
Ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji otrzymujemy \[f'(x) = (\frac{\arcsin x}{e^x})' = \frac{\arcsin x ' \cdot e^x - \arcsin x \cdot (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot e^x - \arcsin x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \arcsin x}{e^x}.\]
Przykłady obliczania pochodnych funkcji złożonych. W trakcie obliczania pochodnych funkcji złożonych wykorzystamy wzory na pochodne funkcji elementarnych.
- Obliczyć pochodną funkcji \(f(x) = \sin 5x\)
Jest to funkcja złożona \(f(g(x))\), przy czym funkcją wewnętrzną jest \(g(x)=5x\), a zewnętrzną \(f(g)=\sin g\). Pochodna funkcji wewnętrznej wynosi \(g'(x) = 5\), a pochodna funkcji zewnętrznej \(f'(g)=\cos g\). Zatem, mnożąc pochodną funkcji wewnętrznej przez pochodną funkcji zewnętrznej otrzymujemy, zgodnie z podanym wyżej wzorem, pochodną funkcji złożonej \[(\sin5x)' = 5 \cos 5x\] gdzie podstawiliśmy \(g=5x\) jako argument funkcji zewnętrznej.
- Obliczyć pochodną funkcji \(h(x) = \sqrt{\sin 5x}\)
Jest to funkcja dwukrotnie złożona \(h(f(g(x)))\), gdzie do złożenia dwóch funkcji \(f\) i \(g\) z poprzedniego przykładu dodaliśmy obliczanie pierwiastka, czyli funkcję \(h\), przy czym musimy pamiętać o tym, że jej dziedziną są liczby rzeczywiste \(\geq 0\). Zgodnie ze wzorem na pochodną funkcji złożonej, pochodna funkcji \(h(f(g(x)))\) będzie iloczynem pochodnych funkcji \(g\), \(f\) i \(h\), przy czym dwie pierwsze zostały już obliczone w pierwszym przykładzie. Pozostaje do obliczenia pochodna funkcji 'pierwiastek kwadratowy' której argumentem jest \(\sin 5x\). Otrzymujemy \[(\sqrt{\sin 5x })' = 5 \cos 5x \frac{1}{2\sqrt{\sin 5x }}\] gdzie wykorzystaliśmy \((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) wyliczone ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej dla \(a=\frac{1}{2}\) (pierwszy ze wzorów na pochodne funkcji elementarnych).
- Obliczyć pochodną funkcji \(f(x) = e^{-x^2}\)
Jest to funkcja złożona \(f(g(x))\), przy czym funkcją wewnętrzną jest \(g(x)=-x^2\), a zewnętrzną \(f(g)=e^g\). Pochodna funkcji wewnętrznej wynosi \(g'(x) = -2x\) (stałą równą -1 można wyłączyć przed oblicznie pochodnej, a \((x^2)' = 2x\)), a pochodna funkcji zewnętrznej \(f'(g)=e^g\). Mnożąc pochodną funkcji wewnętrznej przez pochodną funkcji zewnętrznej otrzymujemy, \[(e^{-x^2})' = -2x e^{-x^2}\] gdzie podstawiliśmy \(g=-x^2\) jako argument funkcji zewnętrznej.
Pochodne wyższych rzędów
Operację obliczenia pochodnej można zastosować do obliczonej właśnie pochodnej rzędu pierwszego \(f'(x)\). Jeśli taka operacja jest wykonalna to otrzymamy pochodną rzędu drugiego \(f''(x)\) funkcji \(f(x)\). Podobnie możemy znajdować pochodne wyższych rzędów: trzeciego - \(f'''(x)\), czwartego - \(f^{(4)}\), czy ogólnie rzędu n-tego - \(f^{(n)}\). Jako przykład obliczymy pochodne, do rzędu piątego włącznie, funkcji \(f(x) = \sin(x)\).
