|
|
| Linia 2: |
Linia 2: |
| | | | |
| | [[MKZR:Liczby losowe]] | | [[MKZR:Liczby losowe]] |
| - |
| |
| | | | |
| | == Procesy losowe == | | == Procesy losowe == |
| - |
| |
| - | === Ogólne przypisy ===
| |
| - | <references />
| |
| - |
| |
| - | == Definicja ==
| |
| - | [[Proces stochastyczny]] <math>\left\{W_{t}\right\}_{t \geqslant 0}</math> nazywamy '''procesem Wienera''' (standardowym procesem Wienera), gdy spełnia następujące warunki:
| |
| - | # <math>W_{0}=0</math> z prawdopodobieństwem równym jeden,
| |
| - | # <math>W</math> ma przyrosty niezależne,
| |
| - | # <math>\forall_{0 \leqslant s \leqslant t} ~ W_{t}-W_{s} \sim \mathcal{N}(0,t-s)</math>,
| |
| - | # trajektorie procesu <math>W</math> są ciągłe prawie na pewno (z prawdopodobieństwem 1).
| |
| - |
| |
| - | ----
| |
| - | * sdf
| |
| - | *a sdfa
| |
| - | * sdfaasd
| |
| - | #asdf
| |
| - | # asdfas
| |
| - | W_{t}-W_{s}
| |
| - | :<math>\begin{cases}
| |
| - | b' &= \gamma \left( b - v x/c^{2} \right) \\
| |
| - | x' &= \gamma \left( x - v t \right)\\
| |
| - | y' &= y \\
| |
| - | z' &= z
| |
| - | \end{cases}</math>
| |
| - |
| |
| - | == Własności ==
| |
| - | Proces Wienera jest jednym z najlepiej zbadanych procesów stochastycznych. Oto niektóre z jego własności:
| |
| - | # Cechy trajektorii - pomimo że zgodnie z założeniem definicji trajektorie procesu Wienera są ciągłe, to nie przejawiają innych regularności. Dowodzi się, że prawie każda trajektoria ma [[Wahanie funkcji|wahanie]] nieskończone, co implikuje, że jest nieróżniczkowalna (w każdym punkcie czasu).
| |
| - | # Proces Wienera posiada [[Mocna własność Markowa|mocną własność Markowa]].
| |
| - | # Prawo odbicia - po dojściu do pewnego poziomu trajektoria procesu Wienera z równym prawdopodobieństwem może pójść w dół, jak i do góry. Ściśle, prawo odbicia wyraża się wzorem <math>\mathbb{P}(\sup_{0\leqslant s \leqslant t}W_s >a) = 2 \mathbb{P}(W_t >a) </math>
| |
| - | # Inwersja - jeśli <math>W_t</math> jest procesem Wienera, to proces <math>V_t = tW_{1/t} \forall_{t>0}</math> i <math>V_0=0</math> też jest procesem Wienera.
| |
| - | # Prawo iterowanego logarytmu - opisuje asymptotyczne zachowanie się trajektorii (dzięki zastosowaniu inwersji możemy też badać trajektorie w otoczeniu 0). <math>\mathbb{P}(\lim_{t\rightarrow +\infty}\sup\frac{W_t}{\sqrt{2t \log \log t}}=1)=1</math>
| |
| - |
| |
| - | == Konstrukcja procesu Wienera ==
| |
| - | Nie jest rzeczą oczywistą, że istnieje proces spełniający warunki podane w definicji. Istnieje kilka dowodów tego faktu. Przedstawiony poniżej najbardziej odpowiada intuicyjnemu rozumieniu procesu jako modelu [[Ruchy Browna|ruchu Browna]]. Rozpatrzmy cząstkę poruszającą się w jednym wymiarze. W każdej jednostce czasu cząstka przemieszcza się o jednostkę odległości albo w lewo albo w prawo z prawdopodobieństwem 1/2. Kierunek poruszania nie zależy od poprzedniego przebiegu ruchu. Odpowiada to sytuacji patrzenia na cząsteczkę w wielkim zbliżeniu i przy zwolnionym czasie. Zmniejszając odpowiednio jednostkę odległości i przyspieszając czas uzyskujemy obraz cząstki wykonującej ruch chaotyczny. Innymi słowy proces Wienera jest "procesem granicznym" dla [[Błądzenie losowe|błądzenia losowego]], przy zmniejszaniu skali czasowej i przestrzennej. W sposób ścisły powyższe rozumowanie ujmuje [[twierdzenie Donskera]].
