Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej i jej zastosowania
Pochodna funkcji jest podstawowym narzędziem analizy zjawisk w naukach przyrodniczych. Jest także stosowana w ekonomii. Pozwala na łatwe prześledzenie zmian jakieś wielkości (wartości funkcji) gdy zmieniają się wielkości od których zależy (argumenty funkcji, bądź jeden argument gdy rozważamy funkcje jednej zmiennej). Pochodna funkcji jest wykorzystywana m.in. w znajdowaniu ekstremów (minimum/maksimum), przedziałów momotoniczności, szukaniu granic funkcji, jej asymptot, czy badaniu przebiegu zmienności funkcji. W trakcie tego wykładu omówimy te zastosowania pochodnej, a zaczniemy od podania definicji pochodnej i wzorów na oblicznie pochodnych najczęściej używanych funkcji.
Iloraz różnicowy
Zanim zdefiniujemy pojęcie pochodnej funkcji jednej zmiennej \(y = f(x)\) musimy zdefiniować iloraz różnicowy jako stosunek przyrostu wartości funkcji \(\Delta f(x)\) do przyrostu argumentu \(\Delta x\) (funkcja \(f(x)\) jest ciągła dla \(x \in \left[ x_1, x_2 \right[\))
\(\begin{aligned} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = tg\alpha, \nonumber\end{aligned}\)
gdzie kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia siecznej wykresu funkcji \(f(x)\) do osi \(OX\), przy czym jest to kąt skierowany liczony od osi \(OX\). Sieczna wykresu jest prostą, tak więc \(tg \alpha\) jest jej współczynnikiem kierunkowym. Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego jest podana na poniższym rysunku.
Jak widać \(tg \alpha\), czyli wartość ilorazu różnicowego, można wyliczyć ze stosunku długości odpowiednich boków trójkąta prostokątnego. Iloraz różnicowy mówi o tym jak bardzo zmienia się wartość funkcji \(f(x)\) gdy wartość argumentu wzrośnie z \(x_1\) na \(x_2\), czyli o \(\Delta x = x_2 - x_1\). Oczywiście zmianą tą może być zarówno wzrost wartości funkcji (iloraz różnicowy będzie wtedy dodatni), jak i spadek wartości funkcji (ujemna wartość ilorazu różnicowego). Iloraz różnicowy daje informację o zmianie wartości funkcji pomiędzy dwoma wartościami argumentów \(oddalonymi\) od siebie o \(\Delta x\). Aby otrzymać informację o \(chwilowej\), czyli w pewnym punkcie \(x_0 \in D\), zmianie funkcji \(f(x)\) musimy wprowadzić pojęcie pochodnej funkcji.
Pochodna funkcji
Pochodną \(f' (x_0)\) funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0 \in \left( x_1, x_2 \right)\), określonej w dziedzinie \(D = \left[ x_1, x_2 \right]\), jest granica ilorazu różnicowego przy \(\Delta x \rightarrow 0\)
\(\begin{aligned} f' (x_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {f(x_0 + \Delta x)}{\Delta x},\nonumber\end{aligned}\)
oczywiście o ile taka granica istnieje. Jeżeli taka granica nie istnieje to funkcja w punkcie \(x_0\) nie ma pochodnej. Inne określenie na obliczanie pochodnej funkcji to różniczkowanie funkcji. Interepretacja geometryczna pochodnej jest przestawiona na rys.
Pochodna \(f' (x_0)\) jest równa \(tg \alpha\), gdzie kąt \(\alpha\) jest kątem skierowanym pod którym styczna do wykresu funkcji \(f(x)\) w punkcie \(\left( x_0, f(x_0) \right)\) przecina oś \(OX\). Pochodna funkcji mówi o tym jak \(szybka\) jest zmiana funkcji w punkcie \(x_0\).
