Processing math: 0%
Trójkąt prostokątny - funkcje trygonometryczne

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
SewerynKowalski (dyskusja | edycje)
(Utworzył nową stronę „Category:KURS MATEMATYKI Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prosto...”)
następna edycja →

Wersja z 14:56, 2 lut 2014

Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego

  • sinus – oznaczany – stosunek długości przyprostokątnej a\; leżącej naprzeciw tego kąta \alpha\; i długości przeciwprostokątnej c\;;
  • cosinus – oznaczany \cos\; – stosunek długości przyprostokątnej przyległej b\; do tego kąta \alpha\; i przeciwprostokątnej c\;;
  • tangens – oznaczany \operatorname{tg}\; – stosunek długości przyprostokątnej a\; leżącej naprzeciw tego kąta \alpha\; i długości przyprostokątnej b\; przyległej do tego kąta;
  • cotangens (kotangens) – \operatorname{ctg}\; – stosunek długości przyprostokątnej b\; przyległej do tego kąta \alpha\; i długości przyprostokątnej a\; leżącej naprzeciw tego kąta

Wzory

\sin \alpha = \frac{a}{c}

\cos \alpha = \frac{b}{c}

\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}

\operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a}

Rys. 1 Trójkat prostokątny

Spis treści

[ukryj]


Miara łukowa kąta

Miara kąta wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu

\alpha =\frac{l}{r}

gdzie

α – rozpatrywany kąt,
l – długość łuku,
r – promień okręgu, którego wycinkiem jest łuk.

Jednostką tak zapisanego kąta jest radian (1 rad). Wymiarem radiana jest jedność

\left[ \operatorname{rad} \right]=1

Wartości dla typowych kątów

radiany 0\; \frac{\pi}{12} \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{5\pi}{12} \frac{\pi}{2}
stopnie 0^\circ\; 15^\circ\; 30^\circ\; 45^\circ\; 60^\circ\; 75^\circ\; 90^\circ\;
\sin\; 0\; \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \tfrac{1}{2} \tfrac{\sqrt{2}}{2} \tfrac{\sqrt{3}}{2} \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} 1\;
\cos\; 1\; \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \tfrac{\sqrt{3}}{2} \tfrac{\sqrt{2}}{2} \tfrac{1}{2} \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} 0\;
\operatorname{tg}\; 0\; 2-\sqrt{3} \tfrac{\sqrt{3}}{3} 1\; \sqrt{3} 2+\sqrt{3} nieokreślony
\operatorname{ctg}\; nieokreślony 2+\sqrt{3} \sqrt{3} 1\; \tfrac{\sqrt{3}}{3} 2-\sqrt{3} 0\;

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:

  • jedynka trygonometryczna:
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,
  • definicja tangensa i kotangensa za pomocą sinusa i cosinusa:
\begin{align} \operatorname{tg}\ \alpha & =\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\ \operatorname{ctg}\ \alpha & =\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},\ \alpha\neq k\pi \end{align},\quad k\in\mathbb{Z}
  • wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów:
\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,
\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \,
  • wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów:
\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta } 2
\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha - \beta } 2
\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \sin \tfrac {\alpha - \beta } 2
  • wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu:
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \,
\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha= 2\cos^2\alpha - 1 = 1 -2\sin^2\alpha
  • wzory na sinus i cosinus połowy argumentu:
\left| \sin\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1-cos \alpha}{2}}}
\left| \cos\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1+cos \alpha}{2}}}
  • iloczyn w postaci sumy:
\cos \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)} 2
\sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)} 2
\sin \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)} 2
  • wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne:
\sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)
\cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)
\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,
\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,
\sec \alpha= \tfrac{1}{\cos \alpha} = \csc \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,
\csc \alpha=\tfrac{1}{\sin \alpha} = \sec \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,
\begin{matrix} \color{green}{\sin^2 \alpha}= & 1-\cos^2 \alpha= & \tfrac{\operatorname{tg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ 1-\sin^2 \alpha= & \color{green}{\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}= & \tfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}= & \color{green}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}= & \tfrac{\cos^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \color{green}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \end{matrix}