Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(→Zastosowania) |
(→Zastosowania) |
||
| Linia 7: | Linia 7: | ||
Podamy jeden z prostszych sposobów modelowania cen akcji. Załóżmy, że posiadamy jakąś kwotę pieniędzy i chcemy ją ulokować w banku, który oferuje jakieś stopy procentowe. W chwili <math>t</math> posiadamy <math>X(t)</math> złotych. Ile dostaniemy pieniędzy z banku po czasie <math>t+ \Delta t</math>. Otrzymamy <math>X(t+\Delta t)</math> złotych: | Podamy jeden z prostszych sposobów modelowania cen akcji. Załóżmy, że posiadamy jakąś kwotę pieniędzy i chcemy ją ulokować w banku, który oferuje jakieś stopy procentowe. W chwili <math>t</math> posiadamy <math>X(t)</math> złotych. Ile dostaniemy pieniędzy z banku po czasie <math>t+ \Delta t</math>. Otrzymamy <math>X(t+\Delta t)</math> złotych: | ||
| - | <math>X(t+\Delta t) = X(t) + \delta X(t)</math> | + | :<math>X(t+\Delta t) = X(t) + \delta X(t)\,</math> |
Pierwszy składnik jest kwotą jaką lokujemy w chwili <math>t</math>. Drugi składnik jest kwotą jaką otrzymamy z oprocentowania lokaty. Ile wynosi ten dodatek? Ta kwota to | Pierwszy składnik jest kwotą jaką lokujemy w chwili <math>t</math>. Drugi składnik jest kwotą jaką otrzymamy z oprocentowania lokaty. Ile wynosi ten dodatek? Ta kwota to | ||
| - | <math> \delta X(t) = \mu X(t) \Delta t</math> | + | :<math> \delta X(t) = \mu X(t) \Delta t\,</math> |
| Linia 17: | Linia 17: | ||
więcej otrzymamy. Współczynnik <math>\mu</math> zależy od stopy procentowej lokaty: im większe oprocentowanie tym większa wartość <math>\mu</math> i tym więcej otrzymamy z lokaty. Uwzględniając te dwa składniki otrzymamy równanie | więcej otrzymamy. Współczynnik <math>\mu</math> zależy od stopy procentowej lokaty: im większe oprocentowanie tym większa wartość <math>\mu</math> i tym więcej otrzymamy z lokaty. Uwzględniając te dwa składniki otrzymamy równanie | ||
| - | <math>X(t+\Delta t) - X(t) = \mu X(t) \Delta t</math> | + | :<math>X(t+\Delta t) - X(t) = \mu X(t) \Delta t\,</math> |
Załóżmy teraz, że że oprocentowanie scharakteryzowane przez wielkość <math>\mu</math> nie jest ustalone, ale w każdej chwili waha się losowo, to znaczy | Załóżmy teraz, że że oprocentowanie scharakteryzowane przez wielkość <math>\mu</math> nie jest ustalone, ale w każdej chwili waha się losowo, to znaczy | ||
| - | <math>\mu \to \mu + \xi(t)</math> | + | :<math>\mu \to \mu + \xi(t)\,</math> |
gdzie <math>\xi(t)</math> opisuje losowe wahania oprocentowania. Innymi słowy jest to jakiś proces stochastyczny. Wówczas nasze równanie będzie miało postać | gdzie <math>\xi(t)</math> opisuje losowe wahania oprocentowania. Innymi słowy jest to jakiś proces stochastyczny. Wówczas nasze równanie będzie miało postać | ||
| - | <math>X(t+\Delta t) - X(t) = [\mu + \xi(t)]\, X(t) \Delta t</math> | + | :<math>X(t+\Delta t) - X(t) = [\mu + \xi(t)]\, X(t) \Delta t</math> |
Z lewej strony mamy przyrost naszych pieniędzy | Z lewej strony mamy przyrost naszych pieniędzy | ||
| - | <math>\Delta X(t) = X(t+\Delta t) - X(t) </math> | + | :<math>\Delta X(t) = X(t+\Delta t) - X(t) \,</math> |
Jeżeli teraz <math>\Delta t </math> jest nieskończenie małe, to nasze równanie ma postać równania stochastycznego | Jeżeli teraz <math>\Delta t </math> jest nieskończenie małe, to nasze równanie ma postać równania stochastycznego | ||
| - | <equation id="eqn: | + | <equation id="eqn:11.1-equation"> |
<math>dX(t) = \mu X(t) dt + \xi(t)\, X(t) dt</math> | <math>dX(t) = \mu X(t) dt + \xi(t)\, X(t) dt</math> | ||
