Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Wersja z 21:25, 10 gru 2009 (pokaż źródło) Luczka (dyskusja | edycje) (→Zbiory) ← poprzednia edycja		Aktualna wersja na dzień 21:02, 17 mar 2011 (pokaż źródło) Luczka (dyskusja | edycje) (→Wstęp)
(Nie pokazano 461 wersji pomiędzy niniejszymi.)
Linia 1:		Linia 1:
-	===PROCESY I ZJAWISKA LOSOWE===	+	__NOTOC__
		+	<center>
		+	<span style="font-size: 22pt">'''PROCESY I ZJAWISKA LOSOWE'''</span>
-	Skrypt dla studentów ekonofizyki	+	'''''JERZY ŁUCZKA'''''
		+	</center>
		+	===Wstęp===
		+	* Celem zajęć jest poznanie podstaw teorii procesów stochastycznych wykorzystywanych do modelowania procesów rynkowych
		+	* przedmiot obowiązkowy na  1 roku studiów I stopnia (licencjackich)
		+	===Wymagania===
		+	* znajomość rachunku różniczkowego i całḱowego
-	<center><math> Pr \{ \xi \in (a, b)\} = \int_a^b p_{\xi}(x)dx </math></center>	+
		+	'''Spis treści'''
-	==Wprowadzenie==	+	# [[PIZL:Wstęp|WSTĘP]]
-	Wielki sukces fizyki, a ogólniej mówiąc nauk przyrodniczych, polega na tym, że jej odkrycia przyczyniły się do rozwoju cywilizacyjnego naszej planety. Sukces ten jest związany z tym, że podstawowe równania fizyki opisujące dynamikę układów cechuje własność determinizmu. Co to oznacza? Ogólnie mówiąc oznacza to możliwość przewidywania i to jednoznacznego przewidywania. Jest to konsekwencją twierdzeń matematycznych o jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych. Na tym opiera się determinizm mechaniki klasycznej i elektrodynamiki. Determinizm mechaniki kwantowej należy nieco inaczej interpretować. Niezależnie od interpretacji, zarówno przewidywania mechaniki kwantowej jak i kwantowej teorii cząstek elementarnych znakomicie potwierdzone są przez liczne doświadczenia. My możemy przewidzieć tor cząstki, określić precyzyjnie ruch rakiety, generować fale elektromagnetyczne o określonej długości, wyznaczyć różnice między poziomami energetycznymi w atomie wodoru, zbudować tranzystor, układ scalony, komputer, telefon komórkowy, itd, itp. Jeżeli podstawowe prawa fizyki opisują procesy deterministyczne to dlaczego pojawia się losowość wielu zjawisk obserwowanych każdego dnia? Skąd jest ta losowść i ten brak przewidywalności różnych procesów zachodzących na naszej planecie, w naszym kraju, w naszej rodzinie, w naszym organizmie? Odpowiedź nie jest prosta. Ogólnie mówiąc źródłem losowości jest złożoność. Ale złożoność nie jest wystarczająca. Wszelkie formułowane odpowiedzi nie są i nigdy nie będą pełne. Ja przytoczę dwa podstawowe źródła losowości:	+	# [[PIZL:Elementy teorii prawdopodobieństa|ELEMENTY TEORII PRAWDOPODOBIEŃSTWA]]
		+	# [[PIZL:Próby i schemat Bernoulliego|PRÓBY I SCHEMAT BERNOULLIEGO]]
		+	# [[PIZL:Procesy Stochastyczne|PROCESY STOCHASTYCZNE]]
		+	# [[PIZL:Procesy Poissona|PROCESY POISSONA]]
		+	# [[PIZL:Błądzenie przypadkowe|BŁĄDZENIE PRZYPADKOWE]]
		+	# [[PIZL:Proces Wienera i proces dyfuzji |PROCES DYFUZJI - PROCES WIENERA]]
		+	# [[PIZL:Procesy Levy'ego|PROCESY LEVY'EGO]]
		+	# [[PIZL:Procesy Markowa|PROCESY MARKOWA]]
		+	# [[PIZL:Stochastyczne równania różniczkowe|STOCHASTYCZNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE]]
		+	# [[PIZL:Przykłady zastosowań równań stochastycznych w ekonomii|PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ RÓWNAŃ STOCHASTYCZNYCH W EKONOMII]]
		+	# [[PIZL:Dodatek matematyczny|DODATEK MATEMATYCZNY]]
-	A. Własność chaotyczności
-	B. Makroskopowość układów (kolosalna liczba stopni swobody)	+	===Literatura===
-		+	# Athanasios Papoulis. ''' Probability, Random Variables, and Stochastc Processes''' McGraw Hill, 1991.
-	Własność chaotyczności uzmysławia nam złudność pojmowania determinizmu w mechanice klasycznej. Układy makroskopowe składają się z niesłychanie wielkiej liczby składników (cząstek, molekuł, makromolekuł. Ich opis metodami mechaniki (klasycznej lun kwantowej) jest nieefektywny. Co mam na myśli? Czy jestem w stanie analizowac układ równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu dla 1023 cząstek. Czy jestem w stanie podać 2\times 10^{23} położeń początkowych i prędkości początkowych wszystkich cząstek? Czy jestem w stanie śledzić trajektorie wszystkich cząstek? Odpowiedź jest oczywista: NIE! Dlatego powstała inna efektywna metoda oparta na teorii nazywanej fizyką statystyczną. W tej teorii nie podajemy wszystkich położeń i prędkości cząstek, ale wielkość którą nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa położeń i prędkości. Teoria ta jest efektywna. Ale nie tkwi w niej determinizm mechaniki Newtona. Tkwi w niej losowość.	+	# Rama Cont and Peter Tankov. '''Financial Modelling  with jump Processes''' Chapman &Hall/CRC, 2004.
