Trójkąt prostokątny - funkcje trygonometryczne
Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(Różnice między wersjami)
SewerynKowalski (dyskusja | edycje)
(Utworzył nową stronę „Category:KURS MATEMATYKI Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prosto...”)
następna edycja →
(Utworzył nową stronę „Category:KURS MATEMATYKI Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prosto...”)
następna edycja →
Wersja z 14:56, 2 lut 2014
Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego
- sinus – oznaczany – stosunek długości przyprostokątnej a\; leżącej naprzeciw tego kąta \alpha\; i długości przeciwprostokątnej c\;;
- cosinus – oznaczany \cos\; – stosunek długości przyprostokątnej przyległej b\; do tego kąta \alpha\; i przeciwprostokątnej c\;;
- tangens – oznaczany \operatorname{tg}\; – stosunek długości przyprostokątnej a\; leżącej naprzeciw tego kąta \alpha\; i długości przyprostokątnej b\; przyległej do tego kąta;
- cotangens (kotangens) – \operatorname{ctg}\; – stosunek długości przyprostokątnej b\; przyległej do tego kąta \alpha\; i długości przyprostokątnej a\; leżącej naprzeciw tego kąta
Wzory
\sin \alpha = \frac{a}{c}
\cos \alpha = \frac{b}{c}
\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}
\operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a}
Spis treści[ukryj] |
Miara łukowa kąta
Miara kąta wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu
-
- \alpha =\frac{l}{r}
gdzie
- α – rozpatrywany kąt,
- l – długość łuku,
- r – promień okręgu, którego wycinkiem jest łuk.
Jednostką tak zapisanego kąta jest radian (1 rad). Wymiarem radiana jest jedność
-
- \left[ \operatorname{rad} \right]=1
Wartości dla typowych kątów
radiany | 0\; | \frac{\pi}{12} | \frac{\pi}{6} | \frac{\pi}{4} | \frac{\pi}{3} | \frac{5\pi}{12} | \frac{\pi}{2} |
---|---|---|---|---|---|---|---|
stopnie | 0^\circ\; | 15^\circ\; | 30^\circ\; | 45^\circ\; | 60^\circ\; | 75^\circ\; | 90^\circ\; |
\sin\; | 0\; | \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} | \tfrac{1}{2} | \tfrac{\sqrt{2}}{2} | \tfrac{\sqrt{3}}{2} | \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} | 1\; |
\cos\; | 1\; | \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} | \tfrac{\sqrt{3}}{2} | \tfrac{\sqrt{2}}{2} | \tfrac{1}{2} | \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} | 0\; |
\operatorname{tg}\; | 0\; | 2-\sqrt{3} | \tfrac{\sqrt{3}}{3} | 1\; | \sqrt{3} | 2+\sqrt{3} | nieokreślony |
\operatorname{ctg}\; | nieokreślony | 2+\sqrt{3} | \sqrt{3} | 1\; | \tfrac{\sqrt{3}}{3} | 2-\sqrt{3} | 0\; |
Podstawowe tożsamości trygonometryczne
Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:
- jedynka trygonometryczna:
- \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,
- definicja tangensa i kotangensa za pomocą sinusa i cosinusa:
- \begin{align} \operatorname{tg}\ \alpha & =\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\ \operatorname{ctg}\ \alpha & =\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},\ \alpha\neq k\pi \end{align},\quad k\in\mathbb{Z}
- wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów:
- \sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,
- \cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \,
- wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów:
- \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta } 2
- \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha - \beta } 2
- \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \sin \tfrac {\alpha - \beta } 2
- wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu:
- \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \,
- \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha= 2\cos^2\alpha - 1 = 1 -2\sin^2\alpha
- wzory na sinus i cosinus połowy argumentu:
- \left| \sin\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1-cos \alpha}{2}}}
- \left| \cos\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1+cos \alpha}{2}}}
- iloczyn w postaci sumy:
- \cos \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)} 2
- \sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)} 2
- \sin \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)} 2
- wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne:
- \sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)
- \cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)
- \operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,
- \operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,
- \sec \alpha= \tfrac{1}{\cos \alpha} = \csc \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,
- \csc \alpha=\tfrac{1}{\sin \alpha} = \sec \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,
- \begin{matrix} \color{green}{\sin^2 \alpha}= & 1-\cos^2 \alpha= & \tfrac{\operatorname{tg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ 1-\sin^2 \alpha= & \color{green}{\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}= & \tfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}= & \color{green}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}= & \tfrac{\cos^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \color{green}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \end{matrix}