|
|
(Nie pokazano 181 wersji pomiędzy niniejszymi.) |
Linia 1: |
Linia 1: |
- | == Generowanie liczb losowych ==
| + | __NOTOC__ |
- | == Symulacje procesów losowych dyskretnych i ciągłych ==
| + | [[Category:MKZR|000]] |
- | == Szum dychotomiczny == | + | === Wstęp === |
- | == Proces Poissona ==
| + | [[Image:Frankfurt.jpg|thumb|Giełda (Frankfurt-Main)]] |
- | '''Ruchy Browna''' to chaotyczne ruchy cząstek w [[Płyn|płynie]] ([[Ciecz|cieczy]] lub [[Gaz|gazie]]), wywołane zderzeniami zawiesiny z cząsteczkami płynu.
| + | |
| | | |
- | W [[1827]] roku brytyjski biolog [[Robert Brown (botanik)|Robert Brown]] obserwując przez [[mikroskop]] pyłki kwiatowe w zawiesinie wodnej dostrzegł, iż znajdują się one w nieustannym, chaotycznym ruchu.
| + | ''Komputer? Sam? Już panu tłumaczyłem, że on jest głupi. ([http://pl.wikiquote.org/wiki/Stanis%C5%82aw_Lem Stanisław Lem])'' |
| | | |
- | Ruchy Browna obserwuje się dla mikroskopijnych, mniejszych niż mikrometr, cząstek zawiesiny bez względu na ich rodzaj. Cząsteczki poruszają się ciągle a ich ruch nie słabnie. Prędkość ruchu jest większa dla mniejszych cząstek i wyższej temperatury.
| + | ===Wymagania=== |
| | | |
- | ==Opis ruchów Browna==
| + | * znajomość języka programowania Matlab (GNU/Octave), na poziomie kursu [[Programowanie]] |
- | Autorami teorii ruchów Browna byli niezależnie [[Albert Einstein]] (w [[1905]] roku) i [[Marian Smoluchowski]]<ref>http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/pmf/pmf25/pmf2517.pdf M Smoluchowski ''O fluktuacyach termodynamicznych i ruchach Browna'', [[Prace matematyczno-fizyczne]] 1914 r.</ref> (w [[1906]]). Obaj naukowcy zauważyli, że przypadkowe błądzenie pyłków jest wywołane bombardowaniem ich przez cząsteczki wody. Cząsteczki wody są dużo mniejsze, jest ich wiele oraz poruszają się bardzo szybko. Różnice w prędkości ruchu oraz liczby uderzających cząsteczek z poszczególnych stron są przyczyną ruchów drobin pyłku w cieczy. Smoluchowski stwierdził jednak, że za przesunięcia cząsteczek odpowiedzialne jest nie tyle bombardowanie, ile raczej [[fluktuacja|fluktuacje]] ich gęstości w bezpośrednim sąsiedztwie zawiesiny. Na tej drodze [[Paul Langevin]] rozwinął [[dynamika (fizyka)|dynamikę]] [[proces stochastyczny|stochastyczną]].
| + | * znajomość metod numerycznych na poziomie podstawowym |
| | | |
- | Matematycznym modelem fizycznego zjawiska ruchów Browna jest [[proces Wienera]], który może być zastosowany do modelowania również w innych dziedzinach wiedzy, np. ekonomii.
