Procesy i Zjawiska Losowe

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(→Spis treści)
(→Wstęp)
 
(Nie pokazano 98 wersji pomiędzy niniejszymi.)
Linia 1: Linia 1:
-
=='''PROCESY I ZJAWISKA LOSOWE '''==
+
__NOTOC__
-
Jerzy Łuczka
+
<center>
 +
<span style="font-size: 22pt">'''PROCESY I ZJAWISKA LOSOWE'''</span>
-
Skrypt dla studentów ekonofizyki
+
'''''JERZY ŁUCZKA'''''
 +
</center>
 +
===Wstęp===
 +
* Celem zajęć jest poznanie podstaw teorii procesów stochastycznych wykorzystywanych do modelowania procesów rynkowych
 +
* przedmiot obowiązkowy na  1 roku studiów I stopnia (licencjackich)
 +
===Wymagania===
 +
* znajomość rachunku różniczkowego i całḱowego
-
'''WAZNE - postaraj sie podzielic tekst na glowne rozdzialy (tak by bylo  z 10 sztuk)'''
+
               
 +
'''Spis treści'''
-
==Spis treści==
+
# [[PIZL:Wstęp|WSTĘP]]
 +
# [[PIZL:Elementy teorii prawdopodobieństa|ELEMENTY TEORII PRAWDOPODOBIEŃSTWA]]
 +
# [[PIZL:Próby i schemat Bernoulliego|PRÓBY I SCHEMAT BERNOULLIEGO]]
 +
# [[PIZL:Procesy Stochastyczne|PROCESY STOCHASTYCZNE]]
 +
# [[PIZL:Procesy Poissona|PROCESY POISSONA]]
 +
# [[PIZL:Błądzenie przypadkowe|BŁĄDZENIE PRZYPADKOWE]]
 +
# [[PIZL:Proces Wienera i proces dyfuzji |PROCES DYFUZJI - PROCES WIENERA]]
 +
# [[PIZL:Procesy Levy'ego|PROCESY LEVY'EGO]]
 +
# [[PIZL:Procesy Markowa|PROCESY MARKOWA]]
 +
# [[PIZL:Stochastyczne równania różniczkowe|STOCHASTYCZNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE]]
 +
# [[PIZL:Przykłady zastosowań równań stochastycznych w ekonomii|PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ RÓWNAŃ STOCHASTYCZNYCH W EKONOMII]]
 +
# [[PIZL:Dodatek matematyczny|DODATEK MATEMATYCZNY]]
-
# [[PIZL:Wstęp|Wstęp]]
 
-
# [[PIZL:Zbiory|Zbiory]]
 
-
# [[PIZL:Elementy teorii prawdopodobieństa|Elementy teorii prawdopodobieństa]]
 
-
# [[PIZL:Próby i schemat Bernoulliego|Próby i schemat Bernoulliego]]
 
-
# [[PIZL:Procesy Stochastyczne|Procesy Stochastyczne]]
 
-
# [[PIZL:Procesy Poissona|Procesy Poissona]]
 
-
# [[PIZL:Błądzenie przypadkowe|Błądzenie przypadkowe]]
 
-
# [[PIZL:Proces Wienera i proces dyfuzji|Proces Wienera i proces dyfuzji]]
 
-
# [[PIZL:Procesy Levy'ego|Procesy Levy'ego]]
 
-
# [[PIZL:Procesy Markowa|Procesy Markowa]]
 
-
# [[PIZL:Równania Kołmogorowa-Fokkera-Plancka|Równania Kołmogorowa-Fokkera-Plancka]]
 
-
# [[PIZL:Stochastyczne równania różniczkowe|Stochastyczne równania różniczkowe]
 
-
==Procesy Levy'ego==
+
===Literatura===
-
 
+
# Athanasios Papoulis. ''' Probability, Random Variables, and Stochastc Processes''' McGraw Hill, 1991.
-
 
+
# Rama Cont and Peter Tankov. '''Financial Modelling with jump Processes''' Chapman &Hall/CRC,  2004.
-
Podaliśmy dwa przykłady najbardziej popularnych modeli szumu białego:
+
-
gaussowskiego i poissonowskiego. Są one pochodną procesów Wienera i Poissona, procesów  o przyrostach niezależnych na nieprzekrywających się przedziałach.
+
-
Oba procesy są szczególnymi przypadkami ogólnej klasy procesów stochastycznych, które nazywają się procesami Levy'ego <math>L(t)</math>.
+
-
+
-
Definicja procesu Levy'ego <math>L(t)</math> jest następująca:
+
-
 
