Trójkąt prostokątny - funkcje trygonometryczne

Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

(Różnice między wersjami)
(Utworzył nową stronę „Category:KURS MATEMATYKI Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prosto...”)
 
(Nie pokazano 7 wersji pomiędzy niniejszymi.)
Linia 1: Linia 1:
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
[[Category:KURS MATEMATYKI]]
-
Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego
 
-
*sinus – oznaczany <math>\sin\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej <math>a\;</math> leżącej naprzeciw tego kąta <math>\alpha\;</math> i długości przeciwprostokątnej <math>c\;</math>;
 
-
*cosinus  – oznaczany <math>\cos\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej przyległej <math>b\;</math> do tego kąta <math>\alpha\;</math> i przeciwprostokątnej <math>c\;</math>;
 
-
*tangens – oznaczany <math>\operatorname{tg}\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej <math>a\;</math> leżącej naprzeciw tego kąta <math>\alpha\;</math> i długości przyprostokątnej <math>b\;</math> przyległej do tego kąta;
 
-
*cotangens (kotangens) – <math>\operatorname{ctg}\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej <math>b\;</math> przyległej do tego kąta <math>\alpha\;</math> i długości przyprostokątnej <math>a\;</math> leżącej naprzeciw tego kąta
 
-
Wzory
+
Trójkąt prostokątny to trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty.
 +
Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.
-
<math>\sin \alpha = \frac{a}{c}</math>
+
Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można przedstawić jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego ([[Media:katy_tryg.png|Rys 1]]).
 +
*sinus – oznaczany <math>\sin\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej <math>a\;</math> leżącej naprzeciw kąta <math>\alpha\;</math> i długości przeciwprostokątnej <math>c\;</math>;
 +
*cosinus  – oznaczany <math>\cos\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej przyległej <math>b\;</math> do kąta <math>\alpha\;</math> i przeciwprostokątnej <math>c\;</math>;
 +
*tangens – oznaczany <math>\operatorname{tg}\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej <math>a\;</math> leżącej naprzeciw kąta <math>\alpha\;</math> i długości przyprostokątnej <math>b\;</math> przyległej do tego kąta;
 +
*cotangens (kotangens) – <math>\operatorname{ctg}\;</math> – stosunek długości przyprostokątnej <math>b</math> przyległej do kąta <math>\alpha</math> i długości przyprostokątnej <math>a</math> leżącej naprzeciw tego kąta.
-
<math>\cos \alpha = \frac{b}{c}</math>
+
Należy pamiętać, że kąt ostry ma miarę większą od  <math>0^o</math>, lecz mniejszą od  <math>90^o</math>.
-
<math>\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}</math>
+
Zależności między długościami boków trójkąta prostokątnego, a kątem ostrym <math>\alpha </math> są dane następującymi wzorami:
-
<math>\operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a}</math>
+
<math>\sin \alpha = \frac{a}{c}</math>:
-
[[File:katy_tryg.png|thumb|250px|Rys. 1 Trójkat prostokątny]]
+
<math>\cos \alpha = \frac{b}{c}</math>:
 +
 