| + | === Spis treści === |
| | | |
- | ==Przykłady ruchów Browna==
| |
| | | |
- | *cząsteczki tłuszczu na mleku | + | # [[MKZR:Liczby losowe|Liczby losowe]] |
- | *pyłek kwiatowy na wodzie | + | #* Generacja liczb losowych: liczby o rozkładzie jednostajnym |
- | *mgła | + | #* Liczby o zadanym rozkładzie |
- | *rozpylone w powietrzu perfumy | + | # [[MKZR:Symulacje procesów losowych dyskretnych|Symulacje procesów losowych dyskretnych]] |
- | *krople tuszu na wodzie | + | #* Próby i schemat Bernoulliego |
| + | #* Proces Poissona |
| + | #* Proces urodzin i śmierci |
| + | #* Błądzenie przypadkowe |
| + | # [[MKZR:Stochastyczne równania różniczkowe|Stochastyczne równania różniczkowe]] |
| + | #* Schemat Eulera-Maruyamy dla równań stochastycznych |
| + | #* Schemat Eulera-Maruyamy dla układu równań stochastycznych |
| + | #* Schemat Milsteina |
| + | # [[MKZR:Numeryczne rozwiązania równań stochastycznch-przykłady|Numeryczne rozwiązania równań stochastycznch: Przykłady]] |
| + | #* Proces Wienera |
| + | #* Proces Wienera: rozkład P(x,t) |
| + | #* Niesymetryczny Proces Wienera: dyfuzja ze stałym dryftem |
| + | #* Dyfuzja z dryftem: rozkład P(x,t) |
| + | #* Proces Ornsteina Uhlenbecka |
| + | #* Geometryczny proces Wienera |
| + | # [[MKZR:Modelowanie dynamiki instrumentów pochodnych|Modelowanie dynamiki instrumentów pochodnych]]. |
| + | #* Wycena opcji: modele z czasem dyskretnym |
| + | #* Wycena opcji: modele z czasem ciągłym |
| + | #** Model Blacka-Scholesa dla europejskiej opcji kupna |
| + | #** Własności wzorów Blacka-Scholesa |
| + | #** Symulacje Monte Carlo ceny instrumentu pochodnego |
| + | # [[MKZR:Wycena obligacji|Wycena obligacji]]. |
| + | #* Obligacja ze stałym kuponem |
| + | #* Stopa zwrotu w terminie do wykupu (Yield to maturity) |
| + | #* Duration według Macaulay’a |
| + | # [[MKZR:Dodatek|Dodatek - wizualizacja danych]] |
| + | #* Wektoryzacja obliczeń w środowsku matlab/GNU Octave |
| + | #* Histogramy |
| | | |
- | {{przypisy}}
| + | === Literatura === |
- | | + | |
- | ==Zobacz też== | + | |
- | *[[szum brązowy]]
| + | |
- | {{Fizyka stub}}
| + | |
- | | + | |
- | [[Kategoria:Fizyka statystyczna]]
| + | |
- | | + | |
- | [[ar:حركة براونية]]
| + | |
- | [[bg:Брауново движение]]
| + | |
- | [[ca:Moviment brownià]]
| + | |
- | [[cs:Brownův pohyb]]
| + | |
- | [[da:Brownske bevægelser]]
| + | |
- | [[de:Brownsche Bewegung]]
| + | |
- | [[et:Browni liikumine]]
| + | |
- | [[el:Κίνηση Μπράουν]]
| + | |
- | [[en:Brownian motion]]
| + | |
- | [[es:Movimiento browniano]]
| + | |
- | [[eu:Mugimendu Browndarra]]
| + | |
- | [[fr:Mouvement brownien]]
| + | |
- | [[hr:Brownovo gibanje]]
| + | |
- | [[id:Gerak Brown]]
| + | |
- | [[it:Moto browniano]]
| + | |
- | [[he:תנועה בראונית]]
| + | |
- | [[lv:Brauna kustība]]
| + | |
- | [[lt:Brauno judėjimas]]
| + | |
- | [[hu:Brown-mozgás]]
| + | |
- | [[ms:Pergerakan Brown]]
| + | |
- | [[nl:Brownse beweging]]
| + | |
- | [[ja:ブラウン運動]]
| + | |
- | [[no:Brownsk bevegelse]]
| + | |
- | [[nn:Brownsk rørsle]]
| + | |
- | [[pt:Movimento browniano]]
| + | |
- | [[ro:Mişcare browniană]]
| + | |
- | [[ru:Броуновское движение]]
| + | |
- | [[sk:Brownov pohyb]]
| + | |
- | [[sl:Brownovo gibanje]]
| + | |
- | [[sr:Брауново кретање]]
| + | |
- | [[sh:Braunovo kretanje]]
| + | |
- | [[su:Gerak Brown]]
| + | |
- | [[fi:Brownin liike]]
| + | |
- | [[sv:Brownsk rörelse]]
| + | |
- | [[ta:பிரௌனியன் இயக்கம்]]
| + | |
- | [[tr:Brown hareketi]]
| + | |
- | [[uk:Броунівський рух]]
| + | |
- | [[zh:布朗运动]]
| + | |
- | | + | |
- | == Proces Wienera ==
| + | |
- | [[Image:wiener_process_zoom.png|thumb|300px|A single realization of a one-dimensional Wiener process]]
| + | |
- | '''Proces Wienera''' jest [[Proces stochastyczny|procesem stochastycznym]] nazwanym dla uhonorowania osiągnięć matematyka amerykańskiego [[Norbert Wiener|Norberta Wienera]]. Jest też często nazywanym [[Ruchy Browna|ruchem Browna]], gdyż jest modelem matematycznym procesu fizycznego o tej nazwie.