</equation> | </equation> | ||
| Linia 42: | Linia 42: | ||
Banki nie stosują losowych wahań oprocentowania, ale powyższy model mozna zastosować do cen akcji na giełdzie. Tam ceny zmieniają się w każdej chwili i w tych zmianach można odnaleźć część przewidywalnych (deterministycznych) zmian opisywanych parametrem <math>\mu</math> i część zmian losowych opisywanych funkcją losową <math>\xi(t)</math>. Jeżeli te zmiany podobne są do losowych zmian położenia czastki Browna, to <math>\xi(t)</math> jest białym szumem Gaussowskim | Banki nie stosują losowych wahań oprocentowania, ale powyższy model mozna zastosować do cen akcji na giełdzie. Tam ceny zmieniają się w każdej chwili i w tych zmianach można odnaleźć część przewidywalnych (deterministycznych) zmian opisywanych parametrem <math>\mu</math> i część zmian losowych opisywanych funkcją losową <math>\xi(t)</math>. Jeżeli te zmiany podobne są do losowych zmian położenia czastki Browna, to <math>\xi(t)</math> jest białym szumem Gaussowskim | ||
| - | <math>\xi(t) = \Gamma(t)</math> | + | :<math>\xi(t) = \Gamma(t)\,</math> |
Jak wiemy biały szum Gaussowski jest pochodną procesu Wienera <math>W(t)</math>, to znaczy | Jak wiemy biały szum Gaussowski jest pochodną procesu Wienera <math>W(t)</math>, to znaczy | ||
| - | <math>\Gamma(t) = \frac{dW(t)}{dt}</math> | + | :<math>\Gamma(t) = \frac{dW(t)}{dt}\,</math> |
| - | + | lub równoważnie | |
| - | |||
| + | :<math>\Gamma(t) dt = dW(t)\,</math> | ||
| - | + | ||
| + | Stąd wynika, że <xr id="eqn:11.1-equation"> równanie (%i</xr>) przyjmuje postać | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <equation id="eqn:11.2-equation"> | ||
| + | <math>dX(t) = \mu X(t) dt + X(t) d W(t)\,</math> | ||
| + | </equation> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Równanie to ma postać równania Ito i dlatego wnioskujemy, że proces stochastyczny <math>X(t)</math> jest procesem Markowa. Ponadto jest to proces dyfuzji opisywany równaniem Fokkera-Plancka-Kołmogorowa. Równanie to zostało wprowadzone do zjawisk ekonomicznych na przełomie lat pięćdziesiątych i sześćdziesiątych XX w. niezależnie przez Osborne’a (1959) i Samuelsona (1965). Równanie to opisuje proces stochastyczny który nazywa się w literaturze '''geometrycznym procesem Wienera'''. Równanie to jest jednym z podstawowych elementów teorii | ||
Wersja z 23:34, 4 kwi 2010
Zastosowania
W codziennym życiu bez przerwy obserwujemy zjawiska, które mają znamiona zjawisk losowych. Zaczynamy swe życie od losowej chwili narodzin. Jeżeli nie używamy budzika, budzimy się w losowych chwilach czasu. Zliczam liczbę samochodów przejeżdżających ulicą Wolności na wysokości domu 26 w godzinach 14-17 każdego dnia roboczego i liczba ta wydaje mi się liczbą losowa. Świat procesów i zjawisk ekonomicznych jawi nam się jak jakiś pogmatwany proces stochastyczny. Znakomitym przykładem jest ruch cen akcji na giełdach. Wygląda on jak ruch Browna: raz rośnie, raz maleje; raz maleje, to znowu rośnie. Wraz z powstaniem giełdy, ludzie starali się modelować ruch cen akcji za pomocą procesów stochastycznych. W roku 1900 Louis Bachelier w swej rozprawie doktorskiej pt. „ Teoria spekulacji ”, zaproponował po raz pierwszy modelowanie cen akcji za pomocą procesów stochastycznych. Jego modelowanie było ułomne: był to asymetryczny ruch Browna. Cząstka błądząca może przyjmować położenia dodatnie jak i ujemne na osi współrzędnych. Ceny akcji nie mogą być ujemne. To jest ta wada modelu Bacheliera.