+
-
(1) Jest to proces rzeczywisty, który prawie wszędzie jest prawostronnie ciągły i posiada wszędzie lewostronne granice
+
-
 
+
-
(2) <math>L(0)=0</math> (proces startuje z zera)
+
-
 
+
-
(3) <math>L(t)</math> ma przyrosty niezależne na nieprzekrywających się przedziałach,  to znaczy zmienne losowe <math>L(t_4) -L(t_3)</math> oraz <math>L(t_2) -L(t_1)</math> są niezależna dla <math>0 \le t_1 \le t_2 \le t_3 \le t_4</math>
+
-
 
+
-
(4) <math>L(t)</math> ma stacjonarne przyrosty, to znaczy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej  <math>L(t_2) -L(t_31</math>  zależy od różnicy czasów <math>t_2 -t_1</math> dla <math>$0 \le t_1 \le t_2</math>
+
-
 
+
-
(5) <math>L(t)</math> jest stochastycznie ciągły, to znaczy dla każdego <math>t \ge 0</math> oraz <math>\epsilon > 0</math>
+
-
 
+
-
<math>\lim_{s\to t} P(|L(t) -L(s)|>\epsilon)=0</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Z własności (3) wynika, że funkcja korelacyjna procesu Levy'ego o wartości średniej zero, <math>\langle L(t)\rangle =0</math>, ma postać 
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\langle L(t) L(s) \rangle = 2D_0 \mbox{min} (t, s) \equiv 2D_0 [t  \theta(s-t) + s \theta(t-s)]
+
-
</math>
+
-
 
+
-
gdzie <math>D_0 > 0</math> jest stałą, nazywaną natężeniem lub intensywnością pprocesu Levy'ego.  
+
-
 
+
-
 
+
-
Procesy Levy'ego są przykładem losowego ruchu którego trjektorie (realizacje) są funkcjami prawostronnie ciągłymi (tak jak proces Poissona) i mogą mieć co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości w losowych chwilach czasu na każdym skończonym przedziale czasu. 
+
-
 
+
-
Istnieje wspaniała formuła Levy'ego-Chinczyna dla funkcji  characterystycznej procesu Levy'ego
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>
+
-
C(\omega, t) = \langle \mbox{e}^{i\omega L(t)} \rangle = \mbox{e}^{t \psi(\omega)}
+
-
</math>
+
-
 
+
-
gdzie
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\psi(\omega) = ia_0 \omega -\frac{1}{2} b \omega^2  +
+
-
\int_{-\infty}^{\infty} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 - i\omega y {\mathbb I}_{(-1,1)}(y)
+
-
\right]  \nu (dy),
+
-
</math>
+
-
 
+
-
Parametry  <math>a_0\in  R, b \ge 0</math>. Funkcja
+
-
 
+
-
<math>
+
-
{\mathbb I}_A(y)=  \{ {{1 \; \; \mbox{if} \; \;  y \in A} \atop {0 \; \; \mbox{if} \; \; y \notin A }}
+
-
</math>
+
-
 
+
-
nazywa się funkcją charakterystyczną zbioru <math>A</math> lub indykatorem zbioru <math>A</math>, a wielkość
+
-
<math>\nu = \nu(dy) </math> jest tzw. miarą Levy'ego na zbiorze  <math>R-\{0\}</math> o własnościach
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\nu (R-[-1, 1]) < \infty, \quad \int_{-1}^1 y^2 \nu(dy) < \infty
+
-
</math>
+
-
 
+
-
Czytelnik, który nie ma zacięcia matematycznego może myśleć o mierze Levy'ego jako o wyrażeniu
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\nu = \nu(dy) = \rho(y) dy, \; \; \; \; \rho(y) \ge 0
+
-
</math>
+
-
 
+
-
Nieujemna funkcja <math>\rho(y)</math> ma wiele cech wspólnych z  gęstością  rozkładu prawdopodobieństwa.
+
-
 
