Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Logika wnioskowania w podejmowaniu decyzji

W niniejszym rozdziale poddamy się próbie sprawdzenia naszej umiejętności wnioskowania logicznego. Na ogół każdy z nas sądzi, że potrafi kierować się regułami logiki. Niestety czasami nasze intuicje zawodzą i dlatego warto zastanowić się, czy wypowiadane przez nas zdania, twierdzenia czy wnioski są rzeczywiście poprawne na gruncie logiki. Aby czytelnik nie nudził się czytając abstrakcyjne reguły wnioskowania (tautologie logiczne) założymy, że są nam one a priori znane oraz zadamy kilkanaście pytań mających ma celu zbadanie tej znajomości. Jeśli z jakimiś pytaniami pojawią się problemy, czytelnik będzie miał okazję zapoznać się z ich omówieniem i w ten sposób lepiej zrozumieć leżące u ich podstaw reguły.

Proszę zatem przeczytać i odpowiedzieć na poniższe pytania wypisując na kartce papieru wszystkie możliwe opcje odpowiedzi, np. 1.1, 1.2, 1.3 i 1.4 oraz zakreślając te, które naszym zdaniem są prawidłowe a skreślając nieprawidłowe. W jednym pytaniu może być kilka prawidłowych i kilka nieprawidłowych odpowiedzi. Odpowiadając na pytania należy wykorzystywać jedynie reguły logicznego wnioskowania. Nie należy sugerować się inną wiedzą, którą posiadamy na tematy w nich poruszane. Nie należy się spieszyć i warto dobrze zastanowić się nad każdym pytaniem. Niektóre z nich mogą ci się wydać łatwe ale niekoniecznie pierwsza, narzucająca się odpowiedź jest prawidłowa.

1. Wszystkie kangury są torbaczami, wszystkie torbacze są ssakami. Istnieją ssaki żyjące w Australii i niektóre kangury żyją na drzewach. Można z tego wywnioskować, że:

a) kangury nadrzewne żyją w Australii,

b) wszystkie torbacze żyją na drzewach,

c) kangury australijskie są torbaczami,

d) wszystkie ssaki torbacze są kangurami.

2. Jeśli nie jest prawdą, że w Banku Melmańskim odsetki są kapitalizowane tygodniowo i stopa procentowa lokat jest większa od stopy procentowej kredytów, to znaczy to dokładnie tyle, że w Banku Melmańskim:

a) odsetki nie są kapitalizowane tygodniowo i stopa procentowa lokat nie jest większa od stopy procentowej kredytów,

b) odsetki nie są kapitalizowane tygodniowo lub stopa procentowa lokat nie jest większa od stopy procentowej kredytów,

c)odsetki są kapitalizowane tygodniowo ale stopa procentowa lokat nie jest większa od stopy procentowej kredytów,

d) dyrektor banku zwariował.

3. Jeśli nie jest prawdą, że ten czek jest potwierdzony lub sfałszowany to znaczy dokładnie tyle co:

a) ten czek nie jest ani potwierdzony ani sfałszowany,

b) ten czek nie jest potwierdzony lub nie jest sfałszowany,

c) ten czek jest potwierdzony i nie sfałszowany,

d) ten czek ma sfałszowane potwierdzenie.

4. Zdanie - jeśli przeczytałeś Kubusia Puchatka to poznałeś Prosiaczka - oznacza dokładnie tyle co:

a) jeśli nie przeczytałeś Kubusia Puchatka to nie poznałeś Prosiaczka,

b) jeśli nie przeczytałeś Kubusia Puchatka to poznałeś Prosiaczka,

c) jeśli nie poznałeś Prosiaczka to znaczy, że nie przeczytałeś Kubusia Puchatka,

d) Jeśli poznałeś Prosiaczka to znaczy, że przeczytałeś Kubusia Puchatka.

5. Jeśli nie jest prawdą że Jaś nie lubi szpinaku to znaczy to że:

a) Jaś lubi rzodkiewkę,

b) Jaś lubi szpinak,

c) Jaś lubi wszystkie warzywa.

6. Wybierz zdanie(a), które niezależnie od daty urodzenia Jasia są zawsze prawdziwe:

a) Jaś Fasola urodził się w czwartek,

b) Jaś Fasola urodził się we wtorek lub w inny dzień tygodnia,

c) Jaś Fasola urodził się w szpitalu lub na ulicy,

d) Jaś Fasola urodził się w środę albo się w ogóle nie urodził.