Obliczymy teraz pochodną funkcji \(f(x) = x^2\) w dowolnym punkcie \(x\), korzystając z definicji pochodnej podanej powyżej, tzn. wyliczając granicę ilorazu różnicowego. I tak \(f(x+\Delta x) = (x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x \Delta x + (\Delta x)^2\). Zatem
\(\begin{aligned} f' (x) = (x^2)' = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {(x + \Delta x)^2 }{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^2 + 2x \Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 2x.\nonumber\end{aligned}\)
I tak np., jeżeli \(x = 1\) to \(f'(1) = 2\), a jeżeli \(x = 2\) to \(f'(2) = 4\). Wnioskujemy stąd, że funkcja \(f(x) = x^2\) rośnie 2 razy szybciej w punkcie \(x =2\) niż w punkcie \(x = 1\), co widać po nachyleniu odpowiednich stycznych do paraboli przedstawionych na poniższym rys.
rys. przedstawiający parabolę i 2 styczne dla x=1 i x=2
Wykorzystywanie granicy ilorazu różnicowego do oblicznie pochodnych funkcji jest kłopotliwe i czasochłonne. I dlatego obliczono pochodne funkcji elementarnych, a odpowiednie wzory dla najczęściej używanych funkcji podano poniżej.
\( (x^a)' = a x^{a-1}, \\ (\sin x)' = \cos x, \\ (\cos x)' = -\sin x, \\ (tg x)' = \frac{1}{\cos^2x}, \qquad \cos x \neq 0 \\ (ctgx)' = \frac{-1}{sin^2x}, \qquad sinx \neq 0 \\ (e^x)' = e^x, \\ (a^x)' = a^x lna, \\ (lnx)' = \frac{1}{x}, \qquad x \neq 0 \\ (log_{a} x)' = \frac{1}{xlna}, \qquad x > 0 \\ (arcsin)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad x \in (-1,1) \\ (arccos)' = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad x \in (-1,1) \\ (arctg)' = \frac{1}{1 + x^2}, \\ (arcctg)' = \frac{-1}{1 + x^2}.\)
Natomiast dla podstawowych działań na funkcjach (mnożenie funkcji przez stałą \(c\), dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie funkcji, oraz funkcja złożona) obliczamy pochodne na podstawie następujących wzorów:
\( \big(cf(x)\big)' = c f'(x), \\ \big(f(x) \pm g(x)\big)' = f'(x) \pm g'(x), \\ \big(f(x) \cdot g(x)\big)' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x), \\ \Big(\frac{f(x)}{g(x)}\Big)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)}, \qquad g(x) \neq 0, \\ \Big(f\big(g(x)\big)\Big)' = f'\big(g(x)\big) \cdot g'(x).\)
W przypadku funkcji wielokrotnie złożonej (powyższy wzór dotyczy funkcji jednokrotnie złożonej\[g(x)\]jest funkcją wewnętrzną, a \(f(g(x))\) zewnętrzną) pochodną obliczamy mnożąc pochodne wszystkich funkcji tworzących funkcję złożoną.
Pochodne wyższych rzędów
Operację obliczenia pochodne można zastosować do obliczonej właśnie pochodnej rzędu pierwszego \(f'(x)\). Jeśli taka operacja jest wykonalna to otrzymamy pochodną rzędu drugiego \(f''(x)\) funkcji \(f(x)\). Podobnie możemy znajdować pochodne wyższych rzędów: trzeciego - \(f'''(x)\), czwartego - \(f^{(4)}\), czy ogólnie rzędu n-tego - \(f^{(n)}\). Jako przykład obliczymy pochodne, do rzędu piątego włącznie, funkcji \(f(x) = \sin x\).
\(\begin{aligned} (\sin x)' & = & \cos x, \nonumber \\ (\sin x)'' = (\cos x)' & = & -\sin x, \nonumber \\ (\sin x)''' = (-\sin x)' & = & -\cos x, \nonumber \\ (\sin x)^{(4)} = (-\cos x)' & = & \sin x, \nonumber \\ (\sin x)^{(5)} = (\sin x)' & = & \cos x, \nonumber \\\end{aligned}\)
Jak widać pochodna funkcji \(f(x) = \sin x\) rzędu piątego jest taka sama jak pochodna rzędu pierwszego. I tak samo będzie dla pochodnej rzędu dziewiątego. Podobna własność mają pochodne funkcji \(f(x) = \cos x\).
