MKZR:Modelowanie dynamiki instrumentów pochodnych
Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(Różnice między wersjami)
m (→Geometryczny proces Wienera) |
(→Geometryczny proces Wienera) |
||
| Linia 2: | Linia 2: | ||
Geometryczny proces Wienera jest procesem losowym, który jest rozwiązaniem równania | Geometryczny proces Wienera jest procesem losowym, który jest rozwiązaniem równania | ||
| - | |||
<math>dX(t) = \mu X(t) dt + \sigma X(t) d W(t)\,</math>. | <math>dX(t) = \mu X(t) dt + \sigma X(t) d W(t)\,</math>. | ||
| Linia 14: | Linia 13: | ||
co przypomina proces [[Ornsteina Uhlenbecka]]. | co przypomina proces [[Ornsteina Uhlenbecka]]. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | [[Plik:GeomBM.png|thumb|360px|Rozkład P(x,t) dla Procesu Wienera w czterech następujących po sobie chwilach t = 0.2,1,1.8,2.6. Widać rozmywanie się piku Gaussowskiego.]] | ||
| + | |||
| + | [[Plik:GeomBM_hist.png|thumb|360px|Rozkład P(x,t) dla geometrycznego procesu Wienera w czterech następujących po sobie chwilach t = 0.7,3.5,6.2,9.1. Widać rozmywanie się piku zgodnie z odpowiednim rozkładem [http://pl.wikipedia.org/wiki/Rozkład_logarytmicznie_normalny logarytmicznie normalnym].]] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <source lang='matlab'> | ||
| + | clear all | ||
| + | close all | ||
| + | N=400; | ||
| + | M=20; | ||
| + | T=14; | ||
| + | h=T/N; | ||
| + | clear x | ||
| + | x=zeros(M,N); | ||
| + | x(:,1)=1*ones(M,1); # log(1)=0 | ||
| + | sigma=.1; | ||
| + | mu=0.1; | ||
| + | |||
| + | for i=2:N | ||
| + | x(:,i)=x(:,i-1) + mu*x(:,i-1)*h + sigma*sqrt(h)*x(:,i-1).*normrnd (0,1,M,1); | ||
| + | endfor | ||
| + | |||
| + | plot((1:N)*h,x,'r-') | ||
| + | </source > | ||
| + | |||
| + | <source lang='matlab'> | ||
| + | clear all | ||
| + | close all | ||
| + | N=100; | ||
| + | M=20000; | ||
| + | T=14; | ||
| + | h=T/N; | ||
| + | clear x | ||
| + | x=zeros(M,N); | ||
| + | x(:,1)=1*ones(M,1); # log(1)=0 | ||
| + | sigma=.1; | ||
| + | mu=0.1; | ||
| + | |||
| + | for i=2:N | ||
| + | x(:,i)=x(:,i-1) + mu*x(:,i-1)*h + sigma*sqrt(h)*x(:,i-1).*normrnd (0,1,M,1); | ||
| + | endfor | ||
| + | |||
| + | hold on | ||
| + | for idx=1:4 | ||
| + | n=5+(idx-1)*20; | ||
| + | t=n/N*T | ||
| + | xmax=5; | ||
| + | h1=.1; | ||
| + | hist(x(:,n),[0:h1:xmax],1/h1) | ||
| + | fplot(@(xx) lognpdf(xx,(mu-0.5*sigma^2)*t,sigma*sqrt(t)),[0.0,xmax],200,'ro-') | ||
| + | endfor | ||
| + | hold off | ||
| + | </source > | ||
| + | |||
[[PIZL:Przykłady zastosowań równań stochastycznych w ekonomii|Procesy]] | [[PIZL:Przykłady zastosowań równań stochastycznych w ekonomii|Procesy]] | ||
Wersja z 14:23, 8 maj 2010
Geometryczny proces Wienera
Geometryczny proces Wienera jest procesem losowym, który jest rozwiązaniem równania
\(dX(t) = \mu X(t) dt + \sigma X(t) d W(t)\,\).
Deterministyczna część tego równania stochastycznego jest członem liniowym i rozwiązanie dla przypadku \(\sigma=0\) jest w postaci eksponencjalnej
\(x(t)\simeq e^{\mu t}\),
co przypomina proces Ornsteina Uhlenbecka.
clear all close all N=400; M=20; T=14; h=T/N; clear x x=zeros(M,N); x(:,1)=1*ones(M,1); # log(1)=0 sigma=.1; mu=0.1; for i=2:N x(:,i)=x(:,i-1) + mu*x(:,i-1)*h + sigma*sqrt(h)*x(:,i-1).*normrnd (0,1,M,1); endfor plot((1:N)*h,x,'r-')
clear all close all N=100; M=20000; T=14; h=T/N; clear x x=zeros(M,N); x(:,1)=1*ones(M,1); # log(1)=0 sigma=.1; mu=0.1; for i=2:N x(:,i)=x(:,i-1) + mu*x(:,i-1)*h + sigma*sqrt(h)*x(:,i-1).*normrnd (0,1,M,1); endfor hold on for idx=1:4 n=5+(idx-1)*20; t=n/N*T xmax=5; h1=.1; hist(x(:,n),[0:h1:xmax],1/h1) fplot(@(xx) lognpdf(xx,(mu-0.5*sigma^2)*t,sigma*sqrt(t)),[0.0,xmax],200,'ro-') endfor hold off
\(f_y(y)=\frac{f_x(x_1)}{|g'(x_1)|}+...+ \frac{f_x(x_n)}{|g'(x_n)|}\)