Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Zastosowania

W codziennym życiu bez przerwy obserwujemy zjawiska, które mają znamiona zjawisk losowych. Zaczynamy swe życie od losowej chwili narodzin. Jeżeli nie używamy budzika, budzimy się w losowych chwilach czasu. Zliczam liczbę samochodów przejeżdżających ulicą Wolności na wysokości domu 26 w godzinach 14-17 każdego dnia roboczego i liczba ta wydaje mi się liczbą losowa. Świat procesów i zjawisk ekonomicznych jawi nam się jak jakiś pogmatwany proces stochastyczny. Znakomitym przykładem jest ruch cen akcji na giełdach. Wygląda on jak ruch Browna: raz rośnie, raz maleje; raz maleje, to znowu rośnie. Wraz z powstaniem giełdy, ludzie starali się modelować ruch cen akcji za pomocą procesów stochastycznych. W roku 1900 Louis Bachelier w swej rozprawie doktorskiej pt. „ Teoria spekulacji ”, zaproponował po raz pierwszy modelowanie cen akcji za pomocą procesów stochastycznych. Jego modelowanie było ułomne: był to asymetryczny ruch Browna. Cząstka błądząca może przyjmować położenia dodatnie jak i ujemne na osi współrzędnych. Ceny akcji nie mogą być ujemne. To jest ta wada modelu Bacheliera.

Podamy jeden z prostszych sposobów modelowania cen akcji. Załóżmy, że posiadamy jakąś kwotę pieniędzy i chcemy ją ulokować w banku, który oferuje jakieś stopy procentowe. W chwili \(t\) posiadamy \(X(t)\) złotych. Ile dostaniemy pieniędzy z banku po czasie \(t+ \Delta t\). Otrzymamy \(X(t+\Delta t)\) złotych:

\(X(t+\Delta t) = X(t) + \delta X(t)\)

Pierwszy składnik jest kwotą jaką lokujemy w chwili \(t\). Drugi składnik jest kwotą jaką otrzymamy z oprocentowania lokaty. Ile wynosi ten dodatek? Ta kwota to

\( \delta X(t) = \mu X(t) \Delta t\)

Wyrażenie to ma prostą interpretacje: Im więcej ulokujemy w chwili \(t\) (tzn. większe \(X(t)\) ) tym więcej otrzymamy; im dłużej będzie trwała lokata (tzn. większe \(\Delta t\)) tym więcej otrzymamy. Współczynnik \(\mu\) zależy od stopy procentowej lokaty: im większe oprocentowanie tym większa wartość \(\mu\) i tym więcej otrzymamy z lokaty. Uwzględniając te dwa składniki otrzymamy równanie

\(X(t+\Delta t) - X(t) = \mu X(t) \Delta t\)

Załóżmy teraz, że że oprocentowanie scharakteryzowane przez wielkość \(\mu\) nie jest ustalone, ale w każdej chwili waha się losowo, to znaczy

\(\mu \to \mu + \xi(t)\)

gdzie \(\xi(t)\) opisuje losowe wahania oprocentowania. Innymi słowy jest to jakiś proces stochastyczny. Wówczas nasze równanie będzie miało postać

\(X(t+\Delta t) - X(t) = [\mu + \xi(t)]\, X(t) \Delta t\)

Z lewej strony mamy przyrost naszych pieniędzy

\(\Delta X(t) = X(t+\Delta t) - X(t) \)

Jeżeli teraz \(\Delta t \) jest nieskończenie małe, to nasze równanie ma postać równania stochastycznego

Banki nie stosują losowych wahań oprocentowania, ale powyższy model mozna zastosować do cen akcji na giełdzie. Tam ceny zmieniają się w każdej chwili i w tych zmianach można odnaleźć część przewidywalnych (deterministycznych) zmian opisywanych parametrem \(\mu\) i część zmian losowych opisywanych funkcją losową \(\xi(t)\). Jeżeli te zmiany podobne są do losowych zmian położenia czastki Browna, to \(\xi(t)\) jest białym szumem Gaussowskim

\(\xi(t) = \Gamma(t)\)

Jak wiemy biały szum Gaussowski jest pochodną procesu Wienera \(W(t)\), to znaczy

\(\Gamma(t) = \frac{dW(t)}{dt}\)

Stąd wynika, że

\(\Gamma(t) dt = dW(t)\)

Korzystając z tej relacji, możemy