+
-
Jak widać, proces Levy'ego jest w pełni określony przez tryplet 
+
-
<math>(a_0, b, \nu)</math>  w którym <math>a_0</math> opisuje dryf,  <math>b</math> charakteryzuje proces Wienera (ruch Browna) i składowa nieciągła procesu Levy'ego opisana jest miarą Levy'ego <math>\nu</math>.  
+
-
Tryplet <math>(0, b, 0)</math> opisuje proces Wienera. Tryplet <math>(0, 0, \mu \delta(y-1))</math> opisuje proces Poissona o parametrze <math>\mu</math> i
+
-
o jednostkowym skoku. Jezeli mamy dowolne losowe skoki (uogólniony proces Poissona)  opisane rozkładem prawdopodobieństwa  <math>\nu(dy)</math> to wówczas
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\psi(\omega) = \mu
+
-
\int_{-\infty}^{\infty} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 \right]  \nu (dy)
+
-
</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Jeżeli  <math> \nu(R) = \infty</math> wówczas <math>L(t)</math>  opisuje nieciągły proces, który ma nieskończoną ilość małych skoków w dowolnym skończonym przedziale czasu.  Taki proces nie opisuje realnych procesów, ale może być przydatną  idealizacją.
+
-
 
+
-
Z twierdzenia Levy'ego-Ito wynika, że dowolny proces  Levy'ego <math>L(t)</math> można rozłożyć na cztery niezależne procesy
+
-
 
+
-
   
+
-
<math>
+
-
L(t)=L_1(t) +L_2(t) + L_3(t) + L_4(t)\;
+
-
</math>
+
-
 
+
-
gdzie <math>L_1(t)</math> opisuje dryf (proces deterministyczny), <math>L_2(t)</math> jest procesem Wienera,  <math>L_3(t) </math> jest uogólnionym procesem Poissona oraz
+
-
<math>L_4(t)</math> opisuje nieciągły proces, który ma nieskończoną ilość małych skoków w dowolnym skończonym przedziale czasu (a pure jump martingale).
+
-
Wynika to z przedstawienia
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\psi(\omega) = \psi_1(\omega)  +\psi_2(\omega) +\psi_3(\omega) +\psi_4(\omega) \; 
+
-
</math>
+
-
 
+
-
gdzie
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\psi_1(\omega)  = i a_0 \omega \;</math>
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\psi_2(\omega) = -\frac{1}{2} b \; \omega^2 </math>
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\psi_3(\omega) = \int_{|y| \ge 1} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 \right]  \nu (dy) </math>
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\psi_4(\omega) = \int_{|y| < 1} \left[\mbox{e}^{i\omega y} - 1 - i\omega y  \right]  \nu (dy). 
+
-
</math>
+
-
 
+
-
Liniowa kombinacja nezależnych procesów Levy'ego jet też procesem Levy'ego.
+
-
 
+
-
Specjalna klasą procesów Levy'ego jet tzw. <math>\alpha</math>-proces o indeksie <math>\alpha \in (0, 2]</math> opisany przez
+
-
tryplet <math>(a, 0, \nu)</math> z miarą Levy'ego
+
-
 
+
-
<math>
+
-
  \nu(y) = \left[ c_{1} {\mathbb I}_{(0,\infty)}(y) + c_{2} {\mathbb I}_{(-\infty,0)}(y) 
+
-
\right] |y|^{-\alpha -1}\ dy,
+
-
</math>
+
-
 
+
-
gdzie
+
-
 
+
-
<math>c_1>0, \; c_2>0</math>.  
+
-
 
+
-
Funkcja charakterystyczna takiego procesu ma postać
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\psi(\omega) = \{ {{i a \omega  - c |\omega|^\alpha\left (1-i\beta\mbox{sgn}\omega \tan
+
-
\frac{\pi\alpha}{2} \right) \; \;  \mbox{for} \;\;\alpha\neq 1} \atop
+
-
{i a \omega  -c |\omega|\left (1+i\beta\frac{2}{\pi}\mbox{sgn} \omega \ln|k| \right) \; \;  \mbox{for}\;\;\alpha=1}}
+
-
</math>
+
-
 
+
-
gdzie parametry
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\alpha\in(0, 2], \; \; \beta =\beta(c_1, c_2) \in [-1, 1], \; \;  c = c(\alpha, c_1, c_2)  \in(0, \infty), \; \;  a = a(a_0, \alpha, c_1, c_2) 
+
-
</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Przypadek <math>c_1=c_2</math>  implikuje <math>\beta=0</math>  i proces jest procesem symetrycznym.
+
-
 
+
-
 
+
-
Biały szum Levy'ego jest zdefiniowany podobnie jak biały szum poissonowski i  biały szum gaussowski:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>
+
-
Z(t)=\frac{dL(t)}{dt} 
+
-
</math>
+
-
 
