Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Zastosowania

W codziennym życiu bez przerwy obserwujemy zjawiska, które mają znamiona zjawisk losowych. Zaczynamy swe życie od losowej chwili narodzin. Jeżeli nie używamy budzika, budzimy się w losowych chwilach czasu. Zliczam liczbę samochodów przejeżdżających ulicą Wolności na wysokości domu 26 w godzinach 14-17 każdego dnia roboczego i liczba ta wydaje mi się liczbą losowa. Świat procesów i zjawisk ekonomicznych jawi nam się jak jakiś pogmatwany proces stochastyczny. Znakomitym przykładem jest ruch cen akcji na giełdach. Wygląda on jak ruch Browna: raz rośnie, raz maleje; raz maleje, to znowu rośnie. Wraz z powstaniem giełdy, ludzie starali się modelować ruch cen akcji za pomocą procesów stochastycznych. W roku 1900 Louis Bachelier w swej rozprawie doktorskiej pt. „ Teoria spekulacji ”, zaproponował po raz pierwszy modelowanie cen akcji za pomocą procesów stochastycznych. Jego modelowanie było ułomne: był to asymetryczny ruch Browna. Cząstka błądząca może przyjmować położenia dodatnie jak i ujemne na osi współrzędnych. Ceny akcji nie mogą być ujemne. To jest ta wada modelu Bacheliera.

Podamy jeden z prostszych sposobów modelowania cen akcji. Załóżmy, że posiadamy jakąś kwotę pieniędzy i chcemy ją ulokować w banku, który oferuje jakieś stopy procentowe. W chwili $t$ posiadamy $X(t)$ złotych. Ile dostaniemy pieniędzy z banku po czasie $t+ \Delta t$. Otrzymamy $X(t+\Delta t)$ złotych:

$$X(t+\Delta t) = X(t) + \delta X(t)\,$$

Pierwszy składnik jest kwotą jaką lokujemy w chwili $t$. Drugi składnik jest kwotą jaką otrzymamy z oprocentowania lokaty. Ile wynosi ten dodatek? Ta kwota to

$$\delta X(t) = \mu X(t) \Delta t\,$$

Wyrażenie to ma prostą interpretacje: Im więcej ulokujemy w chwili $t$ (tzn. większe $X(t)$ ) tym więcej otrzymamy; im dłużej będzie trwała lokata (tzn. większe $\Delta t$) tym więcej otrzymamy. Współczynnik $\mu$ zależy od stopy procentowej lokaty: im większe oprocentowanie tym większa wartość $\mu$ i tym więcej otrzymamy z lokaty. Uwzględniając te dwa składniki otrzymamy równanie

$$X(t+\Delta t) - X(t) = \mu X(t) \Delta t\,$$

Załóżmy teraz, że że oprocentowanie scharakteryzowane przez wielkość $\mu$ nie jest ustalone, ale w każdej chwili waha się losowo, to znaczy

$$\mu \to \mu + \xi(t)\,$$

gdzie $\xi(t)$ opisuje losowe wahania oprocentowania. Innymi słowy jest to jakiś proces stochastyczny. Wówczas nasze równanie będzie miało postać

$$X(t+\Delta t) - X(t) = [\mu + \xi(t)]\, X(t) \Delta t$$

Z lewej strony mamy przyrost naszych pieniędzy

$$\Delta X(t) = X(t+\Delta t) - X(t) \,$$

Jeżeli teraz $\Delta t$ jest nieskończenie małe, to nasze równanie ma postać równania stochastycznego

Banki nie stosują losowych wahań oprocentowania, ale powyższy model mozna zastosować do cen akcji na giełdzie. Tam ceny zmieniają się w każdej chwili i w tych zmianach można odnaleźć część przewidywalnych (deterministycznych) zmian opisywanych parametrem $\mu$ i część zmian losowych opisywanych funkcją losową $\xi(t)$. Jeżeli te zmiany podobne są do losowych zmian położenia czastki Browna, to $\xi(t)$ jest białym szumem Gaussowskim

$$\xi(t) = \Gamma(t)\,$$

Jak wiemy biały szum Gaussowski jest pochodną procesu Wienera $W(t)$, to znaczy

$$\Gamma(t) = \frac{dW(t)}{dt}\,$$

lub równoważnie

$$\Gamma(t) dt = dW(t)\,$$

Stąd wynika, że równanie (1) przyjmuje postać

Równanie to ma postać równania Ito i dlatego wnioskujemy, że proces stochastyczny $X(t)$ jest procesem Markowa. Ponadto jest to proces dyfuzji opisywany równaniem Fokkera-Plancka-Kołmogorowa. Równanie to zostało wprowadzone do zjawisk ekonomicznych na przełomie lat pięćdziesiątych i sześćdziesiątych XX w. niezależnie przez Osborne’a (1959) i Samuelsona (1965). Równanie to opisuje proces stochastyczny który nazywa się w literaturze geometrycznym procesem Wienera. Równanie to jest jednym z podstawowych elementów teorii