\(\begin{aligned} (\sin x)' & = & \cos x , \nonumber \\ (\sin x)'' = (\cos x)' & = & -\sin x , \nonumber \\ (\sin x)''' = (-\sin x)' & = & -\cos x , \nonumber \\ (\sin x)^{(4)} = (-\cos x)' & = & \sin x , \nonumber \\ (\sin x)^{(5)} = (\sin x)' & = & \cos x , \nonumber \\\end{aligned}\)
Jak widać pochodna funkcji \(f(x) = \sin x \) rzędu piątego jest taka sama jak pochodna rzędu pierwszego. Tak samo będzie dla pochodnej rzędu dziewiątego. Podobna własność mają pochodne funkcji \(f(x) = \cos x \).
Zastosowanie pochodnej do badania monotoniczności funkcji
Jeżeli pochodna funkcji \(f(x)\) jest dodatnia dla \(x \in [a,b]\) (przedział [a,b] należy do dziedziny funkcji \(f(x)\)) to funkcja \(f(x)\) jest w tym przedziale rosnąca
\[\begin{aligned} f'(x) > 0 \textrm{ dla }x \in [a,b] \Rightarrow f(x) \textrm{ rosnąca dla }x \in [a,b]. \nonumber\end{aligned}\]
Jeżeli pochodna funkcji \(f(x)\) jest ujemna dla \(x \in [a,b]\) (przedział [a,b] należy do dziedziny funkcji \(f(x)\)) to funkcja \(f(x)\) jest w tym przedziale malejąca
\[\begin{aligned} f'(x) < 0 \textrm{ dla }x \in [a,b] \Rightarrow f(x) \textrm{ malejąca dla }x \in [a,b]. \nonumber\end{aligned}\]
Jak widać zastosowanie pochodnej znakomicie ułatwia odpowiedź na bardzo ważne pytanie o monotoniczność funkcji. Zobaczymy to na przykładzie funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2\), której dziedziną jest \(\mathbb{R}\). Pochodna tej funkcji wynosi \(f'(x) = 2x\), skąd od razu znajdujemy, że \(f'(x) > 0\), dla \(x \in (0, +\infty)\) - funkcja w tym przedziale jest rosnąca. Z kolei \(f'(x) < 0\), dla \(x \in (-\infty, 0)\) - funkcja w tym przedziale jest malejąca. Przedziały monotoniczności tej funkcji widać na Rys. 5.
Z tego rysunku od razu znajdujemy minimum funkcji \(f(x) = x^2\) dla \(x = 0\). Uważny czytelnik zauważy, że w tym punkcie pochodna funkcji zmienia znak z \(-\) na \(+\) (z minusa na plus), ponadto \(f'(0) = 0\). Nie jest to przypadek, a treść twierdzeń o znajdowaniu ekstremum funkcji jednej zmiennej.
Zastosowanie pochodnej do znajdowania ekstremum funkcji
Przez ekstremum lokalne funkcji (nasze rozważania ograniczamy do funkcji ciągłych) rozumiemy minimum bądź maksimum lokalne funkcji, których definicja jest następująca (zakładamy, że funkcja \(f(x)\) jest określona w pewnym otoczeniu punktu \(x_0\) - otoczeniem punktu \(x_0\) o promieniu \(\delta\) jest przedział \( x_0 - \delta < x < x_0 + \delta\)):
\[\textrm{funkcja } f(x) \textrm{ ma minimum lokalne w punkcie } x = x_0 \Leftrightarrow \bigvee_{\delta > 0} \quad \bigwedge_{0 < |x - x_0| <\delta} \quad f(x) \gt f(x_0),\] \[\textrm{funkcja } f(x) \textrm{ ma maksimum lokalne w punkcie } x = x_0 \Leftrightarrow \bigvee_{\delta > 0} \quad \bigwedge_{0 < |x - x_0| <\delta} \quad f(x) \lt f(x_0).\]
Czyli, wartość funkcji w ekstremum (punkt \(x_0\)) jest mniejsza (minimum) lub większa (maksimum) od wartości we wszystkich punktach sąsiedztwa punktu \(x_0\) o promieniu \(\delta\). Przez sąsiedztwo punktu \(x_0\) rozumiemy otoczenie tego punktu z wyłączeniem samego punktu \(x_0\). W niektórych podręcznikach takie określenie ektremum funkcji nazywa się ekstremum właściwym.
Do znajdowania ekstremum funkcji różniczkowalnych wykorzystuje się następujące dwa twierdzenia.
