MKZR

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(→Liczby losowe)
m (→Spis treści)
 
(Nie pokazano 153 wersji pomiędzy niniejszymi.)
Linia 1: Linia 1:
-
== Liczby losowe ==
+
__NOTOC__
 +
[[Category:MKZR|000]]
 +
=== Wstęp ===
 +
[[Image:Frankfurt.jpg|thumb|Giełda (Frankfurt-Main)]]
 +
''Komputer? Sam? Już panu tłumaczyłem, że on jest głupi. ([http://pl.wikiquote.org/wiki/Stanis%C5%82aw_Lem Stanisław Lem])''
-
== Zmienna losowa ==
+
===Wymagania===
 +
* znajomość języka programowania Matlab (GNU/Octave), na poziomie kursu [[Programowanie]]
 +
* znajomość metod numerycznych na poziomie podstawowym
-
== Algortytmy generowania liczb pseudolosowych ==
+
=== Spis treści ===
-
== Symulacje procesów losowych dyskretnych i ciągłych ==
 
-
== Szum dychotomiczny ==
 
-
== Proces Poissona ==
 
 +
# [[MKZR:Liczby losowe|Liczby losowe]]
 +
#* Generacja liczb losowych: liczby o rozkładzie jednostajnym
 +
#* Liczby o zadanym rozkładzie
 +
#  [[MKZR:Symulacje procesów losowych dyskretnych|Symulacje procesów losowych dyskretnych]]
 +
#* Próby i schemat Bernoulliego
 +
#* Proces Poissona
 +
#* Proces urodzin i śmierci
 +
#* Błądzenie przypadkowe
 +
#  [[MKZR:Stochastyczne równania różniczkowe|Stochastyczne równania różniczkowe]]
 +
#* Schemat Eulera-Maruyamy dla równań stochastycznych
 +
#* Schemat Eulera-Maruyamy dla układu równań stochastycznych
 +
#* Schemat Milsteina
 +
#  [[MKZR:Numeryczne rozwiązania równań stochastycznch-przykłady|Numeryczne rozwiązania równań stochastycznch: Przykłady]]
 +
#* Proces Wienera
 +
#* Proces Wienera: rozkład P(x,t)
 +
#* Niesymetryczny Proces Wienera: dyfuzja ze stałym dryftem
 +
#* Dyfuzja z dryftem: rozkład P(x,t)
 +
#* Proces Ornsteina Uhlenbecka
 +
#* Geometryczny proces Wienera
 +
#  [[MKZR:Modelowanie dynamiki instrumentów pochodnych|Modelowanie dynamiki instrumentów pochodnych]].
 +
#* Wycena opcji: modele z czasem dyskretnym
 +
#* Wycena opcji: modele z czasem ciągłym
 +
#** Model Blacka-Scholesa dla europejskiej opcji kupna
 +
#** Własności wzorów Blacka-Scholesa
 +
#** Symulacje Monte Carlo ceny instrumentu pochodnego
 +
#  [[MKZR:Wycena obligacji|Wycena obligacji]].
 +
#* Obligacja ze stałym kuponem
 +
#* Stopa zwrotu w terminie do wykupu (Yield to maturity)
 +
#* Duration według Macaulay’a
 +
# [[MKZR:Dodatek|Dodatek - wizualizacja danych]]
 +
#* Wektoryzacja obliczeń w środowsku matlab/GNU Octave
 +
#* Histogramy
-
== Proces Wienera ==
+
=== Literatura ===
-
k
+
-
[[Image:wiener_process_zoom.png|thumb|300px|A single realization of a one-dimensional Wiener process]]
+
-
k
+
-
'''Proces Wienera''' jest [[Proces stochastyczny|procesem stochastycznym]] nazwanym dla uhonorowania osiągnięć matematyka amerykańskiego [[Norbert Wiener|Norberta Wienera]]. Jest też często nazywanym [[Ruchy Browna|ruchem Browna]], gdyż jest modelem matematycznym procesu fizycznego o tej nazwie.
+
-
Proces Wienera jest najbardziej znanym przykładem [[Proces gaussowski|procesu gaussowskiego]], a ponadto jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego procesu [[Proces Levy'ego|procesu Lévy'ego]].
+
-
 