-		+
-	== Zbiory==	+
-	PODSTAWOWE POJĘCIA NA TEMAT ZBIORÓW	+
-		+
-	Oznaczmy przez Ω zbiór, który nazwiemy przestrzenią. Niech A,B,... będa podzbiorami zbioru Ω.	+
-		+
-	Sumą zbiorów nazywamy zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do któregokolwiek z sumowanych zbiorów. Suma zbiorów A i B jest oznaczana przez A\cup B. Tak więc:	+
-		+
-	A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}	+
-		+
-	Iloczyn (lub część wspólna, przekrój, przecięcie) zbiorów A i B to zbiór, do którego należą te elementy zbioru A, które należą również do B. Część wspólna zbiorów A i B jest oznaczana przez A\cap B. Tak więc:	+
-		+
-	A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}.	+
-		+
-	Różnica zbiorów A\B - to zbiór złożony z tych elementów zbioru A, które nie należą do B:	+
-		+
-	A \setminus B = \{ x : x\in A \and x \notin B\}	+
-		+
-	Dopełnieniem A' zbioru A (w przestrzeni Ω) nazywa się różnica zbiorów	+
-		+
-	A'=\Omega \setminus A = \{x \in \Omega\colon x \notin A\},	+
-		+
-	Zbiór pusty to zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. Oznaczany jest symbolem \empty lub \varnothing.	+
-		+
-	Zbiory rozłączne – dwa zbiory A i Bsą rozłączne jeżeli ich część wspólna jest zbiorem pustym:	+
-		+
-	A\cap B=\empty.	+
-		+
-	Inaczej mówiąc, zbiory te nie mające wspólnego elementu.	+
-		+
-	Na przykład, zbiory {1 ,2, 5, 8, 9} i {4, 6} są rozłączne, natomiast zbiory {2, 3, 5, 7, 8} i {2, 5, 6} – nie.	+
-		+
-	Rodzinę zbiorów| (A_i)_{i\in I} nazywa się rodziną zbiorów parami rozłącznych, jeśli każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne:	+
-		+
-	i\ne j \implies A_i\cap A_j = \emptyset	+
-		+
-	==Elementy teorii prawdopodobieństa==	+
-	=== Przestrzeń probabilistyczna===	+
-	===Zmienna losowa===	+
-	===Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennej losowej===	+
-	===Wiele zmiennych losowych-Wektor zmiennych losowych===	+
-	===Rozkłady prawdobodobieństwa wielu zmiennych losowych===	+
-	==Próby Bernouliego==	+
-	==Twierdzenie Poissona i rozklad Poissona==	+
-	==Procesy stochastyczne==	+
-	==Proces Poissona==	+
-	===Proces urodzin i śmierci===	+
-	===Poissonowski ciąg impulsów: biały szum Poissona===	+
-	===Uogólnienia procesu Poissona===	+
-	===Równania ewolucji dla procesów Poissona; funkcja tworząca===	+
-	==Błądzenie przypadkowe==	+
-	==Proces Wienera -proces dyfuzji==	+
-	==Biały szum gaussowski==	+
-	==Stochastyczne równania różniczkowe==	+
-	==Równanie Kramersa-Moyala==	+
-	==Proste i odwrotne równanie Kołmogorowa. Równanie Fokkera-Plancka==	+
-	==Równanie Ito a proces dyfuzji==	+
-	==Równanie Ito i równanie Stratonowicza==	+
-	==Twierdzenie Ito o różniczce funkcji procesu stochastycznego==	+
-	==Przykłady zastosowań równań stochastycznych w ekonomii==	+
-	===Geometryczny proces Wienera===	+
-		+
-		+
-		+
-		+
-		+
-	# [[Wprowadzenie]]	+
-	## Zbiory	+
-	# [[Elementy teorii prawdopodobieństa]]	+
-	## Przestrzeń probabilistyczna	+
-	##Zmienna losowa	+
-	##Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennej losowej	+
-	##Wiele zmiennych losowych-Wektor zmiennych losowych	+
-	##Rozkłady prawdobodobieństwa wielu zmiennych losowych	+
-	# [[Próby Bernouliego]]	+
-	# [[Twierdzenie Poissona i rozklad Poissona]]	+
-	# [[Procesy stochastyczne]]	+
-	# [[Proces Poissona]]	+
-	## Proces urodzin i śmierci	+
-	## Poissonowski ciąg impulsów: biały szum Poissona	+
-	##Uogólnienia procesu Poissona	+
-	##Równania ewolucji dla procesów Poissona; funkcja tworząca	+
-	# [[Błądzenie przypadkowe]]	+
-	# [[Proces Wienera -proces dyfuzji]]	+
-	# [[Biały szum gaussowski]]	+
-	# [[Stochastyczne równania różniczkowe]]	+
-	# [[Równanie Kramersa-Moyala]]	+
-	# [[Proste i odwrotne równanie Kołmogorowa. Równanie Fokkera-Plancka]]	+
-	# [[Równanie Ito a proces dyfuzji]]	+
-	# [[Równanie Ito i równanie Stratonowicza]]	+
-	# [[Twierdzenie Ito o różniczce funkcji procesu stochastycznego]]	+
-	# [[Przykłady zastosowań równań stochastycznych w ekonomii]]	+
-	## Geometryczny proces Wienera	+