7. Wiedząc, że w kartach kiery i kara to kolory czerwone, trefle i piki czarne a blotki to wszystkie karty poza figurami, wybierz zdania prawdziwe:

a) jeśli ta karta jest kierem to jest kolorem czerwonym,

b) jeśli ta karta jest kierem to jest kolorem czerwonym lub czarnym,

c) jeśli ta karta jest kierem to jest figurą lub blotką (nie figurą).

8. Zdanie: Jasiu, jeśli będziesz grzeczny to Mikołaj przyniesie Ci rower, znaczy dokładnie tyle co zdanie:

a) Jasiu, będziesz grzeczny lub Mikołaj nie przyniesie Ci roweru,

b) Jasiu, będziesz niegrzeczny i Mikołaj przyniesie Ci rózgę,

c) Jasiu, będziesz niegrzeczny lub Mikołaj przyniesie Ci rower,

d) Jasiu, będziesz grzeczny i Mikołaj przyniesie Ci rower.

9. Jeśli nie jest prawdą, że każdy napotkany dziś przechodzień nosił okulary, to znaczy dokładnie że:

a) każdy napotkany dziś przechodzień był krótkowidzem,

b) każdy napotkany dziś przechodzień był bez okularów,

c) spotkałem dziś przechodnia w okularach,

d) spotkałem dziś przechodnia bez okularów.

10. Poniższe zdania są implikacjami, pierwsza ich część, po słowie jeśli..., jest założeniem z którego ma wynikać część druga, po słowie to... . Niezależnie od Twojej wiedzy na temat ryb powiedz czy następujące zdania są prawdziwe:

a) jeśli założymy, że istnieją latające rybki i, że istnieją złote rybki to wynika z tego, że istnieją złote rybki które latają,

b) jeśli założymy, że istnieją złote rybki które latają to wynika z tego, że istnieją latające rybki i istnieją złote rybki.

11. Niezależnie od Twojej wiedzy na temat lwów, powiedz czy te implikacje są prawdziwe:

a) jeśli założymy, że każdy lew ma grzywę lub, że każdy lew nie ma grzywy to każdy lew ma grzywę lub jej nie ma,

b) jeśli założymy, że każdy lew ma grzywę lub jej nie ma to każdy lew ma grzywę lub każdy lew nie ma grzywy.

12. Czy są prawdziwe implikacje:

a) jeśli założymy, że każdy dalekowidz może sobie dobrać odpowiednie okulary to istnieje para okularów odpowiednia dla każdego dalekowidza,

b) jeśli założymy, że istnieje para okularów odpowiednia dla każdego dalekowidza to każdy dalekowidz może sobie dobrać odpowiednie okulary.

13. Wybierz zdania prawdziwe:

a) jeśli każdy koń mówi to istnieje koń który mówi,

b) jeśli istnieje koń który mówi to każdy koń mówi.

ODPOWIEDZI I WYJAŚNIENIA

Jak już zapisałeś wszystkie swoje odpowiedzi porównaj je z odpowiedziami prawidłowymi. Jeśli miałeś jakieś kłopoty, warto będzie przeczytać podane uzasadnienie odpowiedzi prawidłowych.

1. a), b), c), d)

a) Odp. nieprawidłowa bo z przytoczonych zdań wynika tylko, że w Australii żyją jakieś ssaki, niekoniecznie kangury nadrzewne, które mogą żyć gdzie indziej.

b) Nieprawidłowa gdyż tylko niektóre torbacze są kangurami a niektóre spośród kangurów żyją na drzewach.

c) Prawidłowa bo wszystkie kangury są torbaczami więc w szczególności australijskie.

d) Nieprawidłowa gdyż to wszystkie kangury są ssakami torbaczami ale niekoniecznie odwrotnie.

2. a), b), c), d)

Zdanie w pyt.2 jest koniunkcją dwu zdań (tzn. oba zdania są połączone spójnikiem „i”): "odsetki są kapitalizowane tygodniowo i stopa procentowa lokat jest większa od stopy procentowej kredytów." Zaprzeczenie koniunkcji jest alternatywą zaprzeczeń (tzn. sumą zaprzeczeń połączonych spójnikiem „lub”). Jeśli zaprzeczymy temu zdaniu to nie znaczy to, że ani jedno ani drugie zdania są nieprawdziwe (odp a)). Nie można również powiedzieć że co prawda pierwsze jest prawdziwe ale drugie nie (odp. c). Co do zdrowia psychicznego dyrektora mamy pewne poszlaki ale czysto logiczna analiza zdania wyjściowego nie upoważnia nas do takiej konkluzji. Oczywiście sytuacje a), c) lub d) mogą się zdarzyć ale logiczne zaprzeczenia zdania w pytaniu 2. o tym nie przesądza . Jedyne co wiemy na pewno to odp. b). W języku logiki matematycznej powyższa zasada nosi nazwę prawa de Morgana a zapisujemy ją w postaci wzoru:

