Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→Schemat Eulera-Maruyamy dla równań stochastycznych) |
(→Schemat Eulera-Maruyamy dla układu równań stochastycznych) |
||
| Linia 57: | Linia 57: | ||
gdzie <math>W^i(t),\;W^j(t)</math> są niezależnymi procesami Wienera dla <math>i\neq j</math>, | gdzie <math>W^i(t),\;W^j(t)</math> są niezależnymi procesami Wienera dla <math>i\neq j</math>, | ||
| - | <math>F^i</math> oznacza wektor | + | <math>F^i</math> oznacza wektor dryftu a <math>G^{i,j}</math> jest macierzą <math>n \times n</math> funkcji. |
Wtedy schemat Eulera-Maruyamy ma postać: | Wtedy schemat Eulera-Maruyamy ma postać: | ||
| - | <math> X^j(t_i) = X^j(t_{i-1}) + F^j (\mathbf X(t_{i-1}), t_{i-1}) h + \sqrt{h} \sum_{k=1}^{n} G^{j,k}(\mathbf X(t), t) N^k(0,1)\; </math> | + | :<math> X^j(t_i) = X^j(t_{i-1}) + F^j (\mathbf X(t_{i-1}), t_{i-1}) h + \sqrt{h} \sum_{k=1}^{n} G^{j,k}(\mathbf X(t), t) N^k(0,1)\; </math> |
=== Schemat Milsteina === | === Schemat Milsteina === | ||
Wersja z 20:35, 31 mar 2016
Spis treści[ukryj] |
Stochastyczne równania różniczkowe
W tym rozdziale zostaną opisane metody numeryczne, które służa do rozwiązywania stochastycznych równań różniczkowych typu:
gdzie F i G to dowolne funkcje, a \Gamma(t) jest procesem losowym. Najczęstszym przypadek to taki w którym \Gamma(t) to biały szum Gaussowski. Tak zapisane równanie nie jest precyzyjnie określone ze względu na dylemat Stratonowicza-Ito. Dlatego poprawne jest zapisanie równanie Ito w postaci:
dX(t)= F(X(t), t)dt + G(X(t), t) dW(t)\;
Nie zmienia to ogólności, gdyż jak wiadomo każde równanie zapisane w interpretacji Stratonowicza ma swój odpowiednik Ito. Dla potrzeb metod numerycznych będziemy rozpatrywać zawsze równania Ito, a jeśli pojawią się równania Stratonowicza to będziemy je transpormować do postaci Ito.
Schemat Eulera-Maruyamy dla równań stochastycznych
Najprostszą metodą aproksymacji numerycznej równania stochastycznego jest podobnie jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych jest schemat Eulera. Część deterministyczną równania stochastycznego traktujemy w taki sam sposób jak w schemacie Eulera dla równań różniczkowych zwyczajnych. Niech h oznacza krok całkowania i oś czasowa będzie zdyskretyzowana na przedzialy t_{i-1},t_{i},t_{i+1} oraz h=t_{i}-t_{i-1}. Wtedy część deterministyczna równania stochastycznego przyjmuje postać:
X(t_i) = X(t_{i-1}) + \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} F(X(t), t) dt \simeq X(t_{i-1}) + F(X(t_{i-1}, t_{i-1}) h
Aby całkować część stochastyczną potrzebujemy formuły na przyrost skończony procesu Wienera:
\int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt =\;\int_{t_{i-1}}^{t_{i}} dW(t) = W(t_{i})-W(t_{i-1})
Wiemy, że proces Wienera jest procesem o przyrostach niezależnych, które są gaussowską zmienna losową o zerowej wartości średniej i wariancji 2(t_{i} − t_{i-1})=2 h.
Tak więc widać, że w schemacie Eulera całkę typu \int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt należy zastąpić w każdym kroku całkowania gaussowską zmienną losową o wariancji proporcjonalnej do kroku całkowania h. Ponieważ z reguły dysponujemy gaussowskich generatorem liczb losowych o jednostkowej wariancji N(0,1), można zapisać:
\int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \Gamma(t) dt = \sqrt{2 h} N(0,1)
Ten zapis pokazuje też ważną cechę przy obliczaniu aproksymacji rozwiązań stochastycznych - najniższy rząd w h jest nie O(h) ale O(h^{1/2}).
Ponadto z takiego sformułowania widać też, że zmiany procesu Wienera w stosunku do przyrostów czasu są rozbieżne w granicy h\to 0.
Korzystając w powyższych faktów, możemy zapisać pełny schemat Eulera-Maruyamy dla równania stochastycznego (Ito):
X(t_i) = X(t_{i-1}) + F(X(t_{i-1}, t_{i-1}) h + \sqrt{h}G(X(t_{t-1}), t_{t-1}) N(0,1).
Gaussowskie zmienne losowe możemy otrzymać np. korzystając z algorytmu Box-a Mullera.
Schemat Eulera-Maruyamy dla układu równań stochastycznych
Schemat Eulera-Maruyamy można uogólnić na układy równań stochastycznych. Niech \mathbf X(t) będzie wektorem o składowych \mathbf X(t)=( X^1(t),X^2(t),...,X^n(t)). Układ równań stochastycznych (Ito) można zapisać w ogólnej postaci:
d X^i(t)= F^i(\mathbf X(t), t)dt + \sum_{j=1}^{n} G^{i,j}(\mathbf X(t), t) dW^j(t)\;\; j=1,2,...,n,
gdzie W^i(t),\;W^j(t) są niezależnymi procesami Wienera dla i\neq j, F^i oznacza wektor dryftu a G^{i,j} jest macierzą n \times n funkcji.
Wtedy schemat Eulera-Maruyamy ma postać:
X^j(t_i) = X^j(t_{i-1}) + F^j (\mathbf X(t_{i-1}), t_{i-1}) h + \sqrt{h} \sum_{k=1}^{n} G^{j,k}(\mathbf X(t), t) N^k(0,1)\;
Schemat Milsteina
Schemat Milsteina jest dany wzorem interacyjnym:
\displaystyle X(t_i) = X(t_{i-1}) + F(X(t_{i-1}, t_{i-1}) h - \frac{1}{2}G(X(t_{i-1},t-1)G'(X(t_{i-1},t-1) h + \sqrt{h}G(X(t_{t-1}), t_{t-1}) N(0,1).
W stosunku do schematy Eulera-Maruyamy zawiera on dodatkowy składnik, proporcjonalny do O(h):
- \frac{1}{2}G(X(t_{i-1},t-1)G'(X(t_{i-1},t-1) h.
Ta poprawka powoduje, że powyższy schemat jest pierwszego rzędu w sensie silnym w przeciwieństwie do schematu Eulera-Maruyamy, ktry jest rzędu 1/2.