Trójkąt prostokątny - funkcje trygonometryczne
Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW
(Różnice między wersjami)
| Linia 1: | Linia 1: | ||
[[Category:KURS MATEMATYKI]] | [[Category:KURS MATEMATYKI]] | ||
| - | |||
| - | |||
| + | Trójkąt prostokątny to trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty. | ||
| + | Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną. | ||
Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego | Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego | ||
| - | *sinus – oznaczany <math>\sin\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej <math>a\;</math> leżącej naprzeciw | + | *sinus – oznaczany <math>\sin\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej <math>a\;</math> leżącej naprzeciw kąta <math>\alpha\;</math> i długości przeciwprostokątnej <math>c\;</math>; |
| - | *cosinus – oznaczany <math>\cos\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej przyległej <math>b\;</math> do | + | *cosinus – oznaczany <math>\cos\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej przyległej <math>b\;</math> do kąta <math>\alpha\;</math> i przeciwprostokątnej <math>c\;</math>; |
| - | *tangens – oznaczany <math>\operatorname{tg}\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej <math>a\;</math> leżącej naprzeciw | + | *tangens – oznaczany <math>\operatorname{tg}\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej <math>a\;</math> leżącej naprzeciw kąta <math>\alpha\;</math> i długości przyprostokątnej <math>b\;</math> przyległej do tego kąta; |
| - | *cotangens (kotangens) – <math>\operatorname{ctg}\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej <math>b\;</math> przyległej do | + | *cotangens (kotangens) – <math>\operatorname{ctg}\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej <math>b\;</math> przyległej do kąta <math>\alpha\;</math> i długości przyprostokątnej <math>a\;</math> leżącej naprzeciw tego kąta. |
| - | + | Zależności te pokazują następujące wzory: | |
| - | <math>\sin \alpha = \frac{a}{c}</math> | + | <math>\sin \alpha = \frac{a}{c}</math>: |
| - | <math>\cos \alpha = \frac{b}{c}</math> | + | <math>\cos \alpha = \frac{b}{c}</math>: |
| - | <math>\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}</math> | + | <math>\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}</math>: |
| - | <math>\operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a}</math> | + | <math>\operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a}</math>. |
[[File:katy_tryg.png|thumb|250px|Rys. 1 Trójkat prostokątny]] | [[File:katy_tryg.png|thumb|250px|Rys. 1 Trójkat prostokątny]] | ||
| Linia 25: | Linia 25: | ||
== Miara łukowa kąta== | == Miara łukowa kąta== | ||
| - | Miara kąta wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu | + | Miara łukowa kąta jest wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu |
:: <math>\alpha =\frac{l}{r}</math> | :: <math>\alpha =\frac{l}{r}</math> | ||
| Linia 33: | Linia 33: | ||
: ''l'' – długość łuku, | : ''l'' – długość łuku, | ||
: ''r'' – promień okręgu, którego wycinkiem jest łuk. | : ''r'' – promień okręgu, którego wycinkiem jest łuk. | ||
| - | Jednostką tak zapisanego kąta jest radian (1 rad). | + | Jednostką tak zapisanego kąta jest radian (1 rad). |
| - | + | ||
| - | == Wartości dla typowych kątów == | + | == Wartości funkcji trygonometrycznych dla typowych wartości kątów == |
{|class="wikitable" style="text-align: center;" | {|class="wikitable" style="text-align: center;" | ||
! radiany !! <math>0\;</math> !! <math>\frac{\pi}{12}</math> !! <math>\frac{\pi}{6}</math> !! <math>\frac{\pi}{4}</math> !! <math>\frac{\pi}{3}</math> !! <math>\frac{5\pi}{12}</math> !! <math>\frac{\pi}{2}</math> | ! radiany !! <math>0\;</math> !! <math>\frac{\pi}{12}</math> !! <math>\frac{\pi}{6}</math> !! <math>\frac{\pi}{4}</math> !! <math>\frac{\pi}{3}</math> !! <math>\frac{5\pi}{12}</math> !! <math>\frac{\pi}{2}</math> | ||
| Linia 63: | Linia 62: | ||
\operatorname{tg}\ \alpha & =\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\ | \operatorname{tg}\ \alpha & =\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\ | ||
\operatorname{ctg}\ \alpha & =\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},\ \alpha\neq k\pi | \operatorname{ctg}\ \alpha & =\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},\ \alpha\neq k\pi | ||
| - | \end{align},\quad k\in\mathbb{ | + | \end{align},\quad k\in\mathbb{C}</math> |
* wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów: | * wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów: | ||
: <math>\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,</math> | : <math>\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,</math> | ||
Wersja z 23:27, 4 lut 2014
Trójkąt prostokątny to trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty. Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.
Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego
- sinus – oznaczany \(\sin\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\;\) i długości przeciwprostokątnej \(c\;\);
- cosinus – oznaczany \(\cos\;\) – stosunek długości przyprostokątnej przyległej \(b\;\) do kąta \(\alpha\;\) i przeciwprostokątnej \(c\;\);
- tangens – oznaczany \(\operatorname{tg}\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\;\) i długości przyprostokątnej \(b\;\) przyległej do tego kąta;
- cotangens (kotangens) – \(\operatorname{ctg}\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(b\;\) przyległej do kąta \(\alpha\;\) i długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw tego kąta.
Zależności te pokazują następujące wzory:
\(\sin \alpha = \frac{a}{c}\):
\(\cos \alpha = \frac{b}{c}\):
\(\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}\):
\(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a}\).
Spis treści |
Miara łukowa kąta
Miara łukowa kąta jest wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu
-
- \(\alpha =\frac{l}{r}\)
gdzie
- α – rozpatrywany kąt,
- l – długość łuku,
- r – promień okręgu, którego wycinkiem jest łuk.
Jednostką tak zapisanego kąta jest radian (1 rad).
Wartości funkcji trygonometrycznych dla typowych wartości kątów
| radiany | \(0\;\) | \(\frac{\pi}{12}\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{5\pi}{12}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| stopnie | \(0^\circ\;\) | \(15^\circ\;\) | \(30^\circ\;\) | \(45^\circ\;\) | \(60^\circ\;\) | \(75^\circ\;\) | \(90^\circ\;\) |
| \(\sin\;\) | \(0\;\) | \( \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \) | \( \tfrac{1}{2} \) | \( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \) | \(1\;\) |
| \(\cos\;\) | \(1\;\) | \( \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \) | \( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \tfrac{1}{2} \) | \( \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \) | \(0\;\) |
| \(\operatorname{tg}\;\) | \(0\;\) | \( 2-\sqrt{3} \) | \( \tfrac{\sqrt{3}}{3} \) | \(1\;\) | \( \sqrt{3} \) | \( 2+\sqrt{3} \) | nieokreślony |
| \(\operatorname{ctg}\;\) | nieokreślony | \( 2+\sqrt{3} \) | \( \sqrt{3} \) | \(1\;\) | \( \tfrac{\sqrt{3}}{3} \) | \( 2-\sqrt{3} \) | \(0\;\) |
Podstawowe tożsamości trygonometryczne
Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:
- jedynka trygonometryczna:
- \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,\)
- definicja tangensa i kotangensa za pomocą sinusa i cosinusa:
- \(\begin{align} \operatorname{tg}\ \alpha & =\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\ \operatorname{ctg}\ \alpha & =\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},\ \alpha\neq k\pi \end{align},\quad k\in\mathbb{C}\)
- wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów:
- \(\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,\)
- \(\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \,\)
- wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów:
- \(\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta } 2 \)
- \(\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha - \beta } 2\)
- \(\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \sin \tfrac {\alpha - \beta } 2\)
- wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu:
- \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \,\)
- \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha= 2\cos^2\alpha - 1 = 1 -2\sin^2\alpha \)
- wzory na sinus i cosinus połowy argumentu:
- \(\left| \sin\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1-cos \alpha}{2}}}\)
- \(\left| \cos\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1+cos \alpha}{2}}}\)
- iloczyn w postaci sumy:
- \(\cos \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)} 2\)
- \(\sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)} 2\)
- \(\sin \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)} 2\)
- wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne:
- \(\sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)\)
- \(\cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)\)
- \(\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,\)
- \(\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,\)
- \(\sec \alpha= \tfrac{1}{\cos \alpha} = \csc \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,\)
- \(\csc \alpha=\tfrac{1}{\sin \alpha} = \sec \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,\)
- \(\begin{matrix} \color{green}{\sin^2 \alpha}= & 1-\cos^2 \alpha= & \tfrac{\operatorname{tg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ 1-\sin^2 \alpha= & \color{green}{\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}= & \tfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}= & \color{green}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}= & \tfrac{\cos^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \color{green}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \end{matrix}\)