Zastosowanie pochodnej do badania monotoniczności funkcji
Jeżeli pochodna funkcji \(f(x)\) jest dodatnia dla \(x \in [a,b]\) (przedział [a,b] należy do dziedziny funkcji \(f(x)\)) to funkcja \(f(x)\) jest w tym przedziale rosnąca
\(\begin{aligned}
f'(x) > 0 \textrm{ dla }x \in [a,b] \Rightarrow f(x) \textrm{ rosnąca dla }x \in [a,b]. \nonumber\end{aligned}\)
I podobnie, jeżeli pochodna funkcji \(f(x)\) jest ujemna dla \(x \in [a,b]\) (przedział [a,b] należy do dziedziny funkcji \(f(x)\)) to funkcja \(f(x)\) jest w tym przedziale malejąca
\(\begin{aligned}
f'(x) < 0 \textrm{ dla }x \in [a,b] \Rightarrow f(x) \textrm{ malejąca dla }x \in [a,b]. \nonumber\end{aligned}\)
Jak widać zastosowanie pochodnej znakomicie ułatwia odpowiedź na bardzo ważne pytanie o monotoniczność funckji. Zobaczymy to na przykładzie funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2\), której dziedziną jest \(\Re\). I tak \(f'(x) = 2x\), stąd od razu znajdujemy, że \(f'(x) > 0\), dla \(x \in [0, +\infty)\) i funkcja w tym przedziale jest rosnąca. Z kolei \(f'(x) < 0\), dla \(x \in (-\infty, 0]\) i funkcja w tym przedziale jest malejąca. Przedziały monotoniczności tej funkcji widać na poniższym rysunku.
rysunek str.35 wyklady
Z tego rysunku od razu znajdujemy minimum funkcji \(f(x) = x^2\) dla \(x = 0\). Uważny czytelnik zauważy, że w tym punkcie pochodna funkcji zmienia znak z \(-\) na +, a ponadto \(f'(0) = 0\). I nie jest to przypadek, a treść twierdzeń o znajdowaniu ekstremum funkcji jednej zmiennej.
Zastosowanie pochodnej do znajdowania ekstremum funkcji
Przez ekstremum lokalne funkcji rozumiemy minimum bądź maksimum lokalne funkcji, których definicja jest następująca:
\(
\textrm{funkcja } f(x) \textrm{ ma minimum lokalne w punkcie } x = x_0 \Leftrightarrow \bigvee_{\delta > 0} \quad \bigwedge_{x_0 - \delta < x < x_0 + \delta} \quad f(x) \geq f(x_0),\nonumber\\
\textrm{funkcja } f(x) \textrm{ ma maksimum lokalne w punkcie } x = x_0 \Leftrightarrow \bigvee_{\delta > 0} \quad \bigwedge_{x_0 - \delta < x < x_0 + \delta} \quad f(x) \leq f(x_0).\)
Czyli, wartość funkcji w ekstremum (punkt \(x_0\)) jest najmniejsza (minimum) lub największa (maksimum) niż we wszystkich punktach otoczenia punktu \(x_0\) o promieniu \(\delta\).
Do znajdowania ekstremum funkcji różniczkowalnych wykorzystuje się następujące dwa twierdzenia.
Twierdzenie Fermata (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji):
jeżeli funkcja \(f(x)\) jest ciągła w punkcie \(x = x_0\) i ma w tym punkcie ekstremum lokalne to wtedy \(f'(x_0) = 0\), lub \(f'(x_0)\) nie istnieje.