| + | |
- | Proces Wienera jest najbardziej znanym przykładem [[Proces gaussowski|procesu gaussowskiego]], a ponadto jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego procesu [[Proces Levy'ego|procesu Lévy'ego]].
| + | |
- | | + | |
- | == Definicja ==
| + | |
- | [[Proces stochastyczny]] <math>\left\{W_{t}\right\}_{t \geqslant 0}</math> nazywamy '''procesem Wienera''' (standardowym procesem Wienera), gdy spełnia następujące warunki:
| + | |
- | # <math>W_{0}=0</math> z prawdopodobieństwem równym jeden,
| + | |
- | # <math>W</math> ma przyrosty niezależne,
| + | |
- | # <math>\forall_{0 \leqslant s \leqslant t} ~ W_{t}-W_{s} \sim \mathcal{N}(0,t-s)</math>,
| + | |
- | # trajektorie procesu <math>W</math> są ciągłe prawie na pewno (z prawdopodobieństwem 1).
| + | |
- | | + | |
- | == Własności ==
| + | |
- | Proces Wienera jest jednym z najlepiej zbadanych procesów stochastycznych. Oto niektóre z jego własności:
| + | |
- | # Cechy trajektorii - pomimo że zgodnie z założeniem definicji trajektorie procesu Wienera są ciągłe, to nie przejawiają innych regularności. Dowodzi się, że prawie każda trajektoria ma [[Wahanie funkcji|wahanie]] nieskończone, co implikuje, że jest nieróżniczkowalna (w każdym punkcie czasu).
| + | |
- | # Proces Wienera posiada [[Mocna własność Markowa|mocną własność Markowa]].
| + | |
- | # Prawo odbicia - po dojściu do pewnego poziomu trajektoria procesu Wienera z równym prawdopodobieństwem może pójść w dół, jak i do góry. Ściśle, prawo odbicia wyraża się wzorem <math>\mathbb{P}(\sup_{0\leqslant s \leqslant t}W_s >a) = 2 \mathbb{P}(W_t >a) </math>
| + | |
- | # Inwersja - jeśli <math>W_t</math> jest procesem Wienera, to proces <math>V_t = tW_{1/t} \forall_{t>0}</math> i <math>V_0=0</math> też jest procesem Wienera.
| + | |
- | # Prawo iterowanego logarytmu - opisuje asymptotyczne zachowanie się trajektorii (dzięki zastosowaniu inwersji możemy też badać trajektorie w otoczeniu 0). <math>\mathbb{P}(\lim_{t\rightarrow +\infty}\sup\frac{W_t}{\sqrt{2t \log \log t}}=1)=1</math>
| + | |
- | | + | |
- | == Konstrukcja procesu Wienera ==
| + | |
- | Nie jest rzeczą oczywistą, że istnieje proces spełniający warunki podane w definicji. Istnieje kilka dowodów tego faktu. Przedstawiony poniżej najbardziej odpowiada intuicyjnemu rozumieniu procesu jako modelu [[Ruchy Browna|ruchu Browna]]. Rozpatrzmy cząstkę poruszającą się w jednym wymiarze. W każdej jednostce czasu cząstka przemieszcza się o jednostkę odległości albo w lewo albo w prawo z prawdopodobieństwem 1/2. Kierunek poruszania nie zależy od poprzedniego przebiegu ruchu. Odpowiada to sytuacji patrzenia na cząsteczkę w wielkim zbliżeniu i przy zwolnionym czasie. Zmniejszając odpowiednio jednostkę odległości i przyspieszając czas uzyskujemy obraz cząstki wykonującej ruch chaotyczny. Innymi słowy proces Wienera jest "procesem granicznym" dla [[Błądzenie losowe|błądzenia losowego]], przy zmniejszaniu skali czasowej i przestrzennej. W sposób ścisły powyższe rozumowanie ujmuje [[twierdzenie Donskera]].