\[\neg(p\wedge q) \Leftrightarrow \neg p \vee \neg q\]

gdzie: p oznacza zdanie: odsetki są kapitalizowane tygodniowo, q oznacza zdanie: stopa procentowa lokat jest większa od stopy procentowej kredytów,

\[\neg p\] to zaprzeczenie zdania p \[p\wedge q\] to koniunkcja zdań (p i q) \[p\vee q\] to alternatywa zdań (p lub q) \[p \Leftrightarrow q\] oznacza, że zdania p i q są równoważne.

3. a), b), c), d)

Zdanie któremu tu zaprzeczamy jest alternatywą. Zaprzeczenie alternatywy jest koniunkcją zaprzeczeń. Jeśli nieprawdą jest, że ten czek jest potwierdzony lub sfałszowany to oznacza to, że ani nie jest on potwierdzony ani sfałszowany. Gdyby bowiem zachodziła jedna z tych możliwości to zdanie wyjściowe, że ten czek jest potwierdzony lub sfałszowany byłoby prawdą. Odpowiedzią prawidłową jest zatem a). Zdanie b) wynika ze zdania wyjściowego lecz oznacza ono coś mniej niż to zdanie, nie wiemy bowiem czy zachodzą obie części tej alternatywy. Zdania c) i d) są nieprawdziwe bo omawiany czek nie może być ani potwierdzony ani sfałszowany. Przykład ten ilustruje kolejne prawo de Morgana

\[\neg(p\vee q) \Leftrightarrow \neg p \wedge \neg q\]

znaczenia zdań p i q są tu oczywiste.

4. a), b), c), d)

Wyjściowe zdanie oznacza, że po przeczytaniu Kubusia Puchatka poznaliśmy Prosiaczka. Odpowiedź a) jest nieprawidłowa bo nawet jeśli nie przeczytam Kubusia Puchatka to przecież mogę poznać Prosiaczka z innych książek, np. z Chatki Puchatka lub z telewizji. Z tego powodu również odp. d) jest nieprawidłowa. Odp. b) jest nieprawidłowa z oczywistych powodów. Odp. c) jest prawidłowa bo jeśli nie poznałem Prosiaczka to z pewnością nie przeczytałem Kubusia Puchatka . Przykład ten ilustruje prawidłowość (tautologię) logiczną:

\[(p\Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg p\Rightarrow \neg q) \]

gdzie \(p \Rightarrow q\) oznacza implikację: ze zdania p wynika q lub inaczej p implikuje q.

5. a), b), c)

a) i c) są nieprawidłowe gdyż nic nie wiemy o Jasia stosunku do rzodkiewki czy innych warzyw, b) jest odpowiedzią prawidłową, jest to tzw. prawo podwójnego zaprzeczenia

\[\neg(\neg p) \Leftrightarrow p\].

6) a), b), c), d)

Zdanie, które jest zawsze prawdziwe nie może zależeć od tego kiedy się urodził Jaś Fasola, w szczególności nie musi być prawdą, że urodził się w czwartek (zdanie a)). Również zdanie c), że urodził się w szpitalu lub na ulicy nie musi być prawdą gdyż mógł urodzić się np. w domu. Zdanie d) nie jest prawdą gdyż Jaś mógł się urodzić np. we wtorek. Zdanie b) nie daje nam żadnej informacji kiedy urodził się Jasio ale za to jest zawsze prawdziwe. Ilustruje ono tautologię:

\[p \vee \neg p\]

gdzie p jest dowolnym zdaniem.

7. a), b), c)

Zdanie a) jest prawdziwe bo kiery są czerwone, c) jest zawsze prawdziwe z zasady omówionej w pytaniu 6. Odpowiedź b) jest prawdziwe bo jeśli karta jest czerwona to można również powiedzieć, że jest czerwona lub czarna, zdanie to ilustruje tautologię:

\[p\Rightarrow (p \vee q)\],

gdzie p i q są dowolnymi zdaniami.