Zwróćmy uwagę na konstrukcję tego twierdzenia. Mianowicie twierdzenie mówi, że z faktu istnienia ekstremum WYNIKA \(zerowanie\) \(się\) pierwszej pochodnej funkcji. Nie jest natomiast prawdziwe wynikanie w drugą stronę, czyli z faktu \(zerowania\) \(się\) pierwszej pochodnej funkcji NIE WYNIKA istnienie ekstremum. I dlatego twierdzenie Fermata jest jedynie warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym, istnienia ekstremum funkcji jednej zmiennej.
Twierdzenie - warunek konieczny instnienia ekstremum lokalnego funkcji:
jeżeli funkcja \(f(x)\) jest ciągła i istnieje \(\delta > 0\) taka, że \(f'(x)\) istnieje w przedziale \((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) oraz jeżeli
\(\begin{aligned} \bigwedge_{x \in (x_0 - \delta, x_0)} f'(x) < 0 \quad i \bigwedge_{x \in (x_0, x_0 + \delta)} f'(x) > 0 \nonumber\end{aligned}\)
to funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_0\) minimum lokalne.
Natomiast jeżeli funkcja \(f(x)\) jest ciągła i istnieje \(\delta > 0\) taka, że \(f'(x)\) istnieje w przedziale \((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) oraz jeżeli
\(\begin{aligned} \bigwedge_{x \in (x_0 - \delta, x_0)} f'(x) > 0 \quad i \bigwedge_{x \in (x_0, x_0 + \delta)} f'(x) < 0 \nonumber\end{aligned}\)
to funkcja \(f(x)\) ma w punkcie \(x_0\) maksimum lokalne.
Powyższe dwa twierdzenia możemy wypowiedzieć w mniej formalny sposób następująco. Twierdzenie Formata daje nam przepis na szukanie punktów \(podejrzanych\) o to, że w nich jest ekstremum funkcji. Mianowicie rozwiązując równanie \(f'(x) = 0\) otrzymujemy zbiór takich punktów. A aby znaleźć ekstremum musimy posłuzyć sie twierdzeniem o warunku wystarczającym istnienia esktremum i zbadać zmianę znaku pierwszej pochodnej funkcji w punktach \(podejrzanych\). I jeżeli taka zmiana ma miejsce to funkcja ma ekstremum: minimum gdy jest zmiana z \(-\) na \(+\), a maksimum gdy zmiana znaku pierwszej pochodnej jest z \(+\) na \(-\).
Zilustrujemy to na przykładzie naszej \(ulubionej\) funkcji kwadratowej. I tak pochodna funkcji \(f(x) = x^2\) wynosi \(f'(x) = 2x\) i jest równa zero dla \(x_0 = 0\) i jest to punkt \(podejrzany\). Łatwo sprawdzamy, że \(f'(x) > 0\) dla \(x > 0\) oraz \(f'(x) < 0\) dla \(x < 0\). Stąd zmiana znaku pochdnej jest z \(-\) na \(+\) (zmianę znaku śledzimy zgdnie z kierunkiem osi liczbowej \(x\)) i dlatego funkcja \(f(x) = x^2\) ma w punkcie \(x_0 = 0\) minimum lokalne, co dobrze widać na poniższym rysunku.
rys. str. 36, min
Natomiast pochodna funkcji \(f(x) = -x^2\) wynosi \(f'(x) = -2x\) i jest równa zero dla \(x_0 = 0\) i jest to punkt \(podejrzany\). Łatwo sprawdzamy, że \(f'(x) < 0\) dla \(x > 0\) oraz \(f'(x) > 0\) dla \(x < 0\). Stąd zmiana znaku pochdnej jest z \(+\) na \(-\) i dlatego funkcja \(f(x) = -x^2\) ma w punkcie \(x_0 = 0\) maksimum lokalne, co ilustruje poniższy rysunek.
rys. str. 36, max
Zastosowanie pochodnej do znajdowania przedziałów wklęsłości/wypukłości oraz punktów przegięcia funkcji
W tym rozdziale zajmiemy się pojęciem wklęsłości/wypukłości funkcji, przy czym dla prostoty ograniczymy się do funkcji conajmniej dwukrotnie różniczkowalnych.