Twierdzenie Fermata (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji):
jeżeli funkcja \(f(x)\) ma ekstremum lokalne w punkcie \(x = x_0\) i jest w tym punkcie różniczkowalna to \(f'(x_0) = 0\).
Zwróćmy uwagę na konstrukcję tego twierdzenia. Mianowicie twierdzenie mówi, że z faktu istnienia ekstremum WYNIKA zerowanie się pierwszej pochodnej funkcji. Nie jest natomiast prawdziwe wynikanie w drugą stronę, czyli z faktu zerowania się pierwszej pochodnej funkcji NIE WYNIKA istnienie ekstremum. Dlatego twierdzenie Fermata jest jedynie warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym, istnienia ekstremum funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.
Twierdzenie - warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego funkcji:
jeżeli funkcja \(f(x)\) jest ciągła i różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie punktu \(x_0\) o promieniu \(\delta\) oraz jeżeli
\[\begin{aligned} \bigwedge_{x \in (x_0 - \delta, x_0)} f'(x) < 0 \quad i \bigwedge_{x \in (x_0, x_0 + \delta)} f'(x) > 0 \nonumber\end{aligned}\]
to funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_0\) minimum lokalne.
Natomiast jeżeli funkcja \(f(x)\) jest ciągła i różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie punktu \(x_0\) o promieniu \(\delta\) oraz jeżeli
\[\begin{aligned} \bigwedge_{x \in (x_0 - \delta, x_0)} f'(x) > 0 \quad i \bigwedge_{x \in (x_0, x_0 + \delta)} f'(x) < 0 \nonumber\end{aligned}\]
to funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_0\) maksimum lokalne.
Powyższe dwa twierdzenia możemy wypowiedzieć w mniej formalny sposób następująco. Twierdzenie Fermata daje nam przepis na szukanie punktów podejrzanych o to, że w nich jest ekstremum funkcji. Mianowicie rozwiązując równanie \(f'(x) = 0\) otrzymujemy zbiór takich punktów. Aby znaleźć ekstremum musimy posłużyć się twierdzeniem o warunku wystarczającym istnienia ekstremum i zbadać zmianę znaku pierwszej pochodnej funkcji w punktach podejrzanych. Jeżeli taka zmiana ma miejsce to funkcja ma ekstremum: minimum gdy jest zmiana z \(-\) na \(+\), a maksimum gdy zmiana znaku pierwszej pochodnej jest z \(+\) na \(-\).
Zilustrujemy to na przykładzie funkcji kwadratowej. Pochodna funkcji \(f(x) = x^2\) wynosi \(f'(x) = 2x\) i jest równa zero dla \(x_0 = 0\), jest to punkt podejrzany. Łatwo sprawdzamy, że \(f'(x) > 0\) dla \(x > 0\) oraz \(f'(x) < 0\) dla \(x < 0\). Stąd zmiana znaku pochodnej jest z \(-\) na \(+\) (zmianę znaku śledzimy zgodnie z kierunkiem osi liczbowej \(x\)) dlatego funkcja \(f(x) = x^2\) ma w punkcie \(x_0 = 0\) minimum lokalne, co widać na Rys. 6.
Natomiast pochodna funkcji \(f(x) = -x^2\) wynosi \(f'(x) = -2x\) i jest równa zero dla \(x_0 = 0\) jest to punkt podejrzany. Łatwo sprawdzamy, że \(f'(x) < 0\) dla \(x > 0\) oraz \(f'(x) > 0\) dla \(x < 0\). Stąd zmiana znaku pochodnej jest z \(+\) na \(-\) dlatego funkcja \(f(x) = -x^2\) ma w punkcie \(x_0 = 0\) maksimum lokalne, co ilustruje Rys. 7.