| + | |
- | | + | |
- | == Proces wielowymiarowy ==
| + | |
- | Standardowy proces Wienera opisany powyżej opisuje błądzenie cząstki, której ruch ograniczony jest do prostej. Proces n-wymiarowy definiujemy następująco: <math>W=(W_1,W_2,\ldots,W_n)</math>, gdzie <math>W_i</math> to niezależne od siebie jednowymiarowe procesy Wienera. Warto wspomnieć, że w przypadku jednowymiarowym prawie każda trajektoria przechodzi przez każdy punkt prostej. Dla procesu dwuwymiarowego prawie każda trajektoria jest [[Zbiór gęsty|gęsta]] na płaszczyźnie, natomiast dla procesów w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów, każda trajektoria jest zbiorem [[Zbiór nigdziegęsty|nigdzie gęstym]].
| + | |
- | | + | |
- | == Zobacz też ==
| + | |
- | * [[Przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],
| + | |
- | * [[Procesy stochastyczne]].
| + | |
- | | + | |
- | {{stub}}
| + | |
- | | + | |
- | [[Kategoria:Cyfrowe przetwarzanie sygnałów]]
| + | |
- | [[Kategoria:Matematyka finansowa]]
| + | |
- | [[Kategoria:Procesy stochastyczne]]
| + | |
- | | + | |
- | [[cs:Wienerův proces]]
| + | |
- | [[de:Wiener-Prozess]]
| + | |
- | [[en:Wiener process]]
| + | |
- | [[fa:فرآیند وینر]]
| + | |
- | [[fr:Processus de Wiener]]
| + | |
- | [[it:Processo di Wiener]]
| + | |
- | [[nl:Brownse beweging (wiskunde)]]
| + | |
- | [[ja:ウィーナー過程]]
| + | |
- | [[ru:Винеровский процесс]]
| + | |
- | [[sv:Wienerprocess]]
| + | |
- | [[uk:Вінерівський процес]]
| + | |
- | | + | |
- | === Ruchy Browna ===
| + | |
- | | + | |
- | == Procesy stabilne ==
| + | |
- | == Symulacje skończenie wymiarowych układów dynamicznych ==
| + | |
- | == Symulacje równań i układów równań stochastycznych ==
| + | |
- | === dyskretyzacja czasu ===
| + | |
- | === stochastyczne rozwinięcie Taylora ===
| + | |
- | === aproksymacja słaba i mocna===
| + | |
- | === metody bezpośrednie ===
| + | |
- | === pośrednie.===
| + | |
- | ==Numeryczne badanie równań „Master”==
| + | |
- | ==Zastosowania==
| + | |
- | == w modelowaniu zjawisk fizyki ==
| + | |
- | == w modelowaniu zjawisk biofizyki ==
| + | |
- | ==w modelowaniu zjawisk socjofizyki==
| + | |
- | ==Przykładowe zastosowania w modelowaniu dynamiki instrumentów pochodnych stóp procentowych. ==
| + | |
- | ==Wizualizacja rozwiązań.==
| + | |
- | == Literatura ==
| + | |
| * A. Janicki, A. Izydorczyk “Komputerowe metody w modelowaniu stochastycznym” WNT | | * A. Janicki, A. Izydorczyk “Komputerowe metody w modelowaniu stochastycznym” WNT |
| * P.L. Kloeden, E. Platen “Numerical solutions of stochastic differential equations” Springer | | * P.L. Kloeden, E. Platen “Numerical solutions of stochastic differential equations” Springer |
| + | * Paolo Brandimarte "Numerical Methods in Finance and Economics: A MATLAB-Based Introduction (Statistics in Practice)" |
| | | |
- | | + | ===Zasoby www=== |
- | | + | * [http://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/ Dokumentacja do GNU Octave] |
- | | + | |
- | == Modelowanie Komputerowe Zjawisk Rynkowych == | + | |
- | tutaj procesy losowe
| + | |
- | == Procesy losowe ==
| + | |
- | tutaj procesy losowe
| + | |
- | | + | |
- | == Metody numeryczne ==
| + | |
- | | + | |
- | <math>\sin x </math> sdf afs
| + | |
- | | + | |
- | asf <math>\sin x </math>
| + | |
- | | + | |
- | <math>\displaystyle\int_0^\infty \sin x dx = 2 \cos x</math>
| + | |
- | | + | |
- | | + | |
| | | |
| ---- | | ---- |
| [[Użytkownik:Marcin|Marcin]] 18:30, 28 wrz 2009 (UTC) | | [[Użytkownik:Marcin|Marcin]] 18:30, 28 wrz 2009 (UTC) |