Funkcja \(f(x)\) jest wypukła (wklęsła) w przedziale \([a,b] \in D\) jeżeli w każdym punkcie \(x_0 \in [a,b]\) styczna do wykresu funkcji znajduje się pod (nad) wykresem funkcji \(f(x)\). Ilustruje to poniższy rysunek. Takie określenie będzie dla nas definicją wypukłości (wklęsłości) funkcji, chociaż dla ścisłości trzeba powiedzieć, że można to pokazać.
rys. str. 36, wypukła/wklęsła
W znalezieniu przedziałów wklęsłości/wypukłości funkcji, która jest dwukrotnie różniczkowalna (tzn. istnieje pochodna drugiego rzędu tej funkcji) pomocne jest następujące twierdzenie:
funkcja \(f(x)\), dwukrotnie różniczkowalna w przedziale \([a,b]\) jest wypukła (wklęsła) w \([a,b]\) wtedy i tylko wtedy gdy
\(\begin{aligned} \bigwedge_{x \in [a,b]} f''(x) \geq 0 \quad (f''(x) \leq 0).\nonumber\end{aligned}\)
I znowu jako przykładu użyjemy funkcji kwadratowej. Funkcja \(f(x) = x^2\) jest wypukła w całej dziedzinie \(\Re\), ponieważ \(f'(x) = 2x\), a \(f''(x) = 2 >0\). Natomiast \(f(x) = -x^2\) jest wklęsła w całej dziedzinie \(\Re\), ponieważ \(f'(x) = -2x\), a \(f''(x) = -2 <0\). Ilustracją są poniższe rysunki.
rys. kwadratowa wypukla/wklesla str. 37
A teraz podamy defincję punktu przegięcia funkcji.
Jeżeli funkcja \(f(x)\) ma drugą pochodną \(f''(x)\) ciągłą w przedziale \((a,b)\) to punktem przegięcia wykresu funkcji \(f(x)\) nazywamy punkt o współrzędnych \((x_0, f(x_0))\), \(x_0 \in (a,b)\) w którym następuje zmiana wypukła \(\leftrightarrow\) wklęsła.
Przykładem będzie teraz funkcja \(f(x) = x^3\), której druga pochodna \(f''(x) = 6x\) jest ujemna dla \(x < 0\) (czyli \(f(x)\) jest wklęsła), a dodatnia dla \(x > 0\) \(f(x)\) wypukła. Zatem dla \(x_0 = 0\) następuje zmiana wklęsła \(\leftrightarrow\) wypukła, a punkt o współrzędnych \((0,0)\) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(f(x) = x^3\) (poniższy rysunek).
/
rys. punkt przegiecia str. 37
/
Przy okazji zwróćmy uwagę, że funkcja \(f(x) = x^3\) jest ilustracją tego, że warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji (twierdzenie Fermata) musi być uzupełniony warunkiem wystarczającym. Mianowicie, \(f'(x) = 3x^2\) jest równa zero dla \(x_0 = 0\), a w tym punkcie funkcja \(f(x) = x^3\) ma punkt przegięcia, a nie ma ekstremum. Pierwsza pochodna tej funkcji jest bowiem zawsze dodatnia i tym samym nie zmienia znaku w punkcie \(x_0 = 0\).
Powyższy przykład jest ilustracją następującego twierdzenia:
Jeżeli druga pochodna funkcji \(f(x)\) jest równa zero dla \(x_0 = 0\) oraz \(f''(x) < 0\) dla \(x < x_0\) i \(f''(x) > 0\) dla \(x > x_0\), lub \(f''(x) > 0\) dla \(x < x_0\) i \(f''(x) < 0\) dla \(x > x_0\) to punkt o współrzędnych \((x_0, f(x_0))\) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(f(x)\).
