Z Skrypty dla studentów Ekonofizyki UPGOW

Trójkąt prostokątny to trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty. Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.

Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego

• sinus – oznaczany \(\sin\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\;\) i długości przeciwprostokątnej \(c\;\);
• cosinus – oznaczany \(\cos\;\) – stosunek długości przyprostokątnej przyległej \(b\;\) do kąta \(\alpha\;\) i przeciwprostokątnej \(c\;\);
• tangens – oznaczany \(\operatorname{tg}\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\;\) i długości przyprostokątnej \(b\;\) przyległej do tego kąta;
• cotangens (kotangens) – \(\operatorname{ctg}\;\) – stosunek długości przyprostokątnej \(b\;\) przyległej do kąta \(\alpha\;\) i długości przyprostokątnej \(a\;\) leżącej naprzeciw tego kąta.

Zależności te pokazują następujące wzory:

\[\sin \alpha = \frac{a}{c}\]:

\[\cos \alpha = \frac{b}{c}\];

\[\operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}\]:

\[\operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a}\].

Spis treści 1 Miara łukowa kąta 2 Wartości funkcji trygonometrycznych dla typowych wartości kątów 3 Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Miara łukowa kąta

Miara łukowa kąta jest wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu

\[\alpha =\frac{l}{r}\]

gdzie

α – rozpatrywany kąt,

l – długość łuku,

r – promień okręgu, którego wycinkiem jest łuk.

Jednostką tak zapisanego kąta jest radian (1 rad).

Wartości funkcji trygonometrycznych dla typowych wartości kątów

radiany	\(0\;\)	\(\frac{\pi}{12}\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{5\pi}{12}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
stopnie	\(0^\circ\;\)	\(15^\circ\;\)	\(30^\circ\;\)	\(45^\circ\;\)	\(60^\circ\;\)	\(75^\circ\;\)	\(90^\circ\;\)
\(\sin\;\)	\(0\;\)	\( \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \)	\( \tfrac{1}{2} \)	\( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \)	\( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \)	\(1\;\)
\(\cos\;\)	\(1\;\)	\( \tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \)	\( \tfrac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \tfrac{\sqrt{2}}{2} \)	\( \tfrac{1}{2} \)	\( \tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \)	\(0\;\)
\(\operatorname{tg}\;\)	\(0\;\)	\( 2-\sqrt{3} \)	\( \tfrac{\sqrt{3}}{3} \)	\(1\;\)	\( \sqrt{3} \)	\( 2+\sqrt{3} \)	nieokreślony
\(\operatorname{ctg}\;\)	nieokreślony	\( 2+\sqrt{3} \)	\( \sqrt{3} \)	\(1\;\)	\( \tfrac{\sqrt{3}}{3} \)	\( 2-\sqrt{3} \)	\(0\;\)

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Są one prawdziwe zarówno w dziedzinie rzeczywistej, jak i zespolonej. Często używane są:

• jedynka trygonometryczna:

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,\)

• definicja tangensa i kotangensa za pomocą sinusa i cosinusa:

\(\begin{align} \operatorname{tg}\ \alpha & =\tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ \alpha\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi \\ \operatorname{ctg}\ \alpha & =\tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha},\ \alpha\neq k\pi \end{align},\quad k\in\mathbb{C}\)

• wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów:

\(\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \,\)

\(\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \,\)

• wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów:

\(\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta } 2 \)

\(\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha - \beta } 2\)

\(\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \tfrac {\alpha + \beta} 2 \cdot \sin \tfrac {\alpha - \beta } 2\)

• wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu:

\(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \,\)

\(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha= 2\cos^2\alpha - 1 = 1 -2\sin^2\alpha \)

• wzory na sinus i cosinus połowy argumentu:

\(\left| \sin\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1-cos \alpha}{2}}}\)

\(\left| \cos\tfrac{1}{2}\alpha \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1+cos \alpha}{2}}}\)

• iloczyn w postaci sumy:

\(\cos \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)} 2\)

\(\sin \alpha \cdot \sin \beta = \tfrac{\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)} 2\)

\(\sin \alpha \cdot \cos \beta = \tfrac{\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)} 2\)

• wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne:

\(\sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)\)

\(\cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)\)

\(\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,\)

\(\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,\)

\(\sec \alpha= \tfrac{1}{\cos \alpha} = \csc \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,\)

\(\csc \alpha=\tfrac{1}{\sin \alpha} = \sec \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,\)

\(\begin{matrix} \color{green}{\sin^2 \alpha}= & 1-\cos^2 \alpha= & \tfrac{\operatorname{tg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ 1-\sin^2 \alpha= & \color{green}{\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{\operatorname{ctg}^2\ \alpha}{1+\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{\sin^2 \alpha}{1-\sin^2 \alpha}= & \tfrac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}= & \color{green}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \\ \tfrac{1-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}= & \tfrac{\cos^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha}= & \tfrac{1}{\operatorname{tg}^2\ \alpha}= & \color{green}{\operatorname{ctg}^2\ \alpha} \end{matrix}\)