 +
<math>\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}</math>:
 +
 
 +
<math>\operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a}</math>.
 +
 
 +
[[File:katy_tryg.png|thumb|250px|Rys. 1 Trójkąt prostokątny]]
__TOC__
__TOC__
-
== Miara łukowa kąta==  
+
== Miara łukowa kąta ==  
-
Miara kąta wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu
+
Miara łukowa kąta jest wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu
:: <math>\alpha =\frac{l}{r}</math>
:: <math>\alpha =\frac{l}{r}</math>
Linia 29: Linia 35:
: ''l''  – długość łuku,
: ''l''  – długość łuku,
: ''r''  – promień okręgu, którego wycinkiem jest łuk.
: ''r''  – promień okręgu, którego wycinkiem jest łuk.
-
Jednostką tak zapisanego kąta jest radian (1 rad). Wymiarem radiana jest jedność
+
Jednostką tak zapisanego kąta jest radian (1 rad).
-
:: <math>\left[ \operatorname{rad} \right]=1</math>
+
-
== Wartości dla typowych kątów ==
+
== Wartości funkcji trygonometrycznych dla typowych wartości kątów ==
 +
<center>
{|class="wikitable" style="text-align: center;"
{|class="wikitable" style="text-align: center;"
! radiany !! <math>0\;</math> !! <math>\frac{\pi}{12}</math> !! <math>\frac{\pi}{6}</math> !! <math>\frac{\pi}{4}</math> !! <math>\frac{\pi}{3}</math> !! <math>\frac{5\pi}{12}</math> !! <math>\frac{\pi}{2}</math>
! radiany !! <math>0\;</math> !! <math>\frac{\pi}{12}</math> !! <math>\frac{\pi}{6}</math> !! <math>\frac{\pi}{4}</math> !! <math>\frac{\pi}{3}</math> !! <math>\frac{5\pi}{12}</math> !! <math>\frac{\pi}{2}</math>
Linia 50: Linia 56:
| nieokreślony || <math> 2+\sqrt{3} </math> || <math> \sqrt{3} </math> || <math>1\;</math> || <math> \tfrac{\sqrt{3}}{3} </math> || <math> 2-\sqrt{3} </math> || <math>0\;</math>
| nieokreślony || <math> 2+\sqrt{3} </math> || <math> \sqrt{3} </math> || <math>1\;</math> || <math> \tfrac{\sqrt{3}}{3} </math> || <math> 2-\sqrt{3} </math> || <math>0\;</math>
|}
|}
 +
</center>
-
== Podstawowe tożsamości trygonometryczne ==
+
== Dodatek - Przydatne tożsamości trygonometryczne ==
-
Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. '''tożsamości trygonometryczne'''. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:
+
Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny (nie tylko dla kątów ostrych) to tzw. tożsamości trygonometryczne. Często używane są:
* jedynka trygonometryczna:
* jedynka trygonometryczna:
: <math>\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,</math>  
: <math>\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,</math>  
-
* definicja tangensa i kotangensa za pomocą sinusa i cosinusa:
+
* tangens i kotangens wyrażony za pomocą sinusa i cosinusa:
: <math>\begin{align}
: <math>\begin{align}
\operatorname{tg}\ \alpha  & =\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\
\operatorname{tg}\ \alpha  & =\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\
\operatorname{ctg}\ \alpha & =\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},\ \alpha\neq k\pi
\operatorname{ctg}\ \alpha & =\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},\ \alpha\neq k\pi
-
\end{align},\quad k\in\mathbb{Z}</math>
+
\end{align},\quad k\in\mathbb{C}</math>
-
* wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów:
+
* sinus i cosinus sumy/różnicy kątów:
: <math>\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,</math>
: <math>\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,</math>
: <math>\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \,</math>
: <math>\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \,</math>
-
* wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów:
+
* suma i różnica sinusów i cosinusów:
: <math>\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta } 2 </math>
: <math>\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta } 2 </math>
: <math>\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha - \beta } 2</math>
: <math>\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha - \beta } 2</math>
: <math>\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \sin \tfrac {\alpha - \beta } 2</math>
: <math>\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \sin \tfrac {\alpha - \beta } 2</math>
-
* wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu:
+
* sinus i cosinus podwojonego argumentu:
: <math>\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \,</math>
: <math>\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \,</math>
: <math>\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha= 2\cos^2\alpha - 1 = 1 -2\sin^2\alpha </math>
: <math>\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha= 2\cos^2\alpha - 1 = 1 -2\sin^2\alpha </math>
-
* wzory na sinus i cosinus połowy argumentu:
+
* iloczyny sinusa i cosinusa
-
: <math>\left| \sin\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1-cos \alpha}{2}}}</math>
+
-
: <math>\left| \cos\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1+cos \alpha}{2}}}</math>
+
-
* iloczyn w postaci sumy:
+
: <math>\cos \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)} 2</math>
: <math>\cos \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)} 2</math>
: <math>\sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)} 2</math>
: <math>\sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)} 2</math>
: <math>\sin \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)} 2</math>
: <math>\sin \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)} 2</math>
-
* wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne:
+
* wzory łączące funkcje trygonometryczne:
: <math>\sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)</math>
: <math>\sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)</math>
: <math>\cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)</math>
: <math>\cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)</math>
: <math>\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,</math>
: <math>\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,</math>
: <math>\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,</math>
: <math>\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,</math>
-
: <math>\sec \alpha= \tfrac{1}{\cos \alpha} = \csc \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,</math>
 
-
: <math>\csc \alpha=\tfrac{1}{\sin \alpha} = \sec \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,</math>
 
