Trójkąt prostokątny - funkcje trygonometryczne

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)

Wersja z 14:57, 2 lut 2014

Trójkąt prostokątny - trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty. Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.

Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego

sinus – oznaczany \(\sin\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw tego kąta \(\alpha\;\) i długości przeciwprostokątnej \(c\;\);
cosinus – oznaczany \(\cos\;\) – stosunek długości przyprostokątnej przyległej \(b\;\) do tego kąta \(\alpha\;\) i przeciwprostokątnej \(c\;\);
tangens – oznaczany \(\operatorname{tg}\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw tego kąta \(\alpha\;\) i długości przyprostokątnej \(b\;\) przyległej do tego kąta;
cotangens (kotangens) – \(\operatorname{ctg}\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(b\;\) przyległej do tego kąta \(\alpha\;\) i długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw tego kąta

Wzory

\(\sin \alpha = \frac{a}{c}\)

\(\cos \alpha = \frac{b}{c}\)

\(\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}\)

\(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a}\)

Rys. 1 Trójkat prostokątny

Miara łukowa kąta

Miara kąta wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu

\(\alpha =\frac{l}{r}\)

gdzie

α – rozpatrywany kąt,

l – długość łuku,

r – promień okręgu, którego wycinkiem jest łuk.

Jednostką tak zapisanego kąta jest radian (1 rad). Wymiarem radiana jest jedność

\(\left[ \operatorname{rad} \right]=1\)

Wartości dla typowych kątów

radiany	\(0\;\)	\(\frac{\pi}{12}\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{5\pi}{12}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
stopnie	\(0^\circ\;\)	\(15^\circ\;\)	\(30^\circ\;\)	\(45^\circ\;\)	\(60^\circ\;\)	\(75^\circ\;\)	\(90^\circ\;\)
\(\sin\;\)	\(0\;\)	\( \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \)	\( \tfrac{1}{2} \)	\( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \)	\( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \)	\(1\;\)
\(\cos\;\)	\(1\;\)	\( \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \)	\( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \)	\( \tfrac{1}{2} \)	\( \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \)	\(0\;\)
\(\operatorname{tg}\;\)	\(0\;\)	\( 2-\sqrt{3} \)	\( \tfrac{\sqrt{3}}{3} \)	\(1\;\)	\( \sqrt{3} \)	\( 2+\sqrt{3} \)	nieokreślony
\(\operatorname{ctg}\;\)	nieokreślony	\( 2+\sqrt{3} \)	\( \sqrt{3} \)	\(1\;\)	\( \tfrac{\sqrt{3}}{3} \)	\( 2-\sqrt{3} \)	\(0\;\)

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:

jedynka trygonometryczna:

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,\)

definicja tangensa i kotangensa za pomocą sinusa i cosinusa:

\(\begin{align} \operatorname{tg}\ \alpha & =\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\ \operatorname{ctg}\ \alpha & =\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},\ \alpha\neq k\pi \end{align},\quad k\in\mathbb{Z}\)

wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów:

\(\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,\)

\(\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \,\)

wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów:

\(\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta } 2 \)

\(\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha - \beta } 2\)

\(\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \sin \tfrac {\alpha - \beta } 2\)

wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu:

\(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \,\)

\(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha= 2\cos^2\alpha - 1 = 1 -2\sin^2\alpha \)

wzory na sinus i cosinus połowy argumentu:

\(\left| \sin\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1-cos \alpha}{2}}}\)

\(\left| \cos\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1+cos \alpha}{2}}}\)

iloczyn w postaci sumy:

\(\cos \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)} 2\)

\(\sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)} 2\)

\(\sin \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)} 2\)

wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne:

\(\sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)\)

\(\cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)\)

\(\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,\)

\(\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,\)

\(\sec \alpha= \tfrac{1}{\cos \alpha} = \csc \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,\)

\(\csc \alpha=\tfrac{1}{\sin \alpha} = \sec \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,\)

\(\begin{matrix} \color{green}{\sin^2 \alpha}= & 1-\cos^2 \alpha= & \tfrac{\operatorname{tg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ 1-\sin^2 \alpha= & \color{green}{\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}= & \tfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}= & \color{green}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}= & \tfrac{\cos^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \color{green}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \end{matrix}\)