Podamy jeden z prostszych sposobów modelowania cen akcji. Załóżmy, że posiadamy jakąś kwotę pieniędzy i chcemy ją ulokować w banku, który oferuje jakieś stopy procentowe. W chwili \(t\) posiadamy \(X(t)\) złotych. Ile dostaniemy pieniędzy z banku po czasie \(t+ \Delta t\). Otrzymamy \(X(t+\Delta t)\) złotych:
\[X(t+\Delta t) = X(t) + \delta X(t)\,\]
Pierwszy składnik jest kwotą jaką lokujemy w chwili \(t\). Drugi składnik jest kwotą jaką otrzymamy z oprocentowania lokaty. Ile wynosi ten dodatek? Ta kwota to
\[ \delta X(t) = \mu X(t) \Delta t\,\]
Wyrażenie to ma prostą interpretacje: Im więcej ulokujemy w chwili \(t\) (tzn. większe \(X(t)\) ) tym więcej otrzymamy; im dłużej będzie trwała lokata (tzn. większe \(\Delta t\)) tym więcej otrzymamy. Współczynnik \(\mu\) zależy od stopy procentowej lokaty: im większe oprocentowanie tym większa wartość \(\mu\) i tym więcej otrzymamy z lokaty. Uwzględniając te dwa składniki otrzymamy równanie
\[X(t+\Delta t) - X(t) = \mu X(t) \Delta t\,\]
Załóżmy teraz, że że oprocentowanie scharakteryzowane przez wielkość \(\mu\) nie jest ustalone, ale w każdej chwili waha się losowo, to znaczy
\[\mu \to \mu + \xi(t)\,\]
gdzie \(\xi(t)\) opisuje losowe wahania oprocentowania. Innymi słowy jest to jakiś proces stochastyczny. Wówczas nasze równanie będzie miało postać
\[X(t+\Delta t) - X(t) = [\mu + \xi(t)]\, X(t) \Delta t\]
Z lewej strony mamy przyrost naszych pieniędzy
\[\Delta X(t) = X(t+\Delta t) - X(t) \,\]
Jeżeli teraz \(\Delta t \) jest nieskończenie małe, to nasze równanie ma postać równania stochastycznego
Banki nie stosują losowych wahań oprocentowania, ale powyższy model mozna zastosować do cen akcji na giełdzie. Tam ceny zmieniają się w każdej chwili i w tych zmianach można odnaleźć część przewidywalnych (deterministycznych) zmian opisywanych parametrem \(\mu\) i część zmian losowych opisywanych funkcją losową \(\xi(t)\). Jeżeli te zmiany podobne są do losowych zmian położenia czastki Browna, to \(\xi(t)\) jest białym szumem Gaussowskim
\[\xi(t) = \Gamma(t)\,\]
Jak wiemy biały szum Gaussowski jest pochodną procesu Wienera \(W(t)\), to znaczy
\[\Gamma(t) = \frac{dW(t)}{dt}\,\]
lub równoważnie
\[\Gamma(t) dt = dW(t)\,\]
Stąd wynika, że równanie (1) przyjmuje postać
Równanie to ma postać równania Ito i dlatego wnioskujemy, że proces stochastyczny \(X(t)\) jest procesem Markowa. Ponadto jest to proces dyfuzji opisywany równaniem Fokkera-Plancka-Kołmogorowa. Równanie to zostało wprowadzone do zjawisk ekonomicznych na przełomie lat pięćdziesiątych i sześćdziesiątych XX w. niezależnie przez Osborne’a (1959) i Samuelsona (1965). Równanie to opisuje proces stochastyczny który nazywa się w literaturze geometrycznym procesem Wienera. Równanie to jest jednym z podstawowych elementów teorii