Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 14:46, 8 maj 2010

Geometryczny proces Wienera

Definicja

Geometryczny proces Wienera jest procesem losowym, który jest rozwiązaniem równania stochastycznego Ito:

\(dX(t) = \mu X(t) dt + \sigma X(t) d W(t)\,\).

Geometryczny proces Wienera, dwadzieścia trajektorii. Widoczny jest eksponencjalny wzrost zmiennej losowej z pewnymi fluktuacjami.

Część deterministyczna część tego równania jest liniowa, podobnie jak w przypadku Ornsteina-Uhlenbecka. Rozwiązanie dla przypadku \(\sigma=0\) wyraża się w postaci eksponencjalnej

\(x(t)\simeq e^{\mu t}\),

Symulacja numeryczna

Człon stochastyczny jest proporcjonalny o wartości procesu, czyli mamy do czynienia z tzw. "szumem multiplikatywnym". Ponieważ równanie jest w interpretacji Ito, moża je bezpośrednio rozwiązać numerycznie. Interpretacja Ito dla \(\sigma X(t) d W(t)\) oznacza, że w schemacie aproxymacyjnym bierzemy wartość procesu X(t) "przed skokiem". W takim przypadku możemy zastosować schemat numeryczny Eulera podobnie jak np. dla procesu Ornsteina-Uhlenbecka. Krok czasowy może być zapisany w postaci wektorowej jako:

  x(:,i)=x(:,i-1) + mu*x(:,i-1)*h + sigma*sqrt(h)*x(:,i-1).*normrnd (0,1,M,1);

Jako warunek początkowy dla symulacji należy przyjąć wartość x>0. Łatwo zauważyć własność równania definiującego proces, że startując w \(x(0)=0\) rozwiązaniem jest funkcja stała \(x(t)=0\). Poniższy program generuje 20 trajektori geometrycznego procesu Wienera:

clear all
close all
N=400;
M=20;
T=14;
h=T/N;
clear x
x=zeros(M,N);
x(:,1)=1*ones(M,1); # log(1)=0
sigma=.1;
mu=0.1;
for i=2:N
  x(:,i)=x(:,i-1) + mu*x(:,i-1)*h + sigma*sqrt(h)*x(:,i-1).*normrnd (0,1,M,1);
endfor
plot((1:N)*h,x,'r-')

Rozwiązanie analityczne

Równanie definiujące geometryczny proces Wienera można przetransformować do równania na proces Wienera z dryfem. Transformacją jest:

\(y=\log(x)\).

Korzystając ze formuły Ito na

\(f_y(y)=\frac{f_x(x_1)}{|g'(x_1)|}+...+ \frac{f_x(x_n)}{|g'(x_n)|}\)

Rozkład P(x,t) dla geometrycznego procesu Wienera w czterech następujących po sobie chwilach t = 0.7,3.5,6.2,9.1. Widać rozmywanie się piku zgodnie z odpowiednim rozkładem logarytmicznie normalnym.

clear all
close all
N=100;
M=20000;
T=14;
h=T/N;
clear x
x=zeros(M,N);
x(:,1)=1*ones(M,1); # log(1)=0
sigma=.1;
mu=0.1;
 
for i=2:N
  x(:,i)=x(:,i-1) + mu*x(:,i-1)*h + sigma*sqrt(h)*x(:,i-1).*normrnd (0,1,M,1);
endfor
 
hold on
for idx=1:4
  n=5+(idx-1)*20;
  t=n/N*T
  xmax=5;
  h1=.1;
  hist(x(:,n),[0:h1:xmax],1/h1)
  fplot(@(xx) lognpdf(xx,(mu-0.5*sigma^2)*t,sigma*sqrt(t)),[0.0,xmax],200,'ro-')
endfor
hold off

Procesy