: <math>\begin{matrix}
: <math>\begin{matrix}
-
     \color{green}{\sin^2 \alpha}=  
+
     \sin^2 \alpha =  
   & 1-\cos^2 \alpha=
   & 1-\cos^2 \alpha=
   & \tfrac{\operatorname{tg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}=
   & \tfrac{\operatorname{tg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}=
   & \tfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\
   & \tfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\
-
     1-\sin^2 \alpha=
+
      
-
   & \color{green}{\cos^2 \alpha}=
+
    \cos^2 \alpha =  
 +
   & 1-\sin^2 \alpha=
   & \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}=
   & \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}=
   & \tfrac{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\
   & \tfrac{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\
-
    \tfrac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}=
+
    \operatorname{tg}^2\ \alpha =
 +
  & \tfrac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}=
   & \tfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}=
   & \tfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}=
-
  & \color{green}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}=
 
   & \tfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\
   & \tfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\
-
     \tfrac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}=
+
     \operatorname{ctg}^2\ \alpha =
 +
  &  \tfrac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}=
   & \tfrac{\cos^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha}=
   & \tfrac{\cos^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha}=
-
   & \tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}=
+
   & \tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}
-
  & \color{green}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}
+
\end{matrix}</math>
\end{matrix}</math>
 +
 +
== Funkcje trygonometrycznych dla dowolnych kątów ==
 +
W rozdziale tym wprowadziliśmy opis funkcji trygonometrycznych dla katów ostrych.
 +
Funkcje trygonometryczne można zdefiniować dla dowolnego kąta <math>\alpha</math> co przedstawione jest na [[Media:tryg2.png |Rys. 2]].
 +
[[File:tryg2.png|thumb|250px|Rys. 2 Funkcje trygonometryczne dla dowolnego kąta]]
 +
Na tym rysunku ([[Media:tryg2.png |Rys. 2]]) wierzchołek kąta pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, a pierwsze ramię kąta - z dodatnią półosią <math>OX</math>. Wtedy <math>\cos \alpha</math> oraz
 +
<math>\sin \alpha</math> to odpowiednio odcięta i rzędna punktu <math>P</math> przecięcia drugiego ramienia kąta z okręgiem jednostkowym; <math>\operatorname{tg} \alpha</math> jest rzędną punktu <math>Q</math> przecięcia tego ramienia ze styczną pionową do okręgu wystawioną w punkcie <math>(1,0)</math>, a <math>\operatorname{ctg}\alpha</math> - odciętą punktu <math>R</math> przecięcia ramienia kąta ze styczną poziomą wystawioną w punkcie <math>(0,1)</math>. Kąt <math>\alpha</math> jest dowolny, przy czym np. przy wyznaczaniu wartości tangensa dla kąta <math>\alpha</math> w II. albo III. ćwiartce trzeba przedłużyć ramię kąta w dół albo w górę do przecięcia ze styczną (analogicznie postępuje się
 +
przy wyznaczaniu cotangensa dla kąta w III. albo IV. ćwiartce).

Aktualna wersja na dzień 09:06, 31 mar 2015


Trójkąt prostokątny to trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty. Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.

Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można przedstawić jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego (Rys 1).

  • sinus – oznaczany \(\sin\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\;\) i długości przeciwprostokątnej \(c\;\);
  • cosinus – oznaczany \(\cos\;\) – stosunek długości przyprostokątnej przyległej \(b\;\) do kąta \(\alpha\;\) i przeciwprostokątnej \(c\;\);
  • tangens – oznaczany \(\operatorname{tg}\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\;\) i długości przyprostokątnej \(b\;\) przyległej do tego kąta;
  • cotangens (kotangens) – \(\operatorname{ctg}\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(b\) przyległej do kąta \(\alpha\) i długości przyprostokątnej \(a\) leżącej naprzeciw tego kąta.

Należy pamiętać, że kąt ostry ma miarę większą od \(0^o\), lecz mniejszą od \(90^o\).

Zależności między długościami boków trójkąta prostokątnego, a kątem ostrym \(\alpha \) są dane następującymi wzorami:

\(\sin \alpha = \frac{a}{c}\):

\(\cos \alpha = \frac{b}{c}\):

\(\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}\):

\(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a}\).

Rys. 1 Trójkąt prostokątny

Spis treści


Miara łukowa kąta

Miara łukowa kąta jest wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu

\(\alpha =\frac{l}{r}\)

gdzie

α – rozpatrywany kąt,
l – długość łuku,
r – promień okręgu, którego wycinkiem jest łuk.