Duże znaczenie praktyczne przy szukaniu ekstremum funkcji ma zastąpienie, w warunku wystarczającym, badania znaku pochodnej w pobliżu punktu podejrzanego \(x_0\) przez badanie znaku drugiej pochodnej w samym punkcie \(x_0\). Mianowicie, jeżeli funkcja \(f(x)\) ma w otoczeniu punktu \(x_0\) ciągłą drugą pochodną i jeśli \(f'(x_0)=0\) oraz \(f''(x_0) \neq 0\), to funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_0\) ekstremum, przy czym jest to minimum, gdy \(f''(x_0) \gt 0\) i maksimum gdy \(f''(x_0) \lt 0\). Jeżeli druga pochodna w punkcie \(x_0\) jest równa zero to nie można wnioskować o istnieniu bądź nieistnieniu ekstremum funkcji \(f(x)\) w tym punkcie. Należy wtedy badać pochodne rzędów wyższych niż drugi. Stosując ten warunek wystarczający dla rozważanych powyżej funkcji znajdujemy od razu, że \(f''(0) = 2\) dla funkcji \(f(x) = x^2\), czyli funkcja ma minimum. Natomiast w przypadku funkcji \(f(x) = -x^2\) \(f''(0) = -2\) i funkcja ma maksimum. Oczywiście w obu przypadkach spełniony jest warunek konieczny \(f'(0) = 0\).
Zastosowanie pochodnej do znajdowania przedziałów wklęsłości/wypukłości oraz punktów przegięcia funkcji
W tym rozdziale zajmiemy się pojęciem wklęsłości/wypukłości funkcji, przy czym dla prostoty ograniczymy się do funkcji co najmniej dwukrotnie różniczkowalnych.
Funkcja \(f(x)\) jest wypukła (wklęsła) w przedziale \([a,b] \in D\) jeżeli w każdym punkcie \(x_0 \in [a,b]\) styczna do wykresu funkcji znajduje się pod (nad) wykresem funkcji \(f(x)\). Ilustrują to Rys. 8 i Rys. 9 . Takie określenie będzie dla nas definicją wypukłości (wklęsłości) funkcji.
W znalezieniu przedziałów wklęsłości/wypukłości funkcji, która jest dwukrotnie różniczkowalna (tzn. istnieje pochodna drugiego rzędu tej funkcji) pomocne jest następujące twierdzenie:
funkcja \(f(x)\), dwukrotnie różniczkowalna w przedziale \([a,b]\) jest wypukła (wklęsła) w \([a,b]\) wtedy i tylko wtedy gdy
\[\begin{aligned} \bigwedge_{x \in [a,b]} f''(x) \gt 0 \quad (f''(x) \lt 0).\nonumber\end{aligned}\]
I znowu jako przykładu użyjemy funkcji kwadratowej. Funkcja \(f(x) = x^2\) jest wypukła w całej dziedzinie \(\mathbb{R}\), ponieważ \(f'(x) = 2x\), a \(f''(x) = 2 >0\). Natomiast \(f(x) = -x^2\) jest wklęsła w całej dziedzinie \(\mathbb{R}\), ponieważ \(f'(x) = -2x\), a \(f''(x) = -2 <0\).
Definicja punktu przegięcia funkcji.
Jeżeli funkcja \(f(x)\) ma drugą pochodną \(f''(x)\) ciągłą w przedziale \((a,b)\) to punktem przegięcia wykresu funkcji \(f(x)\) nazywamy punkt o współrzędnych \((x_0, f(x_0))\), \(x_0 \in (a,b)\) w którym następuje zmiana wypukła \(\leftrightarrow\) wklęsła.
Przykładem będzie teraz funkcja \(f(x) = x^3\), której druga pochodna \(f''(x) = 6x\) jest ujemna dla \(x < 0\) (czyli \(f(x)\) jest wklęsła), a dodatnia dla \(x > 0\) \(f(x)\) wypukła. Zatem dla \(x_0 = 0\) następuje zmiana wklęsła \(\leftrightarrow\) wypukła, a punkt o współrzędnych \((0,0)\) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(f(x) = x^3\) (Rys. 10).
Przy okazji zwróćmy uwagę, że funkcja \(f(x) = x^3\) jest ilustracją tego, że warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji (twierdzenie Fermata) musi być uzupełniony warunkiem wystarczającym. Mianowicie, \(f'(x) = 3x^2\) jest równa zero dla \(x_0 = 0\), w tym punkcie funkcja \(f(x) = x^3\) ma punkt przegięcia, a nie ma ekstremum. Pierwsza pochodna tej funkcji jest bowiem zawsze dodatnia i tym samym nie zmienia znaku w punkcie \(x_0 = 0\).