+
-
 
+
-
#adf asdfa sf af asfa fa
+
-
#adf asdfa sf af asfa fa
+
-
#adf asdfa sf af asfa fa
+
-
#adf asdfa sf af asfa fa
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\begin{bmatrix}
+
-
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
+
-
\end{bmatrix}
+
-
=
+
-
\begin{bmatrix}
+
-
\gamma&-\alpha \gamma&0&0\\
+
-
-\beta \gamma&\gamma&0&0\\
+
-
0&0&1&0\\
+
-
0&0&0&1\\
+
-
\end{bmatrix}
+
-
\begin{bmatrix}
+
-
c\,t \\ x \\ y \\ z
+
-
\end{bmatrix}\ .
+
-
</math>
+
-
 
+
-
To jest tekstwpisywany faf
+
-
sfasfda
+
-
fasf asf
+
-
as asf afsa
+
-
*as dfa
+
-
*sad fasdf
+
-
*asdafs
+
-
== Definicja ==
+
-
[[Proces stochastyczny]] <math>\left\{W_{t}\right\}_{t \geqslant 0}</math> nazywamy '''procesem Wienera''' (standardowym procesem Wienera), gdy spełnia następujące warunki:
+
-
# <math>W_{0}=0</math> z prawdopodobieństwem równym jeden,
+
-
# <math>W</math> ma przyrosty niezależne,
+
-
# <math>\forall_{0 \leqslant s \leqslant t} ~ W_{t}-W_{s} \sim \mathcal{N}(0,t-s)</math>,
+
-
# trajektorie procesu <math>W</math> są ciągłe prawie na pewno (z prawdopodobieństwem 1).
+
-
 
+
-
----
+
-
* sdf
+
-
*a sdfa
+
-
* sdfaasd
+
-
#asdf
+
-
# asdfas
+
-
W_{t}-W_{s}
+
-
:<math>\begin{cases}
+
-
b' &= \gamma \left( b - v x/c^{2} \right)  \\
+
-
x' &= \gamma \left( x - v t \right)\\
+
-
y' &= y \\
+
-
z' &= z
+
-
\end{cases}</math>
+
-
 
+
-
== Własności ==
+
-
Proces Wienera jest jednym z najlepiej zbadanych procesów stochastycznych. Oto niektóre z jego własności:
+
-
# Cechy trajektorii - pomimo że zgodnie z założeniem definicji trajektorie procesu Wienera są ciągłe, to nie przejawiają innych regularności. Dowodzi się, że prawie każda trajektoria ma [[Wahanie funkcji|wahanie]] nieskończone, co implikuje, że jest nieróżniczkowalna (w każdym punkcie czasu).
+
-
# Proces Wienera posiada [[Mocna własność Markowa|mocną własność Markowa]].
+
-
# Prawo odbicia - po dojściu do pewnego poziomu trajektoria procesu Wienera z równym prawdopodobieństwem może pójść w dół, jak i do góry. Ściśle, prawo odbicia wyraża się wzorem <math>\mathbb{P}(\sup_{0\leqslant s \leqslant t}W_s >a) = 2 \mathbb{P}(W_t >a) </math>
+
-
# Inwersja - jeśli <math>W_t</math> jest procesem Wienera, to proces <math>V_t = tW_{1/t} \forall_{t>0}</math> i <math>V_0=0</math> też jest procesem Wienera.
+
-
# Prawo iterowanego logarytmu - opisuje asymptotyczne zachowanie się trajektorii (dzięki zastosowaniu inwersji możemy też badać trajektorie w otoczeniu 0). <math>\mathbb{P}(\lim_{t\rightarrow +\infty}\sup\frac{W_t}{\sqrt{2t \log \log t}}=1)=1</math>
+
-
 
+
-
== Konstrukcja procesu Wienera ==
+
-
Nie jest rzeczą oczywistą, że istnieje proces spełniający warunki podane w definicji. Istnieje kilka dowodów tego faktu. Przedstawiony poniżej najbardziej odpowiada intuicyjnemu rozumieniu procesu jako modelu [[Ruchy Browna|ruchu Browna]]. Rozpatrzmy cząstkę poruszającą się w jednym wymiarze. W każdej jednostce czasu cząstka przemieszcza się o jednostkę odległości albo w lewo albo w prawo z prawdopodobieństwem 1/2. Kierunek poruszania nie zależy od poprzedniego przebiegu ruchu. Odpowiada to sytuacji patrzenia na cząsteczkę w wielkim zbliżeniu i przy zwolnionym czasie. Zmniejszając odpowiednio jednostkę odległości i przyspieszając czas uzyskujemy obraz cząstki wykonującej ruch chaotyczny. Innymi słowy proces Wienera jest "procesem granicznym" dla [[Błądzenie losowe|błądzenia losowego]], przy zmniejszaniu skali czasowej i przestrzennej. W sposób ścisły powyższe rozumowanie ujmuje [[twierdzenie Donskera]].
+
-
 