Jednostką tak zapisanego kąta jest radian (1 rad).

Wartości funkcji trygonometrycznych dla typowych wartości kątów

radiany \(0\;\) \(\frac{\pi}{12}\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{5\pi}{12}\) \(\frac{\pi}{2}\)
stopnie \(0^\circ\;\) \(15^\circ\;\) \(30^\circ\;\) \(45^\circ\;\) \(60^\circ\;\) \(75^\circ\;\) \(90^\circ\;\)
\(\sin\;\) \(0\;\) \( \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \) \( \tfrac{1}{2} \) \( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \) \( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \) \( \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \) \(1\;\)
\(\cos\;\) \(1\;\) \( \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \) \( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \) \( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \) \( \tfrac{1}{2} \) \( \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \) \(0\;\)
\(\operatorname{tg}\;\) \(0\;\) \( 2-\sqrt{3} \) \( \tfrac{\sqrt{3}}{3} \) \(1\;\) \( \sqrt{3} \) \( 2+\sqrt{3} \) nieokreślony
\(\operatorname{ctg}\;\) nieokreślony \( 2+\sqrt{3} \) \( \sqrt{3} \) \(1\;\) \( \tfrac{\sqrt{3}}{3} \) \( 2-\sqrt{3} \) \(0\;\)

Dodatek - Przydatne tożsamości trygonometryczne

Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny (nie tylko dla kątów ostrych) to tzw. tożsamości trygonometryczne. Często używane są:

  • jedynka trygonometryczna:
\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,\)
  • tangens i kotangens wyrażony za pomocą sinusa i cosinusa:
\(\begin{align} \operatorname{tg}\ \alpha & =\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\ \operatorname{ctg}\ \alpha & =\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},\ \alpha\neq k\pi \end{align},\quad k\in\mathbb{C}\)
  • sinus i cosinus sumy/różnicy kątów:
\(\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,\)
\(\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \,\)
  • suma i różnica sinusów i cosinusów:
\(\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta } 2 \)
\(\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha - \beta } 2\)
\(\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \sin \tfrac {\alpha - \beta } 2\)
  • sinus i cosinus podwojonego argumentu:
\(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \,\)
\(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha= 2\cos^2\alpha - 1 = 1 -2\sin^2\alpha \)
  • iloczyny sinusa i cosinusa
\(\cos \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)} 2\)
\(\sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)} 2\)
\(\sin \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)} 2\)
  • wzory łączące funkcje trygonometryczne:
\(\sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)\)
\(\cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)\)
\(\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,\)
\(\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,\)
\(\begin{matrix} \sin^2 \alpha = & 1-\cos^2 \alpha= & \tfrac{\operatorname{tg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \cos^2 \alpha = & 1-\sin^2 \alpha= & \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \operatorname{tg}^2\ \alpha = & \tfrac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}= & \tfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \operatorname{ctg}^2\ \alpha = & \tfrac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}= & \tfrac{\cos^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\ \alpha} \end{matrix}\)

Funkcje trygonometrycznych dla dowolnych kątów

W rozdziale tym wprowadziliśmy opis funkcji trygonometrycznych dla katów ostrych. Funkcje trygonometryczne można zdefiniować dla dowolnego kąta \(\alpha\) co przedstawione jest na Rys. 2.

Rys. 2 Funkcje trygonometryczne dla dowolnego kąta

Na tym rysunku (Rys. 2) wierzchołek kąta pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, a pierwsze ramię kąta - z dodatnią półosią \(OX\). Wtedy \(\cos \alpha\) oraz \(\sin \alpha\) to odpowiednio odcięta i rzędna punktu \(P\) przecięcia drugiego ramienia kąta z okręgiem jednostkowym; \(\operatorname{tg} \alpha\) jest rzędną punktu \(Q\) przecięcia tego ramienia ze styczną pionową do okręgu wystawioną w punkcie \((1,0)\), a \(\operatorname{ctg}\alpha\) - odciętą punktu \(R\) przecięcia ramienia kąta ze styczną poziomą wystawioną w punkcie \((0,1)\). Kąt \(\alpha\) jest dowolny, przy czym np. przy wyznaczaniu wartości tangensa dla kąta \(\alpha\) w II. albo III. ćwiartce trzeba przedłużyć ramię kąta w dół albo w górę do przecięcia ze styczną (analogicznie postępuje się przy wyznaczaniu cotangensa dla kąta w III. albo IV. ćwiartce).