+
-
Dla procesu  Levy'ego  o zerowej wartości średniej funkcja korelacyjna  ma postać
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>
+
-
\langle Z(t) Z(s) \rangle = \frac{\partial^2}{\partial t \partial s} \  \langle L(t) L(s) \rangle 
+
-
=  2D_0 \delta (t-s),
+
-
</math>
+
-
 
+
-
Przypominam, że zawsze można przedefiniowac proces stochastyczny tak, aby jego wartość średnia była zero:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>L(t) \to \tilde L(t) =  L(t) - \langle L(t)\rangle, \; \; \; \; \; \langle \tilde L(t)\rangle = 0</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Funkcjonał charakterystyczny symetrycznego <math>\alpha</math>-stabilnego białego szumu Levy'ego <math>Y(t)</math> ma postać
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>
+
-
{\mathbb C}[f]  =\langle \mbox{exp}\left[i \int_0^{t} ds\; f(s) 
+
-
Y(s)  \right] \rangle =
+
-
\mbox{exp}\left[- c \int_0^{t} dt\; |f(s)|^{\alpha}  \right]
+
-
</math>
+
-
 
+
-
dla dowolnej tzw. testowej funkcji <math>f(s)</math>. Jeżeli  <math>f(s) = \omega</math> wówczas  funkcjonał charakterystyczny redukuje się do funkcji charakterystycznej dla procesu Levy'ego <math>L(t)</math>. Zkolei, jeżeli wybierzemy  <math>f(s) = \omega \delta(s-\tau)</math> wówczas  funkcjonał charakterystyczny redukuje się do funkcji charakterystycznej dla białego szumu Levy'ego <math>Y(\tau)</math> gdy <math>\tau \in (0, t)</math>.
+
-
 
+
-
==Stochastyczne równania różniczkowe==
+
-
==Równanie Kramersa-Moyala==
+
-
==Proste i odwrotne równanie Kołmogorowa. Równanie Fokkera-Plancka==
+
-
==Równanie Ito a proces dyfuzji==
+
-
==Równanie Ito i równanie Stratonowicza==
+
-
==Twierdzenie Ito o różniczce funkcji procesu stochastycznego==
+
-
==Przykłady zastosowań równań stochastycznych w ekonomii==
+
-
===Geometryczny proces Wienera===
+
-
 
+
-
 
+
-
==Dodatek matematyczny==
+
-
 
+
-
 
+
-
1. Elementy teorii dystrybucji:  delta Diraca,    funkcja schodkowa i jej pochodna , różniczkowanie funkcji nieciągłej
+
-
 
+
-
 
+
-
2. Podstawowe tw. w teorii całki Riemanna , różniczkowanie całki wz. górnej granicy całkowania
+
-
 
+
-
 
+
-
3. Transformacja Fouriera
+
-
 
+
-
 
+
-
4. Momenty statystyczne dla rozkładu Poissona
+
-
 
+
-
5. Twierdzenie Poissona dla uogólnionych  schematów Bernoulliego
+

Aktualna wersja na dzień 21:02, 17 mar 2011

PROCESY I ZJAWISKA LOSOWE

JERZY ŁUCZKA

Wstęp

  • Celem zajęć jest poznanie podstaw teorii procesów stochastycznych wykorzystywanych do modelowania procesów rynkowych
  • przedmiot obowiązkowy na 1 roku studiów I stopnia (licencjackich)

Wymagania

  • znajomość rachunku różniczkowego i całḱowego


Spis treści

  1. WSTĘP
  2. ELEMENTY TEORII PRAWDOPODOBIEŃSTWA
  3. PRÓBY I SCHEMAT BERNOULLIEGO
  4. PROCESY STOCHASTYCZNE
  5. PROCESY POISSONA
  6. BŁĄDZENIE PRZYPADKOWE
  7. PROCES DYFUZJI - PROCES WIENERA
  8. PROCESY LEVY'EGO
  9. PROCESY MARKOWA
  10. STOCHASTYCZNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
  11. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ RÓWNAŃ STOCHASTYCZNYCH W EKONOMII
  12. DODATEK MATEMATYCZNY


Literatura

  1. Athanasios Papoulis. Probability, Random Variables, and Stochastc Processes McGraw Hill, 1991.
  2. Rama Cont and Peter Tankov. Financial Modelling with jump Processes Chapman &Hall/CRC, 2004.
Źródło „http://172.16.3.1/ekonofizyka/index.php/Procesy_i_Zjawiska_Losowe”