Powyższy przykład jest ilustracją następującego twierdzenia:
Jeżeli druga pochodna funkcji \(f(x)\) jest równa zero dla \(x_0\) oraz \(f''(x) < 0\) dla \(x < x_0\) i \(f''(x) > 0\) dla \(x > x_0\), lub \(f''(x) > 0\) dla \(x < x_0\) i \(f''(x) < 0\) dla \(x > x_0\) to punkt o współrzędnych \((x_0, f(x_0))\) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(f(x)\).
Twierdzenie to możemy wypowiedzieć w nieformalny sposób bardzo prosto: istnienie punktu przegięcia wymaga zerowania się drugiej pochodnej funkcji oraz zmiany znaku tejże drugiej pochodnej w punkcie zerowania się. Np. funkcja \(f(x) = x^4\) nie posiada punktu przegięcia \((0,0)\) chociaż \(f''(0) = 0\), ale druga pochodna tej funkcji \(f''(x) = 12x^2\) nie zmienia znaku dla \(x_0 = 0\). Jest bowiem dodatnia dla \(x \in \mathbb{R}\). Jest to pokazane na rysunku Rys. 11.
Zastosowanie pochodnej do znajdowania granicy funkcji - twierdzenie de l’Hospitala
Jeśli spełnione są pewne warunki to pochodne funkcji można wykorzystać do znajdowania granic wyrażeń nieoznaczonych różnych typów. Wyrażeniami nieoznaczonymi najczęściej spotykanymi są wyrażenia \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\) oraz \(\infty \cdot 0\). Wyrażenia te nazywają się nieoznaczonymi, ponieważ ich wartość (czyli odpowiednia granica) jest nieokreślona. Taka wartość (granica) może być wyliczona przy użyciu pochodnych. Mówi o tym twierdzenie de l’Hospitala, które można wypowiedzieć dla granic różnego typu. Jeżeli:
- \(\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} g(x) = 0, \)
- \(\textrm{istnieją } f'(x) \textrm{ i } g'(x) \textrm{ dla } x \in (a - \delta, a + \delta), \delta > 0,\)
to wtedy
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}, \nonumber \\\end{aligned}\] o ile granica \(\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) istnieje.
Podobnie jeżeli:
- \(\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} g(x) = +\infty,\)
- \( \textrm{istnieją } f'(x) \textrm{ i } g'(x) \textrm{ dla } x \in (a - \delta, a + \delta), \delta > 0\)
to wtedy
\[\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}, \nonumber \\\end{aligned}\] o ile granica \(\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) istnieje.
Twierdzenie de l’Hospitala jest również słuszne dla granic niewłaściwych, czyli dla \(x \rightarrow \pm \infty\). Nie będziemy go tutaj przytaczać, jest bowiem identyczne z dwoma powyższymi. Zauważmy, że możemy przekształcić wyrażenie nieoznaczone typu \(\infty \cdot 0\) na znane już wyrażenie nieoznaczone \(\frac{0}{0}\). Mianowicie możemy zastosować przekształcenie\[\infty \cdot 0 = \frac{0}{\frac{1}{\infty}}\] po którym otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone typu \(\frac{0}{0}\), ponieważ w granicy\(\frac{1}{\infty}\) jest równe 0.
Przykład 1
Znaleźć granicę \(\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}\)
Ponieważ \( x \) zmierza do zera, stąd \( \sin{x}\) także zmierza do zera i otrzymujemy symbol nieoznaczony \(\frac{0}{0}\). Na podstawie reguły de l’Hospitala obliczamy osobno (nie korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji!) pochodną funkcji w liczniku i mianowniku, otrzymując
\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x}\) = \(\lim_{x \to 0}\frac{\cos{x}}{1}\) = 1
ponieważ gdy \( x \) zmierza do 0 to \( \cos{x} \) zmierza do 1.
