Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Trójkąt prostokątny to trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty. Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.
Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można przedstawić jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego (Rys 1).
- sinus – oznaczany \(\sin\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\;\) i długości przeciwprostokątnej \(c\;\);
- cosinus – oznaczany \(\cos\;\) – stosunek długości przyprostokątnej przyległej \(b\;\) do kąta \(\alpha\;\) i przeciwprostokątnej \(c\;\);
- tangens – oznaczany \(\operatorname{tg}\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\;\) i długości przyprostokątnej \(b\;\) przyległej do tego kąta;
- cotangens (kotangens) – \(\operatorname{ctg}\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(b\) przyległej do kąta \(\alpha\) i długości przyprostokątnej \(a\) leżącej naprzeciw tego kąta.
Należy pamiętać, że kąt ostry ma miarę większą od \(0^o\), lecz mniejszą od \(90^o\).
Zależności między długościami boków trójkąta prostokątnego, a kątem ostrym \(\alpha \) są dane następującymi wzorami:
\(\sin \alpha = \frac{a}{c}\):
\(\cos \alpha = \frac{b}{c}\):
\(\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}\):
\(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a}\).
Spis treści |
Miara łukowa kąta
Miara łukowa kąta jest wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu
-
- \(\alpha =\frac{l}{r}\)
gdzie
- α – rozpatrywany kąt,
- l – długość łuku,
- r – promień okręgu, którego wycinkiem jest łuk.
Jednostką tak zapisanego kąta jest radian (1 rad).
Wartości funkcji trygonometrycznych dla typowych wartości kątów
| radiany | \(0\;\) | \(\frac{\pi}{12}\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{5\pi}{12}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| stopnie | \(0^\circ\;\) | \(15^\circ\;\) | \(30^\circ\;\) | \(45^\circ\;\) | \(60^\circ\;\) | \(75^\circ\;\) | \(90^\circ\;\) |
| \(\sin\;\) | \(0\;\) | \( \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \) | \( \tfrac{1}{2} \) | \( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \) | \(1\;\) |
| \(\cos\;\) | \(1\;\) | \( \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \) | \( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \tfrac{1}{2} \) | \( \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \) | \(0\;\) |
| \(\operatorname{tg}\;\) | \(0\;\) | \( 2-\sqrt{3} \) | \( \tfrac{\sqrt{3}}{3} \) | \(1\;\) | \( \sqrt{3} \) | \( 2+\sqrt{3} \) | nieokreślony |
| \(\operatorname{ctg}\;\) | nieokreślony | \( 2+\sqrt{3} \) | \( \sqrt{3} \) | \(1\;\) | \( \tfrac{\sqrt{3}}{3} \) | \( 2-\sqrt{3} \) | \(0\;\) |
Dodatek - Przydatne tożsamości trygonometryczne
Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny (nie tylko dla kątów ostrych) to tzw. tożsamości trygonometryczne. Często używane są:
- jedynka trygonometryczna:
- \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,\)
- tangens i kotangens wyrażony za pomocą sinusa i cosinusa:
- \(\begin{align} \operatorname{tg}\ \alpha & =\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\ \operatorname{ctg}\ \alpha & =\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},\ \alpha\neq k\pi \end{align},\quad k\in\mathbb{C}\)
- sinus i cosinus sumy/różnicy kątów:
- \(\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,\)
- \(\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \,\)
- suma i różnica sinusów i cosinusów:
- \(\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta } 2 \)
- \(\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha - \beta } 2\)
- \(\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \sin \tfrac {\alpha - \beta } 2\)
- sinus i cosinus podwojonego argumentu:
- \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \,\)
- \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha= 2\cos^2\alpha - 1 = 1 -2\sin^2\alpha \)
- iloczyny sinusa i cosinusa
- \(\cos \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)} 2\)
- \(\sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)} 2\)
- \(\sin \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)} 2\)
- wzory łączące funkcje trygonometryczne:
- \(\sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)\)
- \(\cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)\)
- \(\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,\)
- \(\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,\)
- \(\begin{matrix} \sin^2 \alpha = & 1-\cos^2 \alpha= & \tfrac{\operatorname{tg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \cos^2 \alpha = & 1-\sin^2 \alpha= & \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \operatorname{tg}^2\ \alpha = & \tfrac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}= & \tfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \operatorname{ctg}^2\ \alpha = & \tfrac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}= & \tfrac{\cos^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\ \alpha} \end{matrix}\)
Funkcje trygonometrycznych dla dowolnych kątów
W rozdziale tym wprowadziliśmy opis funkcji trygonometrycznych dla katów ostrych. Funkcje trygonometryczne można zdefiniować dla dowolnego kąta \(\alpha\) co przedstawione jest na Rys. 2.
Na tym rysunku (Rys. 2) wierzchołek kąta pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, a pierwsze ramię kąta - z dodatnią półosią \(OX\). Wtedy \(\cos \alpha\) oraz \(\sin \alpha\) to odpowiednio odcięta i rzędna punktu \(P\) przecięcia drugiego ramienia kąta z okręgiem jednostkowym; \(\operatorname{tg} \alpha\) jest rzędną punktu \(Q\) przecięcia tego ramienia ze styczną pionową do okręgu wystawioną w punkcie \((1,0)\), a \(\operatorname{ctg}\alpha\) - odciętą punktu \(R\) przecięcia ramienia kąta ze styczną poziomą wystawioną w punkcie \((0,1)\). Kąt \(\alpha\) jest dowolny, przy czym np. przy wyznaczaniu wartości tangensa dla kąta \(\alpha\) w II. albo III. ćwiartce trzeba przedłużyć ramię kąta w dół albo w górę do przecięcia ze styczną (analogicznie postępuje się przy wyznaczaniu cotangensa dla kąta w III. albo IV. ćwiartce).