Twierdzenie to możemy wypowiedzieć w nieformalny sposób bardzo prosto: istnienie punktu przegięcia wymaga zerowania sie drugiej pochodnej funkcji oraz zmiany znaku tejże drugiej pochodnej w punkcie zerowania się. Np. funkcja \(f(x) = x^4\) nie posiada punktu przegięcia \((0,0)\) chociaż \(f''(0) = 0\), ale druga pochodna tej funkcji \(f''(x) = 12x^2\) nie zmienia znaku dla \(x_0 = 0\). Jest bowiem dodatnia dla \(x \in \Re\). Jest to pokazane na poniższym rysunku.
rys. str. 38
Zastosowanie pochodnej do znajdowania granicy funkcji - twierdzenie de l’Hospitala
Jeśli spełnione są pewne warunki to pochodne funkcji można wykorzystać do znajdowania granic wyrażeń nieoznaczonych różnych typów. Wyrażeniami nieoznaczonymi najczęściej spotykanymi są wyrażenia \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\) oraz \(\infty 0\). Wyrażenia te nazywają się nieoznaczonymi, ponieważ ich wartość (czyli odpowiednia granica) może przyjmować dowolne wartośći. I taka wartość (granica) może być wyliczona przy użyciu pochodnych. Mówi o tym twierdzenie de l’Hospitala, które można wypowiedzieć dla granic różnego typu. I tak jeżeli:
- \(\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} g(x) = 0, \)
- \(\textrm{istnieją } f'(x) \textrm{ i } g'(x) \textrm{ dla } x \in (a - \delta, a + \delta), \delta > 0,\)
to wtedy
\(\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}, \nonumber \\\end{aligned}\) o ile granica \(\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) istnieje.
Podobnie jeżeli:
- \(\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} g(x) = +\infty,\)
- \( \textrm{istnieją } f'(x) \textrm{ i } g'(x) \textrm{ dla } x \in (a - \delta, a + \delta), \delta > 0\)
to wtedy
\(\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}, \nonumber \\\end{aligned}\) o ile granica \(\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) istnieje.
Twierdzenie de l’Hospitala jest również słuszne dla granic niewłaściwych, czyli dla \(x \rightarrow \pm \infty\). Nie będziemy go tutaj przytaczać, jest bowiem identyczne z dwoma powyższymi. Zauważmy, że możemy przekształcić wyrażenie nieoznaczone typu \(\infty 0\) na znane już wyrażenie nieoznaczone \(\frac{0}{0}\). A mianowicie możemy zastosować przekształcenie\[\infty 0 = \frac{0}{\frac{1}{\infty}}\], po którym otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone typy \(\frac{0}{0}\), ponieważ w granicy\(\frac{1}{\infty}\) jest równe 0.
Przykład 1
Znaleźć granicę \(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}\)
Ponieważ x zmierza do zera stąd \(\frac{0}{0}\), na podstawie reguły de l’Hospitala obliczamy pochodną funkcji
\(\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1}\)
Gdy x zmierza do 0 to otrzymujemy wartość 1
Przykład 2
Znaleźć granicę \(\lim_{x \to \infty}\frac{4x+22}{5x+9}\)
Ponieważ x zmierza do nieskończoności stąd \(\frac{\infty}{\infty}\). na podstawie reguły de l’Hospitala obliczamy pochodną funkcji
\(\lim_{x \to \infty}\frac{4}{5}\)
Nie ma członu z x! Odpowiedź: \(\frac{4}{5}\).