---

Aktualna wersja na dzień 21:02, 17 mar 2011

PROCESY I ZJAWISKA LOSOWE

JERZY ŁUCZKA

Wstęp

• Celem zajęć jest poznanie podstaw teorii procesów stochastycznych wykorzystywanych do modelowania procesów rynkowych
• przedmiot obowiązkowy na 1 roku studiów I stopnia (licencjackich)

Wymagania

• znajomość rachunku różniczkowego i całḱowego

Spis treści

1. WSTĘP
2. ELEMENTY TEORII PRAWDOPODOBIEŃSTWA
3. PRÓBY I SCHEMAT BERNOULLIEGO
4. PROCESY STOCHASTYCZNE
5. PROCESY POISSONA
6. BŁĄDZENIE PRZYPADKOWE
7. PROCES DYFUZJI - PROCES WIENERA
8. PROCESY LEVY'EGO
9. PROCESY MARKOWA
10. STOCHASTYCZNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
11. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ RÓWNAŃ STOCHASTYCZNYCH W EKONOMII
12. DODATEK MATEMATYCZNY

Literatura

1. Athanasios Papoulis. Probability, Random Variables, and Stochastc Processes McGraw Hill, 1991.
2. Rama Cont and Peter Tankov. Financial Modelling with jump Processes Chapman &Hall/CRC, 2004.