Processing math: 0%
MKZR:Modelowanie dynamiki instrumentów pochodnych

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
m (Rozwiązanie analityczne)
m (Rozwiązanie analityczne)
Linia 56: Linia 56:
<math>d \log(X(t)) = (\mu-\frac{1}{2}\sigma^2) dt + \sigma d W(t)\,</math>.
<math>d \log(X(t)) = (\mu-\frac{1}{2}\sigma^2) dt + \sigma d W(t)\,</math>.
-
Tak więc geometryczny proces Wienera jest równoważny procesowi Wienera z dryfem dla log(X(t)). Gęstośc pradwopodobieństwo  przejścia ze stanu <math>x(t_0)</math> do <math>x(t)</math> w czasie <math>t-t_0</math> dla procesu Wienera  z dryfem <math>Y(t)=log(X(t))</math> wynosi:
+
Tak więc geometryczny proces Wienera jest równoważny procesowi Wienera z dryfem dla <math>log(X(t))</math>. Gęstośc pradwopodobieństwo  przejścia ze stanu <math>x(t_0)</math> do <math>x(t)</math> w czasie <math>t-t_0</math> dla procesu Wienera  z dryfem <math>Y(t)=log(X(t))</math> wynosi:
 +
 
<math>P_y(y,t|y_0,t_0)= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2 t}} e^{-\displaystyle\frac{(y-(\mu-1/2\sigma^2)^2}{2\sigma^2t}}</math>
<math>P_y(y,t|y_0,t_0)= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2 t}} e^{-\displaystyle\frac{(y-(\mu-1/2\sigma^2)^2}{2\sigma^2t}}</math>
 +
Korzystając ze reguł transformacji zmiennych losowych dla funkcji log, która jest różnowartościowa:
 +
<math>P_y(y)=\frac{P_x(x)}{|g'(x)|}</math>
 +
mamy:
 +
<math>P_x(x)= \frac{P_y(log(x))}{|x|}</math>
-
<math>f_y(y)=\frac{f_x(x_1)}{|g'(x_1)|}+...+ \frac{f_x(x_n)}{|g'(x_n)|}</math>
+
tak więc otrzymujemy formułę:
 +
:<math>P_x(x,t|x_0,t_0)= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2 t x^2}} e^{-\displaystyle\frac{(log(x/x_0)-(\mu-1/2\sigma^2)^2}{2\sigma^2t}}</math>

Wersja z 15:09, 8 maj 2010

Spis treści

[ukryj]

Geometryczny proces Wienera

Definicja

Geometryczny proces Wienera jest procesem losowym, który jest rozwiązaniem równania stochastycznego Ito:

.

Geometryczny proces Wienera, dwadzieścia trajektorii. Widoczny jest eksponencjalny wzrost zmiennej losowej z pewnymi fluktuacjami.

Część deterministyczna część tego równania jest liniowa, podobnie jak w przypadku Ornsteina-Uhlenbecka. Rozwiązanie dla przypadku \sigma=0 wyraża się w postaci eksponencjalnej

x(t)\simeq e^{\mu t},

Symulacja numeryczna

Człon stochastyczny jest proporcjonalny o wartości procesu, czyli mamy do czynienia z tzw. "szumem multiplikatywnym". Ponieważ równanie jest w interpretacji Ito, moża je bezpośrednio rozwiązać numerycznie. Interpretacja Ito dla \sigma X(t) d W(t) oznacza, że w schemacie aproxymacyjnym bierzemy wartość procesu X(t) "przed skokiem". W takim przypadku możemy zastosować schemat numeryczny Eulera podobnie jak np. dla procesu Ornsteina-Uhlenbecka. Krok czasowy może być zapisany w postaci wektorowej jako:

  x(:,i)=x(:,i-1) + mu*x(:,i-1)*h + sigma*sqrt(h)*x(:,i-1).*normrnd (0,1,M,1);

Jako warunek początkowy dla symulacji należy przyjąć wartość x>0. Łatwo zauważyć własność równania definiującego proces, że startując w x(0)=0 rozwiązaniem jest funkcja stała x(t)=0. Poniższy program generuje 20 trajektori geometrycznego procesu Wienera:

clear all
close all
N=400;
M=20;
T=14;
h=T/N;
clear x
x=zeros(M,N);
x(:,1)=1*ones(M,1); # log(1)=0
sigma=.1;
mu=0.1;
for i=2:N
  x(:,i)=x(:,i-1) + mu*x(:,i-1)*h + sigma*sqrt(h)*x(:,i-1).*normrnd (0,1,M,1);
endfor
plot((1:N)*h,x,'r-')


Rozwiązanie analityczne

Równanie definiujące geometryczny proces Wienera można przetransformować do równania na proces Wienera z dryfem. Transformacją jest:

Y=\log(X).

Łatwo to zauważyć dzieląc równanie przez x(t) i korzystając z faktu, że

d log(X)= dX/X

i korzystając z formuły Ito na dla funkcji log(x) otrzymujemy:

otrzymujemy:

d \log(X(t)) = (\mu-\frac{1}{2}\sigma^2) dt + \sigma d W(t)\,.

Tak więc geometryczny proces Wienera jest równoważny procesowi Wienera z dryfem dla log(X(t)). Gęstośc pradwopodobieństwo przejścia ze stanu x(t_0) do x(t) w czasie t-t_0 dla procesu Wienera z dryfem Y(t)=log(X(t)) wynosi:

P_y(y,t|y_0,t_0)= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2 t}} e^{-\displaystyle\frac{(y-(\mu-1/2\sigma^2)^2}{2\sigma^2t}}

Korzystając ze reguł transformacji zmiennych losowych dla funkcji log, która jest różnowartościowa:

P_y(y)=\frac{P_x(x)}{|g'(x)|}

mamy:

P_x(x)= \frac{P_y(log(x))}{|x|}

tak więc otrzymujemy formułę:

P_x(x,t|x_0,t_0)= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2 t x^2}} e^{-\displaystyle\frac{(log(x/x_0)-(\mu-1/2\sigma^2)^2}{2\sigma^2t}}


Rozkład P(x,t) dla geometrycznego procesu Wienera w czterech następujących po sobie chwilach t = 0.7,3.5,6.2,9.1. Widać rozmywanie się piku zgodnie z odpowiednim rozkładem logarytmicznie normalnym.



clear all
close all
N=100;
M=20000;
T=14;
h=T/N;
clear x
x=zeros(M,N);
x(:,1)=1*ones(M,1); # log(1)=0
sigma=.1;
mu=0.1;
 
for i=2:N
  x(:,i)=x(:,i-1) + mu*x(:,i-1)*h + sigma*sqrt(h)*x(:,i-1).*normrnd (0,1,M,1);
endfor
 
hold on
for idx=1:4
  n=5+(idx-1)*20;
  t=n/N*T
  xmax=5;
  h1=.1;
  hist(x(:,n),[0:h1:xmax],1/h1)
  fplot(@(xx) lognpdf(xx,(mu-0.5*sigma^2)*t,sigma*sqrt(t)),[0.0,xmax],200,'ro-')
endfor
hold off


Procesy