Zadania
- Oblicz pochodne następujących funkcji:
- \(f(x) = 3x^2 + 3\,\)
- \(f(x) = 4\sqrt[3]{x}\,\)
- \(f(x) = 6x^5+8x^2+x-78\,\)
- \(f(x) = 7x^7-5x^5+x^3+x^2-x\,\)
- \(f(x) = \frac{1}{x^3}+4x^\frac{1}{3}\,\)
- \(f(x) = 3x^{17} + \frac{1}{17}3x^2 +\frac{2}{\sqrt{x}} \,\)
- \(f(x) = \frac{3}{x^6} - \sqrt[7]{x} + x \,\)
- \(f(x) = 6x^{1/3}-x^{0.4} +\frac{3}{x^2} \,\)
- \(f(x) = \frac{1}{\sqrt[5]{x}} + \sqrt{x} \,\)
- Oblicz pochodne następujących funkcji:
- \(f(x) = (x^4+4x+2)(2x+3) \,\)
- \(f(x) = (3x-1)(3x^2+2) \,\)
- \(f(x) = (x^4-12x)(3x^2+2x) \,\)
- \(f(x) = (2x^7-x)(3x+1) \,\)
- \(f(x) = (3x^2+3)(2x+7)\,\)
- \(f(x) = 3x^2(7x^2+1)^4 \,\)
- \(f(x) = x^3(21x^2-x+4)^4 \,\)
- \(f(x) = 4x^2(x^3-x+1)^3 \,\)
- \(f(x) = (5-x)^6(6+2x)^4 \,\)
- Oblicz pochodne następujących funkcji:
- \(f(x) = \frac{3x+1}{x+5} \,\)
- \(f(x) = \frac{5x^4+2x +2}{3x^2+1} \,\)
- \(f(x) = \frac{x^\frac{4}{2}+1}{x+2} \,\)
- \(d(u) = \frac{u^3+2}{u^4} \,\)
- \(f(x) = \frac{x^2+x}{6x-1} \,\)
- \(f(x) = \frac{x-1}{2x^2+2x+3} \,\)
- \(f(x) = \frac{16x^4+2x^2}{x} \,\)
- \(f(x) = \frac{9x^3+2}{5x+5} \,\)
- \(f(x) = \frac{(3x-2)^2}{x^{1/2}} \,\)
- \(f(x) = \frac{ x^{1/3}}{2x-1} \,\)
- \(f(x) = \frac{ 5x-3}{x+2} \,\)
- \(f(x) = \frac{ 4x-3}{2x-1} \,\)
- \(f(x) = \frac{ x^2}{x+3} \,\)
- \(f(x) = \frac{ x^6}{3+x} \,\)
- \(f(x) = \frac{2x+1}{\sqrt{2x+2}} \,\)
- \(f(x) = \sqrt{2x^2+1}(3x^4+2x)^2 \,\)
- \(f(x) = \frac{2x+3}{(x^4+4x+2)^2} \,\)
- \(f(x) = \sqrt{x^3+1}(x^2-1) \,\)
- \(f(x) = ((2x+3)^4 + 4(2x+3) +2)^2 \,\)
- \(f(x) = \sqrt{1+x^2} \,\)
- \(f(x) = e^{e^{2x^2+1}}\)
- \(f(x) = e^{2x^2+3x}\)
- \(f(x) = (3x^2+e)e^{2x}\,\)
- \(f(x) = \ln(2x^2+3x)\,\)
- \(f(x) = \log_4 x + 2\ln x\,\)
- Dla każdej funkcji, \(f\) (a) znaleźć równanie stycznej do \(f\) w danym punkcie, (b) określ wartość stycznej dla danego x
- \( f(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + 5, \;\;\; (3,23) \)
- \( f(x) = x^3 - 3x + 1, \;\;\; (1,-1) \)
- \( f(x) = \frac{2}{3} x^3 + x^2 - 12x + 6, \;\;\; (0,6) \)
- \( f(x) = 2x + \frac{1}{\sqrt{x}}, \;\;\; (1,3) \)
- \( f(x) = (x^2+1)(2-x), \;\;\; (2,0) \)
- \( f(x) = \frac{2}{3}x^3+\frac{5}{2}x^2 +2x+1, \;\;\; (3,\frac{95}{2})\)
- Oblicz granicę funkcji wykorzystując regułę de l’Hospitala
- \(\lim_{x \to 0}\frac{x+\tan x}{\sin x}\)
- \(\lim_{x \to \pi}\frac{x-\pi}{\sin x}\)
- \(\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{\sin 4x}\)
- \(\lim_{x \to \infty}\frac{x^5}{e^{5x}}\)
- \(\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - x}{\sin x - x}\)