Przykład 2
Znaleźć granicę \(\lim_{x \to \infty}\frac{4x+22}{5x+9}\)
Gdy \( x \) zmierza do nieskończoności to zarówno licznik i mianownik zmierzają do nieskończoności i otrzymujemy symbol nieoznaczony \(\frac{\infty}{\infty}\). Na podstawie reguły de l’Hospitala obliczamy pochodną funkcji w liczniku i mianowniku otrzymując
\(\lim_{x \to \infty}\frac{4x+22}{5x+9}\) = \(\lim_{x \to \infty}\frac{4}{5}\) = \( \frac{4}{5} \).
Różniczkowalność funkcji i różniczka funkcji
Funkcję \(f(x)\) określoną w otoczeniu \(O\) punktu \(x_0\) nazywamy różniczkowalną w tym punkcie, jeżeli istnieje liczba \(A\) oraz funkcja \(\sigma\) taka, że dla każdej wartości \(\Delta x\) przyrostu argumentu, dla której \(x_0 +\Delta x \in O\), zachodzi
\[\begin{aligned} f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = A \cdot \Delta x + \sigma(\Delta x) \cdot \Delta x \nonumber\end{aligned}\]
przy czym funkcja \(\sigma\) musi spełniać następujące dwa warunki
\[\begin{aligned} \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \sigma (\Delta x) = 0, \quad \sigma (0) = 0. \nonumber\end{aligned}\]
Dowodzi się (jest to warunek konieczny i wystarczający), że aby funkcja \(f(x)\) była różniczkowalna w punkcie \(x_0\), jej pochodna w tym punkcie \(f'(x_0)\) musi być skończona, czyli musi istnieć. Wówczas \(A = f'(x_0)\).
Jeżeli powyższe jest spełnione, czyli funkcja \(y = f(x)\) jest różniczkowalna dla \(x_0\), to \(A \Delta x\), czyli \(f'(x_0) \Delta x\) nazywamy różniczką funkcji i oznaczamy jako \(dy\) lub \(df(x_0)\)
\[\begin{aligned} dy = df(x) = f'(x_0) \Delta x \nonumber\end{aligned}.\]
Różniczka funkcji \(f(x) = x\) w każdym punkcie \(x_0\) jest równa \(dx = 1 \cdot \Delta x\), ponieważ \((x)' = 1\). Dlatego możemy zapisać różniczkę funkcji następująco
\[\begin{aligned} dy = df(x) = f'(x_0) dx \nonumber\end{aligned}.\]
Różniczka \(dx\) zmiennej niezależnej \(x\) jest dowolnym (skończonym) przyrostem tej zmiennej \(: dx = \Delta x \). Również różniczka \(dy\) zmiennej zależnej \(y = f(x)\) jest wielkością skończoną i jest to liniowa, ze względu na \(\Delta x\), część przyrostu zmiennej \(y\). Różni się ona od przyrostu funkcji o wielkość, która dla \(\Delta x \rightarrow 0\), jest nieskończenie mała rzędu wyższego niż \(\Delta x\). Ilustrację związku pomiędzy różniczką \(dy\) i przyrostem \(\Delta y\) zmiennej zależnej \(y = f(x)\) pokazano na rysunku Rys. 12.
Aby pokazać związek pomiędzy \(\Delta y\) i \(dy\) obliczymy granicę ich ilorazu dla \(\Delta x \rightarrow 0\)
\[\begin{aligned} \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{dy} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f'(x_0) \cdot \Delta x + \sigma(\Delta x) \cdot \Delta x}{f'(x_0) \cdot \Delta x} = 1 + \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sigma(\Delta x)}{f'(x_0)} = 1 \nonumber\end{aligned}, \]
jeżeli \(f'(x_0) \neq 0\). Tym samym przekonujemy się o tym, że w przybliżeniu
\[\begin{aligned} \Delta y \sim dy \nonumber\end{aligned}\]
dla dostatecznie małych wartości \(\Delta x\) i to z tym większą dokładnością in mniejszy jest przyrost zmiennej niezaleznej \(\Delta x\). Równość \(\Delta y = dy\) zachodzi tylko dla funkcji liniowej \(y = ax + b\).
Wzory na różniczki funkcji otrzymuje się ze wzorów na pochodne funkcji, np. \(d\sin{x} = \cos{x}\,dx\), \(dx^n = nx^{n-1}dx\), itd.