8. a), b), c), d)

c) Odp. prawidłowa. Zawsze prawdziwe jest zdanie: Jasiu będziesz niegrzeczny lub będziesz grzeczny, poro zadanie 6. Jeśli nagrodą za bycie grzecznym będzie rower to powyższe zdanie można przeformułować: Jasiu będziesz niegrzeczny lub Mikołaj przyniesie Ci rower.

a) Odp. nieprawidłowa bo ze zdania głównego nie wynika co będzie jeśli Jasiu będzie niegrzeczny (por. pyt.3), w szczególności może wówczas dostać rower. Odpowiedzi b) i d) są nieprawidłowe bo nie wiemy czy Jasiu będzie grzeczny czy nie a oba te zdania orzekają, że któraś z tych sytuacji zajdzie. W zapisie logiki zdanie c) ilustruje tautologię:

\[ p\Rightarrow q \Leftrightarrow \neg p\vee q \]

gdzie p i q są dowolnymi zdaniami.

9. a), b), c), d)

a) Odp. nieprawidłowa bo nic nie wiemy n/t wad wzroku napotkanych przechodniów,

b) Odp. nieprawidłowa bo jeśli nie wszyscy nosili okulary to ktoś mógł je przecież nosić,

c) Odp. nieprawidłowa bo jednak nie musiał się znaleźć ktoś noszący okulary.

d) Odp. prawidłowa bo fakt, że nie wszyscy nosili okulary znaczy dokładnie tyle, że ktoś ich nie nosił. W zapisie logiki:

\[ \neg \forall_{x} \Phi(x) \Leftrightarrow \exists_{x} \neg \Phi(x)\]

gdzie \(\Phi(x)\) oznacza zdanie: napotkany przechodzień x nosił okulary, \(\forall_{x} \Phi(x)\), że wszyscy napotkani przechodnie nosili okulary a \(\exists_{x} \Phi(x)\), że istniał (był choćby jeden) przechodzień noszący okulary.

10. a), b)

a) Implikacja jest fałszywa bo jeśli są złote rybki i są latające rybki to wcale nie muszą istnieć złote rybki które jednocześnie latają; b) implikacja jest prawdziwa bo jeśli byłyby złote rybki które latają to oznacza, że byłyby rybki latające i złote rybki. Zadanie b) to ilustruje tautologię:

\[ \exists_{x} [\Phi(x) \wedge \Theta(x)] \Rightarrow [\exists_{x} \Phi(x) \wedge \exists_{x}\Theta(x)]\]

gdzie \(\Phi(x)\) oznacza zdanie: rybka x jest złota,

\[\Theta(x)\] oznacza zdanie: rybka x jest latająca.

odpowiedź a) jest nieprawidłowa gdyż implikacja przeciwna nie zachodzi.

11. a), b)

a) Implikacja jest prawdziwa; b) implikacja jest fałszywa bo z tego, że każdy lew ma grzywę lub jej nie ma (czyli że są lwy z grzywami (samce) i bez nich (samice)) nie wynika ani, że wszystkie lwy mają grzywę ani, że wszystkie jej nie maja. Zadanie to ilustruje tautologię:

\[ [\forall_{x} \Phi(x) \vee \forall_{x}\Theta(x)] \Rightarrow \forall_{x} [\Phi(x) \vee \Theta(x)]\]

gdzie \(\Phi(x)\) oznacza zdanie: lew x ma grzywę,

\[\Theta(x)\] oznacza zdanie: lew x nie ma grzywy;

odpowiedź b) jest nieprawidłowa gdyż implikacja przeciwna nie zachodzi.

12. a), b)

a) Implikacja jest fałszywa bo z tego, że każdy może sobie dobrać okulary nie wynika, że istnieje para okularów dobra dla wszystkich.

b) Implikacja jest prawdziwa bo gdyby istniała para okularów dobra dla wszystkich to oczywiście każdy mógłby sobie dobrać te właśnie okulary dla siebie. Fakt ten ilustruje tautologię:

\[ \exists_{x} \forall_{y} \Phi(x,y) \Rightarrow \forall_{y} \exists_{x} \Phi(x,y) \]

gdzie \(\Phi(x,y)\) oznacza zdanie: okulary x są dobre dla dalekowidza y,

13. a), b)

a) Zdanie jest prawdziwe bo z tego, że wszystkie konie mówią wynika, że istnieje jakiś koń który mówi.

b) Zdanie nieprawdziwe bo nawet gdyby jakiś koń potrafił mówić to nie znaczyłoby to, że wszystkie konie opanowały tę sztukę. Zdanie to ilustruje fakt, że zachodzi tylko następujące wynikanie z lewej w prawą stronę:

\[ \forall_{x} \Phi(x) \Rightarrow \exists_{x} \Phi(x) \]

gdzie \(\Phi(x)\) oznacza zdanie: koń x potrafi mówić.