| |
| - |
| |
| - | == Proces wielowymiarowy ==
| |
| - | Standardowy proces Wienera opisany powyżej opisuje błądzenie cząstki, której ruch ograniczony jest do prostej. Proces n-wymiarowy definiujemy następująco: <math>W=(W_1,W_2,\ldots,W_n)</math>, gdzie <math>W_i</math> to niezależne od siebie jednowymiarowe procesy Wienera. Warto wspomnieć, że w przypadku jednowymiarowym prawie każda trajektoria przechodzi przez każdy punkt prostej. Dla procesu dwuwymiarowego prawie każda trajektoria jest [[Zbiór gęsty|gęsta]] na płaszczyźnie, natomiast dla procesów w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów, każda trajektoria jest zbiorem [[Zbiór nigdziegęsty|nigdzie gęstym]].
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | === Ruchy Browna ===
| |
| - | '''Ruchy Browna''' to chaotyczne ruchy cząstek w [[Płyn|płynie]] ([[Ciecz|cieczy]] lub [[Gaz|gazie]]), wywołane zderzeniami zawiesiny z cząsteczkami płynu.
| |
| - |
| |
| - | W [[1827]] roku brytyjski biolog [[Robert Brown (botanik)|Robert Brown]] obserwując przez [[mikroskop]] pyłki kwiatowe w zawiesinie wodnej dostrzegł, iż znajdują się one w nieustannym, chaotycznym ruchu.
| |
| - |
| |
| - | Ruchy Browna obserwuje się dla mikroskopijnych, mniejszych niż mikrometr, cząstek zawiesiny bez względu na ich rodzaj. Cząsteczki poruszają się ciągle a ich ruch nie słabnie. Prędkość ruchu jest większa dla mniejszych cząstek i wyższej temperatury.
| |
| - |
| |
| - | ==Opis ruchów Browna==
| |
| - | Autorami teorii ruchów Browna byli niezależnie [[Albert Einstein]] (w [[1905]] roku) i [[Marian Smoluchowski]](w [[1906]]). Obaj naukowcy zauważyli, że przypadkowe błądzenie pyłków jest wywołane bombardowaniem ich przez cząsteczki wody. Cząsteczki wody są dużo mniejsze, jest ich wiele oraz poruszają się bardzo szybko. Różnice w prędkości ruchu oraz liczby uderzających cząsteczek z poszczególnych stron są przyczyną ruchów drobin pyłku w cieczy. Smoluchowski stwierdził jednak, że za przesunięcia cząsteczek odpowiedzialne jest nie tyle bombardowanie, ile raczej [[fluktuacja|fluktuacje]] ich gęstości w bezpośrednim sąsiedztwie zawiesiny. Na tej drodze [[Paul Langevin]] rozwinął [[dynamika (fizyka)|dynamikę]] [[proces stochastyczny|stochastyczną]].
| |
| - |
| |
| - | Matematycznym modelem fizycznego zjawiska ruchów Browna jest [[proces Wienera]], który może być zastosowany do modelowania również w innych dziedzinach wiedzy, np. ekonomii.
| |
| - |
| |
| - | ==Przykłady ruchów Browna==
| |
| - |
| |
| - | *cząsteczki tłuszczu na mleku
| |
| - | *pyłek kwiatowy na wodzie
| |
| - | *mgła
| |
| - | *rozpylone w powietrzu perfumy
| |
| - | *krople tuszu na wodzie
| |
| - |
| |
| | == Procesy stabilne == | | == Procesy stabilne == |
| | == Symulacje skończenie wymiarowych układów dynamicznych == | | == Symulacje skończenie wymiarowych układów dynamicznych == |