+
-
== Proces wielowymiarowy ==
+
-
Standardowy proces Wienera opisany powyżej opisuje błądzenie cząstki, której ruch ograniczony jest do prostej. Proces n-wymiarowy definiujemy następująco: <math>W=(W_1,W_2,\ldots,W_n)</math>, gdzie <math>W_i</math> to niezależne od siebie jednowymiarowe procesy Wienera. Warto wspomnieć, że w przypadku jednowymiarowym prawie każda trajektoria przechodzi przez każdy punkt prostej. Dla procesu dwuwymiarowego prawie każda trajektoria jest [[Zbiór gęsty|gęsta]] na płaszczyźnie, natomiast dla procesów w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów, każda trajektoria jest zbiorem [[Zbiór nigdziegęsty|nigdzie gęstym]].
+
-
 
+
-
 
+
-
=== Ruchy Browna ===
+
-
'''Ruchy Browna''' to chaotyczne ruchy cząstek w [[Płyn|płynie]] ([[Ciecz|cieczy]] lub [[Gaz|gazie]]), wywołane zderzeniami zawiesiny z cząsteczkami płynu.
+
-
 
+
-
W [[1827]] roku brytyjski biolog [[Robert Brown (botanik)|Robert Brown]] obserwując przez [[mikroskop]] pyłki kwiatowe w zawiesinie wodnej dostrzegł, iż znajdują się one w nieustannym, chaotycznym ruchu.
+
-
 
+
-
Ruchy Browna obserwuje się dla mikroskopijnych, mniejszych niż mikrometr, cząstek zawiesiny bez względu na ich rodzaj. Cząsteczki poruszają się ciągle a ich ruch nie słabnie. Prędkość ruchu jest większa dla mniejszych cząstek i wyższej temperatury.
+
-
 
+
-
==Opis ruchów Browna==
+
-
Autorami teorii ruchów Browna byli niezależnie [[Albert Einstein]] (w [[1905]] roku) i [[Marian Smoluchowski]](w [[1906]]). Obaj naukowcy zauważyli, że przypadkowe błądzenie pyłków jest wywołane bombardowaniem ich przez cząsteczki wody. Cząsteczki wody są dużo mniejsze, jest ich wiele oraz poruszają się bardzo szybko. Różnice w prędkości ruchu oraz liczby uderzających cząsteczek z poszczególnych stron są przyczyną ruchów drobin pyłku w cieczy. Smoluchowski stwierdził jednak, że za przesunięcia cząsteczek odpowiedzialne jest nie tyle bombardowanie, ile raczej [[fluktuacja|fluktuacje]] ich gęstości w bezpośrednim sąsiedztwie zawiesiny. Na tej drodze [[Paul Langevin]] rozwinął [[dynamika (fizyka)|dynamikę]] [[proces stochastyczny|stochastyczną]].
+
-
 
+
-
Matematycznym modelem fizycznego zjawiska ruchów Browna jest [[proces Wienera]], który może być zastosowany do modelowania również w innych dziedzinach wiedzy, np. ekonomii.
+
-
 
+
-
==Przykłady ruchów Browna==
+
-
 
+
-
*cząsteczki tłuszczu na mleku
+
-
*pyłek kwiatowy na wodzie
+
-
*mgła
+
-
*rozpylone w powietrzu perfumy
+
-
*krople tuszu na wodzie
+
-
 
