MKZR:Modelowanie dynamiki instrumentów pochodnych
Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(Różnice między wersjami)
(→Geometryczny proces Wienera) |
(→Geometryczny proces Wienera) |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
=== Geometryczny proces Wienera === | === Geometryczny proces Wienera === | ||
- | Geometryczny proces Wienera jest procesem losowym, który jest rozwiązaniem równania | + | Geometryczny proces Wienera jest procesem losowym, który jest rozwiązaniem równania stochastycznego Ito: |
<math>dX(t) = \mu X(t) dt + \sigma X(t) d W(t)\,</math>. | <math>dX(t) = \mu X(t) dt + \sigma X(t) d W(t)\,</math>. | ||
- | + | Część deterministyczna część tego równania jest liniowa i rozwiązanie dla przypadku <math>\sigma=0</math> wyraża się w postaci eksponencjalnej | |
- | + | ||
- | + | ||
<math>x(t)\simeq e^{\mu t}</math>, | <math>x(t)\simeq e^{\mu t}</math>, | ||
co przypomina proces [[Ornsteina Uhlenbecka]]. | co przypomina proces [[Ornsteina Uhlenbecka]]. | ||
+ | |||
+ | Człon stochastyczny jest proporcjonalny o wartości procesu, czyli mamy do czynienia z "szumem multiplikatywnym". | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>f_y(y)=\frac{f_x(x_1)}{|g'(x_1)|}+...+ \frac{f_x(x_n)}{|g'(x_n)|}</math> | ||
Linia 72: | Linia 78: | ||
[[PIZL:Przykłady zastosowań równań stochastycznych w ekonomii|Procesy]] | [[PIZL:Przykłady zastosowań równań stochastycznych w ekonomii|Procesy]] | ||
- | |||
- | |||
- |
Wersja z 14:29, 8 maj 2010
Geometryczny proces Wienera
Geometryczny proces Wienera jest procesem losowym, który jest rozwiązaniem równania stochastycznego Ito:
\(dX(t) = \mu X(t) dt + \sigma X(t) d W(t)\,\).
Część deterministyczna część tego równania jest liniowa i rozwiązanie dla przypadku \(\sigma=0\) wyraża się w postaci eksponencjalnej
\(x(t)\simeq e^{\mu t}\),
co przypomina proces Ornsteina Uhlenbecka.
Człon stochastyczny jest proporcjonalny o wartości procesu, czyli mamy do czynienia z "szumem multiplikatywnym".
\(f_y(y)=\frac{f_x(x_1)}{|g'(x_1)|}+...+ \frac{f_x(x_n)}{|g'(x_n)|}\)
clear all close all N=400; M=20; T=14; h=T/N; clear x x=zeros(M,N); x(:,1)=1*ones(M,1); # log(1)=0 sigma=.1; mu=0.1; for i=2:N x(:,i)=x(:,i-1) + mu*x(:,i-1)*h + sigma*sqrt(h)*x(:,i-1).*normrnd (0,1,M,1); endfor plot((1:N)*h,x,'r-')
clear all close all N=100; M=20000; T=14; h=T/N; clear x x=zeros(M,N); x(:,1)=1*ones(M,1); # log(1)=0 sigma=.1; mu=0.1; for i=2:N x(:,i)=x(:,i-1) + mu*x(:,i-1)*h + sigma*sqrt(h)*x(:,i-1).*normrnd (0,1,M,1); endfor hold on for idx=1:4 n=5+(idx-1)*20; t=n/N*T xmax=5; h1=.1; hist(x(:,n),[0:h1:xmax],1/h1) fplot(@(xx) lognpdf(xx,(mu-0.5*sigma^2)*t,sigma*sqrt(t)),[0.0,xmax],200,'ro-') endfor hold off