Pojęcie różniczki funkcji zostało podane przez Leibniza (1646-1716) przed definicją pochodnej jako granicy, która została wyrażona później przez Cauchy’ego (1789-1857).
Zadania
- Oblicz pochodne następujących funkcji:
- \(f(x) = 3x^2 + 3\,\)
- \(f(x) = 4\sqrt[3]{x}\,\)
- \(f(x) = 6x^5+8x^2+x-78\,\)
- \(f(x) = 7x^7-5x^5+x^3+x^2-x\,\)
- \(f(x) = \frac{1}{x^3}+4x^\frac{1}{3}\,\)
- \(f(x) = 3x^{17} + \frac{1}{17}3x^2 +\frac{2}{\sqrt{x}} \,\)
- \(f(x) = \frac{3}{x^6} - \sqrt[7]{x} + x \,\)
- \(f(x) = 6x^{1/3}-x^{0.4} +\frac{3}{x^2} \,\)
- \(f(x) = \frac{1}{\sqrt[5]{x}} + \sqrt{x} \,\)
- Oblicz pochodne następujących funkcji:
- \(f(x) = (x^4+4x+2)(2x+3) \,\)
- \(f(x) = (3x-1)(3x^2+2) \,\)
- \(f(x) = (x^4-12x)(3x^2+2x) \,\)
- \(f(x) = (2x^7-x)(3x+1) \,\)
- \(f(x) = (3x^2+3)(2x+7)\,\)
- \(f(x) = 3x^2(7x^2+1)^4 \,\)
- \(f(x) = x^3(21x^2-x+4)^4 \,\)
- \(f(x) = 4x^2(x^3-x+1)^3 \,\)
- \(f(x) = (5-x)^6(6+2x)^4 \,\)
- Oblicz pochodne następujących funkcji:
- \(f(x) = \frac{3x+1}{x+5} \,\)
- \(f(x) = \frac{5x^4+2x +2}{3x^2+1} \,\)
- \(f(x) = \frac{x^\frac{4}{2}+1}{x+2} \,\)
- \(d(u) = \frac{u^3+2}{u^4} \,\)
- \(f(x) = \frac{x^2+x}{6x-1} \,\)
- \(f(x) = \frac{x-1}{2x^2+2x+3} \,\)
- \(f(x) = \frac{16x^4+2x^2}{x} \,\)
- \(f(x) = \frac{9x^3+2}{5x+5} \,\)
- \(f(x) = \frac{(3x-2)^2}{x^{1/2}} \,\)
- \(f(x) = \frac{ x^{1/3}}{2x-1} \,\)
- \(f(x) = \frac{ 5x-3}{x+2} \,\)
- \(f(x) = \frac{ 4x-3}{2x-1} \,\)
- \(f(x) = \frac{ x^2}{x+3} \,\)
- \(f(x) = \frac{ x^6}{3+x} \,\)
- \(f(x) = \frac{2x+1}{\sqrt{2x+2}} \,\)
- \(f(x) = \sqrt{2x^2+1}(3x^4+2x)^2 \,\)
- \(f(x) = \frac{2x+3}{(x^4+4x+2)^2} \,\)
- \(f(x) = \sqrt{x^3+1}(x^2-1) \,\)
- \(f(x) = ((2x+3)^4 + 4(2x+3) +2)^2 \,\)
- \(f(x) = \sqrt{1+x^2} \,\)
- \(f(x) = e^{e^{2x^2+1}}\)
- \(f(x) = e^{2x^2+3x}\)
- \(f(x) = (3x^2+e)e^{2x}\,\)
- \(f(x) = \ln(2x^2+3x)\,\)
- \(f(x) = \log_4 x + 2\ln x\,\)
- Oblicz granicę funkcji wykorzystując regułę de l’Hospitala
- \(\lim_{x \to 0}\frac{x+\tan x}{\sin x}\)
- \(\lim_{x \to \pi}\frac{x-\pi}{\sin x}\)
- \(\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{\sin 4x}\)
- \(\lim_{x \to \infty}\frac{x^5}{e^{5x}}\)
- \(\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - x}{\sin x - x}\)