+
-
== Procesy stabilne ==
+
-
== Symulacje skończenie wymiarowych układów dynamicznych ==
+
-
== Symulacje  równań i układów równań stochastycznych ==
+
-
=== dyskretyzacja czasu ===
+
-
=== stochastyczne rozwinięcie Taylora ===
+
-
=== aproksymacja słaba i mocna===
+
-
=== metody bezpośrednie ===
+
-
=== pośrednie.===
+
-
==Numeryczne badanie równań „Master”==
+
-
==Zastosowania==
+
-
== w modelowaniu zjawisk fizyki ==
+
-
== w modelowaniu zjawisk biofizyki ==
+
-
==w modelowaniu zjawisk socjofizyki==
+
-
==Przykładowe zastosowania w modelowaniu dynamiki instrumentów pochodnych stóp procentowych. ==
+
-
==Wizualizacja rozwiązań.==
+
-
== Literatura ==
+
* A. Janicki, A. Izydorczyk “Komputerowe metody w modelowaniu stochastycznym” WNT
* A. Janicki, A. Izydorczyk “Komputerowe metody w modelowaniu stochastycznym” WNT
* P.L. Kloeden, E. Platen “Numerical solutions of stochastic differential equations” Springer  
* P.L. Kloeden, E. Platen “Numerical solutions of stochastic differential equations” Springer  
 +
* Paolo Brandimarte "Numerical Methods in Finance and Economics: A MATLAB-Based Introduction (Statistics in Practice)"
-
 
+
===Zasoby www===
-
 
+
* [http://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/ Dokumentacja do GNU Octave]
-
 
+
-
== Modelowanie Komputerowe Zjawisk Rynkowych ==
+
-
tutaj procesy losowe
+
-
== Procesy losowe ==
+
-
tutaj procesy losowe
+
-
 
+
-
== Metody numeryczne ==
+
-
 
+
-
<math>\sin x </math> sdf afs
+
-
 
+
-
asf <math>\sin x </math>
+
-
 
+
-
<math>\displaystyle\int_0^\infty \sin x dx = 2 \cos x</math>
+
-
 
+
-
 
+
----
----
[[Użytkownik:Marcin|Marcin]] 18:30, 28 wrz 2009 (UTC)
[[Użytkownik:Marcin|Marcin]] 18:30, 28 wrz 2009 (UTC)

Aktualna wersja na dzień 09:46, 27 sty 2011

Wstęp

Giełda (Frankfurt-Main)

Komputer? Sam? Już panu tłumaczyłem, że on jest głupi. (Stanisław Lem)

Wymagania

  • znajomość języka programowania Matlab (GNU/Octave), na poziomie kursu Programowanie
  • znajomość metod numerycznych na poziomie podstawowym

Spis treści

  1. Liczby losowe
    • Generacja liczb losowych: liczby o rozkładzie jednostajnym
    • Liczby o zadanym rozkładzie
  2. Symulacje procesów losowych dyskretnych
    • Próby i schemat Bernoulliego
    • Proces Poissona
    • Proces urodzin i śmierci
    • Błądzenie przypadkowe
  3. Stochastyczne równania różniczkowe
    • Schemat Eulera-Maruyamy dla równań stochastycznych
    • Schemat Eulera-Maruyamy dla układu równań stochastycznych
    • Schemat Milsteina
  4. Numeryczne rozwiązania równań stochastycznch: Przykłady
    • Proces Wienera
    • Proces Wienera: rozkład P(x,t)
    • Niesymetryczny Proces Wienera: dyfuzja ze stałym dryftem
    • Dyfuzja z dryftem: rozkład P(x,t)
    • Proces Ornsteina Uhlenbecka
    • Geometryczny proces Wienera
  5. Modelowanie dynamiki instrumentów pochodnych.
    • Wycena opcji: modele z czasem dyskretnym
    • Wycena opcji: modele z czasem ciągłym
      • Model Blacka-Scholesa dla europejskiej opcji kupna
      • Własności wzorów Blacka-Scholesa
      • Symulacje Monte Carlo ceny instrumentu pochodnego
  6. Wycena obligacji.
    • Obligacja ze stałym kuponem
    • Stopa zwrotu w terminie do wykupu (Yield to maturity)
    • Duration według Macaulay’a
  7. Dodatek - wizualizacja danych
    • Wektoryzacja obliczeń w środowsku matlab/GNU Octave
    • Histogramy

Literatura

  • A. Janicki, A. Izydorczyk “Komputerowe metody w modelowaniu stochastycznym” WNT
  • P.L. Kloeden, E. Platen “Numerical solutions of stochastic differential equations” Springer
  • Paolo Brandimarte "Numerical Methods in Finance and Economics: A MATLAB-Based Introduction (Statistics in Practice)"

Zasoby www

Marcin 18:30, 28 wrz 2009 (UTC)

Źródło „http://172.16.3.1/ekonofizyka/index.php/MKZR”